學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1概率加法公式應(yīng)用點(diǎn)撥概率的加法公式是計(jì)算概率的一個(gè)最基本的公式，根據(jù)它可以計(jì)算一些復(fù)雜事件的概率．概率的加法公式可推廣為若事件A1，A2，…，An彼此互斥(兩兩互斥)，則P(A1＋A2＋…＋An）＝P（A1)＋P(A2）＋…＋P(An),即彼此互斥事件和的概率等于各個(gè)事件發(fā)生的概率之和．用此公式時(shí)，同學(xué)們首先要判斷事件是否互斥,如果事件不互斥，就不能用此公式．下面舉例說明概率加法公式的應(yīng)用．一、計(jì)算互斥事件和的概率例1由經(jīng)驗(yàn)得知，某市某大型超市付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下表：排隊(duì)人數(shù)012345人以上概率0。100。160。300。300.100。04求:（1)至多2人排隊(duì)的概率；（2)至少2人排隊(duì)的概率．解(1)記“沒有人排隊(duì)"為事件A，“1人排隊(duì)”為事件B，“2人排隊(duì)”為事件C，則A,B，C彼此互斥．P（A＋B＋C)＝P(A)＋P(B）＋P(C)＝0。10＋0。16＋0。30＝0。56。（2)記“至少2人排隊(duì)"為事件D，“少于2人排隊(duì)”為事件A＋B,那么事件D與事件A＋B是對立事件，則P(D）＝P（eq\x\to(A＋B)）＝1－[P(A)＋P(B）]＝1－(0.10＋0。16）＝0.74.點(diǎn)評應(yīng)用概率加法公式求概率的前提有兩個(gè)：一是所求事件是幾個(gè)事件的和,二是這幾個(gè)事件彼此互斥．在應(yīng)用概率加法公式前，一定要弄清各事件之間的關(guān)系,把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)彼此互斥的事件的和，再應(yīng)用公式求解所求概率．二、求解“至少”與“至多”型問題例2甲、乙、丙、丁四人同時(shí)參加一等級考試，已知恰有1人過關(guān)（事件A）的概率為0。198,恰有2人過關(guān)(事件B)的概率為0.380，恰有3人過關(guān)（事件C）的概率為0.302，4人都過關(guān)(事件D)的概率為0。084。求：(1)至少有2人過關(guān)的概率P1；(2)至多有3人過關(guān)的概率P2。分析“至少有2人過關(guān)”即事件B＋C＋D，“至多有3人過關(guān)”即事件A,B,C與事件“4人均未過關(guān)”的和事件，其對立事件為D。(注意“4人均未過關(guān)"這種可能情況）解由條件知,事件A，B，C，D彼此互斥．（1)P1＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D）＝0。766。(2)P2＝P（eq\x\to(D))＝1－P(D)＝1－0.084＝0。916。點(diǎn)評處理“至多”、“至少”型問題，既可以分情況討論，也可以從反面考慮,即借助對立事件的概率間接求解．當(dāng)事件包含的情況較多時(shí),常利用P(A）＝1－P（eq\x\to（A））求P（A)．三、列方程求解概率問題例3某班級同學(xué)的血型分別為A型、B型、AB型、O型,從中任取一名同學(xué)，其血型為AB型的概率為0。09,為A型或O型的概率為0.61，為B型或O型的概率為0。60，試求任取一人,血型為A型、B型、O型的概率各是多少？分析設(shè)出所求事件的概率，將題中涉及到的事件用所求事件表示出來，借助這些事件的概率及公式，列方程求解即可．解記“任取一人，血型為A型”、“任取一人,血型為B型"、“任取一人,血型為AB型”、“任取一人，血型為O型"分別為事件E，F(xiàn)，G，H，顯然事件E，F(xiàn)，G，H兩兩互斥．故eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(PG＝0.09，,PE＋PH＝0。61，,PF＋PH＝0。60，,PE＋PF＋PG＋PH＝1，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（PE＝0。31,，PF＝0。30,,PH＝0。30.））所以任取一人，血型為A型、B型、O型的概率分別為0。31，0.30,0.30.點(diǎn)評本題很好地應(yīng)用了全體事件的和為必然事件這一點(diǎn)．挖掘題目中的隱含條件并合理利用是解決某些問題的關(guān)鍵，同學(xué)們應(yīng)注重這種能力的培養(yǎng)．2概率誤區(qū)追源同學(xué)們對概率一詞雖不陌生，但求解概率問題時(shí)總會一不小心就誤入歧途，下文例析幾類典型錯(cuò)誤，為同學(xué)們敲響警鐘．