第15章分式的計(jì)算與化簡(jiǎn)求值人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)講義一、內(nèi)容復(fù)習(xí)1、最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．2、通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母．①最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．

②最簡(jiǎn)公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．通分：，．二、知識(shí)點(diǎn)一分式的乘、除法法則【知識(shí)梳理】分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，用式子表示為·=.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用式子表示為÷=·=.【提醒】分式與分式相乘，若分子、分母是單項(xiàng)式，可先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡(jiǎn)分

式；若分子、分母是多項(xiàng)式，先把分子、分母分解因式，看能否約分，然后再相乘.

2.當(dāng)整式與分式相乘時(shí)，要把整式(看做是分母為1的式子)與分式的分子相乘作為積的分子，分式的分母不變.當(dāng)整式是多項(xiàng)式時(shí)，同樣要先分解因式，看能否約分，然后再相乘.

3.分式的除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為分式的乘法運(yùn)算，若除式(或被除式)是整式時(shí)，可以看做是分母是1的式子，然后按照分式除法法則計(jì)算.

4.分式的乘除運(yùn)算結(jié)果要通過(guò)約分化為最簡(jiǎn)分式(分式的分子、分母沒(méi)有公因式)或整式的形式.

5.分式的乘除混合運(yùn)算，如果沒(méi)有其他附加條件(如括號(hào)等)，則應(yīng)按照由左到右的順序進(jìn)行計(jì)算.【例題精講】例1、計(jì)算2x3÷的結(jié)果是（）A．2x2 B．2x4 C．2x D．4【分析】原式利用除法法則變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=2x3?x=2x4，故選：B．【強(qiáng)化練習(xí)】1、（1）·（2）3ab2÷2、化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)二分式的乘方法則【知識(shí)梳理】分式的乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。

用式子表示為：（n為正整數(shù)），其中b≠0，a，b可以代表數(shù)，也可以代表代數(shù)式。【例題精講】例1、計(jì)算（）3?（）2÷（﹣）的結(jié)果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘除運(yùn)算即可求出值．【解答】解：原式=??（﹣）=﹣，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的乘除法以及分式的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化練習(xí)】計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)三分式的加減法法則【知識(shí)梳理】同\t"/item/%E5%88%86%E5%BC%8F%E5%8A%A0%E5%87%8F%E6%B3%95%E6%B3%95%E5%88%99/_blank"分母分式相加減，只把\t"/item/%E5%88%86%E5%BC%8F%E5%8A%A0%E5%87%8F%E6%B3%95%E6%B3%95%E5%88%99/_blank"分子相加減，分母不變.異分母分式相加減，先通分變?yōu)橥帜阜质?，再按同分母分式相加減的法則運(yùn)算。完成分式的加減運(yùn)算后，若所得分式不是最簡(jiǎn)分式，應(yīng)\t"/item/%E5%88%86%E5%BC%8F%E5%8A%A0%E5%87%8F%E6%B3%95%E6%B3%95%E5%88%99/_blank"約分化為最簡(jiǎn)分式.【提醒】1.分式加減運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或整式.2.同分母分式相加減時(shí)要注意:“把分子相加減”就是把各個(gè)分式的分子“整體”相加減，在這里要注意分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用.

3.異分母分式加減的一般步驟:①通分：將異分母分式轉(zhuǎn)化為同分母分式；②加減：寫(xiě)成分母不變，分子相加減的形式；③合并：分子去括號(hào)，合并同類項(xiàng)；④約分：分子、分母約分，將結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式或整弍.因此，異分母分式加減法的關(guān)鍵是通分.【例題精講】例1、.化簡(jiǎn)﹣的結(jié)果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．x D．﹣x【分析】原式利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：原式==x，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化練習(xí)】1、計(jì)算﹣a﹣1的結(jié)果為（）A．1 B．﹣1 C． D．2、已知：﹣=，則的值是（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3知識(shí)點(diǎn)四分式的混合運(yùn)算、化簡(jiǎn)求值【知識(shí)梳理】分式的混合運(yùn)算與有理數(shù)的混合運(yùn)算一樣，先算乘方，再算乘除，最后算加減.如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.在運(yùn)算過(guò)程中，要靈活運(yùn)用有關(guān)運(yùn)算律.

【提醒】

1.在運(yùn)算過(guò)程中，能約分的盡量約分，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，

2.運(yùn)算結(jié)果一定要是最簡(jiǎn)形弍.【例題精講】例1、化簡(jiǎn)（a﹣1）÷（﹣1）?a的結(jié)果是（）A．﹣a2 B．1 C．a(chǎn)2 D．﹣1【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：原式=（a﹣1）÷?a=（a﹣1）??a=﹣a2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．例2、先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣）÷，其中a=．【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將a的值代入計(jì)算可得．【解答】解：原式=[﹣]÷=?=，當(dāng)a=時(shí)，原式===5﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【強(qiáng)化練習(xí)】化簡(jiǎn)（1﹣）÷的結(jié)果是（）A．（x+1）2 B．（x﹣1）2 C． D．知識(shí)點(diǎn)五分式方程【知識(shí)梳理】一、分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．

判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．二、分式方程的解（重點(diǎn)）求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．

注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【例題精講】例1、方程=1的解是（）A．x=1 B．x=3 C．x=4 D．無(wú)解【解答】解：化為整式方程為：3﹣x﹣1=x﹣4，解得：x=3，經(jīng)檢驗(yàn)x=3是原方程的解，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要驗(yàn)根．【強(qiáng)化練習(xí)】已知x=3是分式方程=3的解，那么實(shí)數(shù)k的值為（）A．1 B． C．6 D．9三、知識(shí)總結(jié)1、掌握分式四則運(yùn)算、學(xué)會(huì)結(jié)合完全平方公式、平方差公式進(jìn)行分式化簡(jiǎn)求值；2、掌握分式方程的概念、解的意義，并會(huì)解簡(jiǎn)單的分式方程。課后練習(xí)1．（﹣）﹣1等于（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣2．下列計(jì)算結(jié)果正確的有（）①?=；②8a2b2?（﹣）=﹣6a3；③÷=；④a÷b?=a．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．下來(lái)運(yùn)算中正確的是（）A．÷= B．（）2=C．= D．?=4．計(jì)算的結(jié)果為（）A．1 B．3 C． D．5．已知a++2b≠0，則的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．已知a2+3a﹣3=0，則代數(shù)式a2+的值是（）A．3 B． C．15 D．97．已知a+=3，則（a﹣）2=（）A．3 B．5 C．7 D．98．計(jì)算（﹣1）﹣2018+（﹣1）2017所得的結(jié)果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣29．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)5+a5=a10 B．a(chǎn)6×a4=a24 C．a(chǎn)0÷a﹣1=a D．a(chǎn)4﹣a4=a010、分式方程=1的解是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣311、甲、乙兩船從相距300km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船從A地順流航行180km時(shí)與從B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度為6k