一、對頻率與概率的含義及關(guān)系理解不清致誤例1下列說法中正確的有________．①拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，結(jié)果7次正面向上，若事件A表示“正面向上”,則P(A)＝eq\f（7,10）；②某人將一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次，兩次都正面向上，則正面向上的頻率是1;③利用均勻的號簽抽簽決定甲乙二人誰當(dāng)班長時(shí)，先抽的人當(dāng)班長的概率大；④已知某批水杯的次品率為2％，則該批水杯中每100個(gè)便會有2個(gè)次品；⑤做10000次隨機(jī)試驗(yàn),某事件發(fā)生的頻率可作為該事件發(fā)生的概率．錯(cuò)解①②③④⑤剖析①中，P(A）表示事件A發(fā)生的概率，應(yīng)為eq\f（1，2）.而eq\f（7,10)為事件A發(fā)生的頻率,二者不相等；③中,無論先抽還是后抽，抽到當(dāng)班長的概率相同；④中，概率代表某事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，不能由其判斷做一次試驗(yàn)一定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果；⑤中，概率值是在大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上,由多個(gè)頻率的變化規(guī)律得到的,僅憑10000次隨機(jī)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的頻率得不出該事件發(fā)生的概率．正解②點(diǎn)評頻率與隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)有關(guān),具有隨機(jī)性．做相同次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)，某事件發(fā)生的頻率不一定相同．概率與隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān)，具有不變性，反映了事件發(fā)生的可能性大?。?、對立事件概念理解不透致誤例2某人面試時(shí)，答了3道試題．若此人各道試題回答正確與否具有隨機(jī)性,則他至少答對1道題的對立事件是_____________________．錯(cuò)解該次面試，此人至多答對1道題．剖析對一些關(guān)鍵判斷詞的否定詞不能準(zhǔn)確理解應(yīng)用，誤認(rèn)為將“至少”改為“至多”即可得其對立事件．正解此人答對題的個(gè)數(shù)可以是0、1、2、3?！爸辽俅饘?道題"，即答對1道、2道或3道，所以“他至少答對1道題”的對立事件是“他1道題也沒答對”．點(diǎn)評在寫某事件的對立事件時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確把握常見判斷詞及其否定，如①都是——不都是；②全——不全；③至少有n種——至多有n－1種；④大于—-小于或等于．三、錯(cuò)用加法公式(不互斥時(shí))致誤例3幾個(gè)人玩擲骰子游戲,某人先隨機(jī)向上拋擲一顆骰子，骰子落下后各點(diǎn)向上的概率都是eq\f(1,6），事件A表示“朝上的點(diǎn)數(shù)是不等于6的偶數(shù)”,事件B表示“朝上的點(diǎn)數(shù)不少于4”，求P(A＋B）．錯(cuò)解因?yàn)镻（A）＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6）＝eq\f(1,3)，P（B)＝eq\f（1，6)＋eq\f(1，6)＋eq\f（1，6）＝eq\f(1,2），所以P（A＋B）＝P(A）＋P(B）＝eq\f(1，3)＋eq\f（1,2)＝eq\f(5,6）.剖析錯(cuò)解的原因在于忽視了概率加法公式應(yīng)用的前提條件．由于當(dāng)朝上一面的數(shù)為4時(shí)，事件A,B同時(shí)發(fā)生，所以事件“朝上一面的數(shù)是不等于6的偶數(shù)”與“朝上一面的數(shù)不少于4”不互斥，故不能應(yīng)用公式P（A＋B）＝P(A）＋P(B)求解．正解記“朝上一面的數(shù)為i(i＝1,2，3,4,5,6)"為事件Ci，則六個(gè)事件彼此互斥，且A＝C2＋C4，B＝C4＋C5＋C6，所以A＋B＝C2＋C4＋C5＋C6，所以P（A＋B）＝P（C2＋C4＋C5＋C6)＝eq\f(1，6)＋eq\f（1，6）＋eq\f(1,6)＋eq\f（1，6)＝eq\f（2,3)。點(diǎn)評求解隨機(jī)事件的概率時(shí)，要注意分清哪些事件互斥，哪些不互斥．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式時(shí)，要先判斷兩個(gè)或多個(gè)事件是否彼此互斥，只有事件彼此互斥時(shí)才可用公式求解．3概率中的幾個(gè)易混概念辨析概率問題中有許多概念看似相似，實(shí)則不同，非常容易混淆，本文就概率中的幾組易混概念進(jìn)行對比分析，以提高同學(xué)們的辨別能力和解題能力．1．隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件隨機(jī)事件是指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；而必然事件是指在一定條件下一定發(fā)生的事件，其概率為1；不可能事件是指在一定條件下一定不發(fā)生的事件，其概率為0。但需要注意，從概率學(xué)角度看，概率為1的事件可以是必然事件，也可以是隨機(jī)事件；同樣，概率為0的事件可以是不可能事件也可能是隨機(jī)事件．2．頻率和概率頻率和概率是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．頻率是指在多次重復(fù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值,它隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，它不是常數(shù),但它具有一定的穩(wěn)定性,總在某個(gè)常數(shù)附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增大，這種擺動幅度越來越?。鲜鲋械某?shù)是事件發(fā)生的概率，它不隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，頻率只能作為概率的一個(gè)近似值．(有時(shí)頻率與概率相等，如必然事件)例1判斷下列命題的真假．（1）擲100次硬幣,出現(xiàn)正面的頻率是0。4,則在試驗(yàn)中出現(xiàn)正面向上的次數(shù)為40次；(2)某產(chǎn)品的次品率為3%,則任取該產(chǎn)品100件，其中必有3件次品．解（1)真；（2）假．3．互斥事件與對立事件互斥事件、對立事件的共同點(diǎn)是都涉及兩個(gè)事件之間的關(guān)系．如果事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，那么稱事件A與B為互斥事件，它包含兩層含義:在同一次試驗(yàn)中，①A,B都未發(fā)生;②A,B恰有一個(gè)發(fā)生．在同一試驗(yàn)中,不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件互為對立事件．注：①互斥事件是對立事件的前提；②兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生；③對立事件的概率和等于1，即P（A）＋P(eq\x\to（A)）＝1.因此,兩事件對立，必定互斥，但互斥不一定對立．從集合角度考慮：兩個(gè)事件A與B互斥，是指由A，B所含的結(jié)果所組成的集合的交集是?。一般情形:如果事件A1,A2，…，An中任何兩個(gè)都是互斥事件，那么我們稱A1，A2，…,An彼此互斥．各事件包含的結(jié)果組成的集合A1，A2,…，An有A1∩A2∩…∩An＝?；對于事件A，B所包含的結(jié)果組成的集合A，B若滿足“A∪B＝Ω(Ω為所有可能事件組成的集合）且A∩B＝?”，則事件A與B為對立事件，也即A＝?ΩB，B＝?ΩA.利用上述集合觀點(diǎn)，很容易判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件或?qū)α⑹录?．“放回”與“不放回”例2從含有兩件正品a1,a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中每次任取一件，連續(xù)取兩次．（1)若每次取出后不放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；(2）若每次取出后放回，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．解(1）每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果為(a1，a2),（a1，b1)，(a2，a1），（a2，b1），(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括號中左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．用A表示“取出的兩件產(chǎn)品中，恰好有一件次品”這一事件，則事件A由(a1，b1)，（a2，b1)，(b1，a1）,（b1，a2）4個(gè)事件組成，因而P(A）＝eq\f(4,6）＝eq\f（2,3).（2)有放回地取出兩件，其一切可能的結(jié)果為（a1，a1），（a1，a2）,(a1，b1)，（a2，a1)，（a2,a2)，(a2，b1）,(b1，a1),（b1，a2)，(b1，b1),且B表示“恰有一件次品”這一事件,則事件B由（a1，b1)，(a2，b1）,(b1,a1），（b1,a2）4個(gè)事件組成，因而P（B)＝eq\f（4,9)。4點(diǎn)擊古典概型中的列舉法古典概型是概率部分的一個(gè)重要內(nèi)容，涉及到古典概型概率求解的問題一般難度不大，但極易出錯(cuò)，下面介紹三種列舉方法供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考．一、直接列舉法例1袋中有除顏色外大小均相同的紅、白、黃、黑4個(gè)小球．(1)從中任取一球，求取出白球的概率；(2)從中任取兩球,求取出的是紅球和白球的概率．分析求古典概型的概率，應(yīng)先列舉出總的基本事件數(shù)、所求事件包含的基本事件數(shù),然后利用公式求概率．解（1）設(shè)A表示事件“取出白球”．在“從中任取一球”的試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的結(jié)果有取出紅球，取出白球，取出黃球，取出黑球，共4種，所以P（A）＝eq\f(1，4)。(2)設(shè)B表示事件“取出的兩個(gè)球是紅球和白球”，在“從中任取兩球”這個(gè)試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種：(紅,白)，（紅，黃）,(紅，黑），(白，黃），(白，黑），（黃，黑）．所以P（B）＝eq\f（1，6）。點(diǎn)評若事件發(fā)生的總數(shù)不是很多時(shí)，常用直接列舉法，就是依次將各基本事件列舉出來．二、表格列舉法例2用正方體做一顆骰子，在6個(gè)面上分別標(biāo)上1，2，3,4，5,6,現(xiàn)將這顆骰子先后拋擲兩次，試問：（1)“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”與“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率是否一樣大？(2）“點(diǎn)數(shù)之和為6”與“點(diǎn)數(shù)之和為8”的概率是否一樣大？(3)從問題（2)中你能發(fā)現(xiàn)什么樣的一般規(guī)律？分析兩次點(diǎn)數(shù)之和的事件數(shù)比較多,可利用表格列舉法來處理，分別用第一行和第一列的數(shù)表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)，交叉處表示它們的和，由此可計(jì)算出所求事件的概率．解如表格:第一行、第一列中的數(shù)表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，行與列交叉處的數(shù)表示點(diǎn)數(shù)之和:123456123456723456783456789456789105678910116789101112（1)由表知：基本事件有36個(gè)，記“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”為事件A,“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)"為事件B，事件A含基本事件18個(gè),事件B含基本事件18個(gè)，所以P(A)＝P（B)＝eq\f（18，36)＝eq\f（1,2），即事件A，B的概率一樣大．(2）記“點(diǎn)數(shù)之和為6”為事件C，記“點(diǎn)數(shù)之和為8”為事件D，事件C含有5個(gè)基本事件，分別為(1,5)，（5，1）,（2,4)，(4，2），(3,3）．事件D含有5個(gè)基本事件,分別為(2,6）,（6，2），(3,5)，（5,3)，(4，4)．所以P（C）＝P（D）＝eq\f（5，36)，即事件C，D的概率一樣大．(3)從上面的（2)中及表格中可發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)之和為x"與“點(diǎn)數(shù)之和為14－x”的概率一樣大．點(diǎn)評涉及到兩次結(jié)果的問題，一般可采用表格列舉法來列舉基本事件,這樣可保證列舉時(shí)不重不漏．三、樹形圖列舉法例3用三種不同的顏色給圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色,每個(gè)矩形只涂1種顏色．求：(1）3個(gè)矩形顏色都相同的概率；(2)3個(gè)矩形顏色都不同的概率．解由樹形圖（用R，Y,G分別代表三種不同的顏色)可知，本題的基本事件共有27個(gè)．因?yàn)閷?個(gè)矩形涂色時(shí)，選用顏色是隨機(jī)的,所以這27個(gè)基本事件是等可能的．(1）記“3個(gè)矩形顏色都相同”為事件A。由樹形圖知,事件A包含的基本事件有1×3＝3(個(gè)),故P(A）＝eq\f（3,27）＝eq\f(1，9)。(2）記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件B。由樹形圖可知，事件B包含的基本事件有2×3＝6（個(gè)），故P(B）＝eq\f（6,27)＝eq\f(2,9).點(diǎn)評當(dāng)題中的基本事件較多、較為復(fù)雜時(shí)，可結(jié)合樹形圖進(jìn)行分類、列舉．求解古典概型的概率問題中，上述三種常用的求解方法都是直接求解的．若直接或正面思考時(shí)比較困難，則需轉(zhuǎn)換思維角度，可利用正難則反的思想，如利用對立事件的概率進(jìn)行求解．5解古典概型技巧談求解古典概型問題時(shí)，基本事件數(shù)的求解有時(shí)比較麻煩,下面介紹幾種常見的古典概型解題技巧．一、利用對稱性求概率在古典概型中，處于對稱平等地位的事件發(fā)生的概率一般相同，應(yīng)用這一結(jié)論可以巧妙地列舉出基本事件,簡化計(jì)算，從而收到事半功倍的效果．例1在線段AB上任取不同的3點(diǎn)x1，x2，x3，求x2位于x1,x3之間的概率．分析初看本題不是古典概型問題，但如果我們仔細(xì)觀察，就會發(fā)現(xiàn)，其實(shí)是一個(gè)古典概型問題．解設(shè)A1＝{x1位于x2，x3之間｝，A2＝{x2位于x1，x3之間}，A3＝｛x3位于x1，x2之間｝，則事件A1，A2，A3處于對稱平等的地位,其發(fā)生的可能性是相等的，且A1，A2，A3兩兩互斥．故該試驗(yàn)可看成只有3個(gè)基本事件A1,A2，A3，所以所求概率P（A2)＝eq\f(1,3）。點(diǎn)評在線段AB上取點(diǎn)有無數(shù)種情況，但就此題而言，只需考慮x1，x2,x3三者的位置關(guān)系，并由對稱性順利求解．跟蹤訓(xùn)練1臨近畢業(yè)，各個(gè)班級都在合影留念，在高三(1）班合影時(shí)，攝影師隨意安排A,B,C，D，E共5名同學(xué)站成一排，試求A在B的右邊(A，B可以不相鄰）的概率為________．解析A在B的右邊與B在A的右邊對稱．答案eq\f（1,2)二、轉(zhuǎn)換角度求概率在解決古典概型問題時(shí)，應(yīng)抓住事件的本質(zhì),從合適的角度入手，正確列舉出基本事件．例2任取一個(gè)正整數(shù),求該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1的概率．分析任取一個(gè)正整數(shù),有無數(shù)種情況,但它們的四次方的末位數(shù)只與正整數(shù)的末位數(shù)0～9有關(guān)，因此，只研究其末位數(shù)即可．解不能把所有的正整數(shù)作為基本事件總體,因?yàn)檫@樣得到的基本事件是無限的，不滿足古典概型所要求的“有限性"的條件．由于正整數(shù)四次方的末位數(shù)是由這個(gè)數(shù)的末位數(shù)決定的，可能是0，1，2，…，9中的任意一個(gè)(等可能)，當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是1，3,7，9時(shí)，其四次方的末位數(shù)均為1，所以取基本事件為0,1,2,…,9,則所求事件A＝{1，3,7,9｝，其概率P(A）＝eq\f(4,10)＝eq\f（2，5）.點(diǎn)評通過該例,我們看到當(dāng)問題應(yīng)用常規(guī)的列舉法無法解答時(shí)，應(yīng)探求其本質(zhì)，本題只是根據(jù)決定四次方的末位數(shù)為1的“末位數(shù)”來解答的．當(dāng)然這類題有其特殊性，但是從中可以發(fā)現(xiàn)選取合適的基本事件是非常重要的．跟蹤訓(xùn)練2有五名同學(xué)A，B，C，D,E需在最短時(shí)間內(nèi)站成一排，則C恰好站在中間的概率為________．解析只考慮中間位置．答案eq\f（1,5)三、利用互斥事件(或?qū)α⑹录┣蟾怕视行┕诺涓判蛦栴}，如果從正面考慮其基本事件比較多，可以分解為幾個(gè)互斥事件進(jìn)行求解，也可以從它的反面考慮,即借助對立事件來求．例3盒子中裝有編號為1，2，3，4,5，6，7的七個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號之積為偶數(shù)的概率是________．(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）．分析兩個(gè)數(shù)之積是偶數(shù)，則兩個(gè)數(shù)至少有一個(gè)是偶數(shù)，需考慮的情形比較多，但是對立事件：“兩數(shù)之積為奇數(shù)”則很簡單，所以先求對立事件的概率．解析從4個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)共7個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，通過列舉共有21個(gè)基本事件，2個(gè)數(shù)之積為奇數(shù)?2個(gè)數(shù)分別為奇數(shù)，共有6個(gè)基本事件，所以2個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的概率P＝1－eq\f（6,21)＝eq\f（5，7)。答案eq\f（5，7）跟蹤訓(xùn)練3將一枚硬幣連擲4次，則至少有1次正面朝上的概率為________．答案eq\f(15，16)6走出解古典概型的誤區(qū)古典概型是基本事件滿足有限性和等可能性的一類特殊的概率模型，若對這兩點(diǎn)理解不透徹，便會產(chǎn)生錯(cuò)誤．另外，根據(jù)題目條件的不同，處理問題的過程中也要注意上述兩點(diǎn)，防止得出錯(cuò)誤的結(jié)論．下面我們將常見的古典概型易錯(cuò)題型總結(jié)如下：一、基本事件表示不合理，導(dǎo)致不滿足等可能性例1拋兩枚硬幣，可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果為“兩個(gè)正面”、“兩個(gè)反面”、“一正一反”三種，則事件“一正一反"發(fā)生的概率為________．錯(cuò)解因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果有“兩個(gè)正面”、“兩個(gè)反面"、“一正一反”三類，故事件“一正一反”發(fā)生的概率為eq\f（1，3)。錯(cuò)因分析“一正一反”包括“（正,反)，（反，正)”兩個(gè)基本事件,上述解題過程中列舉的結(jié)果把其當(dāng)成一個(gè)基本事件，導(dǎo)致基本事件不是等可能發(fā)生的,因此求得的概率是錯(cuò)誤的．正解試驗(yàn)的所有基本事件為（正,正)，（反，反)，(反，正)，（正，反)四個(gè)．因此,事件“一正一反”發(fā)生的概率為eq\f（1，2）。答案eq\f（1，2)點(diǎn)評對古典概型的基本事件列舉要全面，即列出進(jìn)行一次試驗(yàn)得到的所有可能結(jié)果．再進(jìn)一步驗(yàn)證基本事件發(fā)生的概率是否相等,若不相等，則選擇的基本事件不能用來計(jì)算概率值．二、基本事件選擇不當(dāng)，誤將“無限”當(dāng)成“有限”例2在區(qū)間［0,10］上任取一個(gè)數(shù)字，取到數(shù)字5的概率是多少？錯(cuò)解由題意易知，此試驗(yàn)的基本事件為取到數(shù)字0,1,2,…,9，10，共11個(gè)．記事件A＝“取到數(shù)字5”，則P（A)＝eq\f(1，11)。錯(cuò)因分析解題過程中沒有判斷這個(gè)試驗(yàn)是否滿足古典概型的定義．由于試驗(yàn)結(jié)果為區(qū)間[0,10］上的數(shù),有無窮多個(gè)．也就是說，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件有無窮多個(gè),故不滿足古典概型的定義．正解0點(diǎn)評滿足古典概型的試驗(yàn)中僅含有有限個(gè)基本事件,若某個(gè)試驗(yàn)的基本事件有無限個(gè),那么這樣的試驗(yàn)一定不滿足古典概型．三、忽略有無放回，導(dǎo)致基本事件遺漏例3某商場舉行購物抽獎(jiǎng)促銷活動,規(guī)定每位顧客從裝有編號為0,1，2，3的四個(gè)大小、質(zhì)地均相同的小球的抽獎(jiǎng)箱中，每次取出一球，記下編號后放回，連續(xù)取兩次．若取出的兩個(gè)小球號碼之和等于5，則中一等獎(jiǎng)；等于4，則中二等獎(jiǎng)；等于3，則中三等獎(jiǎng)，求連續(xù)取兩次中獎(jiǎng)的概率．錯(cuò)解設(shè)“中獎(jiǎng)”為事件A,從四個(gè)小球中取兩個(gè)共有(0，1)，(0,2)，(0，3），(1，2)，（1,3），（2,3)共6種不同的結(jié)果．而取出的兩個(gè)小球號碼之和等于3或4或5的結(jié)果有（0，3)，(1,2），（1,3），（2,3），共4種,故中獎(jiǎng)的概率P(A)＝eq\f（4,6)＝eq\f（2,3).錯(cuò)因分析上述解題出錯(cuò)的原因，是沒有注意到“每次取出一球,記下編號后放回”這個(gè)關(guān)鍵句，對放回后對試驗(yàn)的影響不理解，導(dǎo)致忽略(0,0）,（2,2），以及（3,0），(2，1）等事件,從而出現(xiàn)錯(cuò)誤．正解設(shè)“中獎(jiǎng)"為事件A，從四個(gè)小球中有放回地取兩個(gè)，共有（0,0），(0,1），（0,2)，(0,3）,(1，0)，(1，1）,(1,2）,(1，3），（2，0），(2,1)，（2，2)，（2,3）,(3,0）,（3，1），（3,2)，（3,3）共16種不同的結(jié)果．取出的兩個(gè)小球號碼之和等于4或3的結(jié)果有(1,3），(2，2）,(3,1），(0,3），（1，2），(2，1）,（3,0），共7種;兩個(gè)小球號碼之和等于5的結(jié)果有2種：（2,3)，（3,2）．故中獎(jiǎng)的概率P(A)＝eq\f（9,16).點(diǎn)評對于無放回的取球問題，一般利用無序的數(shù)組表示兩個(gè)元素，并且不會出現(xiàn)重復(fù)元素；但有放回的問題，因?yàn)槿〕龅脑貢环呕?，便會?dǎo)致兩次可能重復(fù)出現(xiàn)一個(gè)元素，我們用坐標(biāo)來表示更清晰．7概率與其他知識的綜合概率已成為高考的新重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，由于概率比較容易與其他知識相結(jié)合出一些綜合性試題,而且創(chuàng)新型試題不斷涌現(xiàn)．下面就一些常見的綜合題略作介紹．1．集合與幾何概型例1已知集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝1｝，集合B＝｛(x,y)｜x＋y＋a＝0｝，若A∩B≠?的概率為1,則a的取值范圍是________．解析若A∩B≠?的概率為1，則集合A與B有公共元素，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1,，x＋y＋a＝0，))∴2x2＋2ax＋a2－1＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝4a2－8（a2－1)≥0，∴－eq\r（2)≤a≤eq\r（2）.答案[－eq\r（2)，eq\r（2)]點(diǎn)評由于A∩B≠?是必然事件，說明直線和圓必相交，也可以利用圓心(0,0)到直線l：x＋y＋a＝0的距離小于等于圓的半徑r＝1來求解．2．幾何與幾何概型例2已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB"發(fā)生的概率為eq\f(1，2），則eq\f（AD，AB）＝________。分析本題的關(guān)鍵是找出使△APB的最大邊是AB的臨界條件,首先是確定AD〈AB，然后作出矩形ABCD，最后分別以A,B為圓心,以AB為半徑作圓弧交CD于F，E,當(dāng)EF＝eq\f（1，2)CD時(shí)滿足題意．解析如圖，在矩形ABCD中，以AB為半徑作圓交CD分別于E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動時(shí)滿足題設(shè)要求，所以E，F(xiàn)為CD的四等分點(diǎn),設(shè)AB＝4，則DF＝3，AF＝AB＝4，在Rt△ADF中，AD＝eq\r(AF2－DF2)＝eq\r(7）,所以eq\f(AD,AB）＝eq\f（\r（7）,4)。答案eq\f（\r(7）,4)點(diǎn)評數(shù)形結(jié)合的思想方法是常用的數(shù)學(xué)思想方法．3．古典概型與直角坐標(biāo)系相結(jié)合例3已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0,2，4,6，8｝，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)x∈A，y∈A，且x≠y，計(jì)算：（1)點(diǎn)（x，y）不在x軸上的概率;（2）點(diǎn)（x,y）正好在第二象限的概率．分析x，y的選取是隨機(jī)的，在集合A中任取兩數(shù)，記為（x,y)是等可能的．解點(diǎn)(x，y)中，x∈A，y∈A，且x≠y,故x有10種可能,y有9種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10×9＝90（種）,且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．(1）設(shè)事件B為“點(diǎn)（x，y)不在x軸上”,那么y不為0有9種可能，x有9種可能，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為9×9＝81，因此P(B）＝eq\f(9×9，10×9)＝eq\f（9,10)。(2）設(shè)事件C為“（x，y）正好在第二象限”，則x〈0，y〉0,x有5種可能，y有4種可能,事件C包含的基本事件個(gè)數(shù)為5×4＝20，因此P(C)＝eq\f（20，90）＝eq\f（2，9).點(diǎn)評本題是古典概型與直角坐標(biāo)系相結(jié)合的綜合題．關(guān)鍵是把試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件的個(gè)數(shù)及所求事件的個(gè)數(shù)分析透，找不準(zhǔn)、找不全基本事件是常出現(xiàn)的錯(cuò)誤．4．跨學(xué)科綜合題例4把x，y兩種遺傳基因冷凍保存以供科研用，若x基因有30個(gè)單位，y基因有20個(gè)單位,且在保存過程中有2個(gè)單位的基因失效,求x,y兩種基因各失效一個(gè)單位的概率．分析哪一個(gè)單位的基因失效是等可能的，且基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，所以屬于古典概型．解2個(gè)單位的基因失效取自x,y兩種基因各一個(gè)，共有30×20＝600(種）可能，而整個(gè)事件共有eq\f（50×49，2)＝1225(種)可能,故所求概率為P＝eq\f(600,1225）＝eq\f（24，49）.點(diǎn)評本題考查了利用古典概型解決實(shí)際問題的能力.8概率中的數(shù)學(xué)思想概率的有關(guān)知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，恰當(dāng)合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，可以幫助我們更快、更準(zhǔn)確地解決問題．下面舉例說明求解概率問題時(shí)常用的三種思想方法．一、數(shù)形結(jié)合思想例1某學(xué)校成立了三個(gè)社團(tuán),共60人參加，A社團(tuán)有39人，B社團(tuán)有33人，C社團(tuán)有32人,僅參加B社團(tuán)的有8人,只參加A，B兩社團(tuán)的有10人，只參加A,C兩社團(tuán)的有11人,三個(gè)社團(tuán)都參加的有8人．從這60人中隨機(jī)抽取一名成員，求（1)他只參加兩個(gè)社團(tuán)的概率為多少？(2)他至少參加兩個(gè)社團(tuán)的概率為多少？分析本題為古典概型問題，直接求解思路不太清晰，可以借助Venn圖．解由條件可得如圖所示的Venn圖：設(shè)事件D表示“他只參加兩個(gè)社團(tuán)”,事件E表示“他至少參加兩個(gè)社團(tuán)"，則有(1)隨機(jī)抽取一名成員，他只參加兩個(gè)社團(tuán)的概率為P（D）＝eq\f（10＋7＋11,60)＝eq\f（7，15)。（2)隨機(jī)抽取一名成員，他至少參加兩個(gè)社團(tuán)的概率為P(E）＝eq\f（7＋8＋10＋11,60）＝eq\f（3,5）。點(diǎn)評本題借助于集合中的Venn圖，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來,通過數(shù)與形的雙向聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了直觀、快速、準(zhǔn)確解題的目的．例2在一次商貿(mào)交易會上，某商家開展促銷抽獎(jiǎng)活動，甲、乙兩人相約參與抽獎(jiǎng)．若甲計(jì)劃在9：00~9：40之間趕到，乙計(jì)劃在9：20～10：00之間趕到，求甲比乙提前到達(dá)的概率．分析本題屬于幾何概型問題,由于涉及到兩個(gè)變量，故可建立坐標(biāo)系，借助面積來解決．