④可得：為腔內(nèi)單位體積中頻率處于v附近單位頻率間隔內(nèi)的光波模式數(shù)。3、四能級(jí)激光器：在四能級(jí)系統(tǒng)中，激光下能級(jí)是激發(fā)態(tài)，其無(wú)輻射躍遷概率很大，由于所以有故能級(jí)集居數(shù)密度的為閾值為損耗，為工作物質(zhì)長(zhǎng)度，為發(fā)射截面。為便穩(wěn)定于，單位時(shí)間內(nèi)在單位體積中有個(gè)粒子從能級(jí)躍遷到能級(jí)，也有相應(yīng)的為了穩(wěn)定于，則有所以故閾值泵浦功率為4三能級(jí)激光器的閾值泵浦功率（）證明：反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度：，因?yàn)?，所以總粒子?shù)密度為：，由式（1）和式（2）得：。當(dāng)能級(jí)達(dá)到閾值粒子數(shù)密度時(shí)，有。剛開(kāi)始抽運(yùn)時(shí)，有，所以，，又因?yàn)樵趩挝粫r(shí)間單位體積中有個(gè)粒子從能級(jí)到能級(jí)。故須吸收的泵浦功率的閾值為：四、計(jì)算題：1、激光腔的諧振腔由一曲率半徑為1M的凸和曲率半徑為2M的凹面鏡構(gòu)成，工作物質(zhì)長(zhǎng)度為0.5M，其折射率為1.52，求腔長(zhǎng)在什么范圍內(nèi)諧振腔是穩(wěn)定的。解答如下：設(shè)腔長(zhǎng)為，腔的光學(xué)長(zhǎng)度為，已知，，，，，根據(jù)，代入已知的凸凹鏡的曲率半徑，得到：因?yàn)楹泄ぷ魑镔|(zhì)，已經(jīng)不是無(wú)源腔，因此，這里L(fēng)應(yīng)該是光程的大小（或者說(shuō)是利用光線在均勻介質(zhì)里傳播矩陣）。即，代入上式，得到：要達(dá)到穩(wěn)定腔的條件，必須是，按照這個(gè)條件，得到腔的幾何長(zhǎng)度為：，單位是米。2、今有一球面腔，兩個(gè)曲率半徑分別是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，是證明該腔是穩(wěn)定腔，求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)，在圖中畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。解：共軸球面腔穩(wěn)定判別的公式是，這個(gè)公式具有普適性（教材36頁(yè)中間文字部分），對(duì)于簡(jiǎn)單共軸球面腔，可以利用上邊式子的變換形式判斷穩(wěn)定性，其中。題中，，在穩(wěn)定腔的判別范圍內(nèi)，所以是穩(wěn)定腔。任意一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)，一個(gè)一般穩(wěn)定球面腔唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)共焦腔，他們的行波場(chǎng)是相同的。等價(jià)共焦腔的參數(shù)包括：以等價(jià)共焦腔的腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，從坐標(biāo)原點(diǎn)到一般穩(wěn)定球面兩個(gè)腔鏡面的坐標(biāo)和，再加上它的共焦腔的鏡面焦距，這三個(gè)參數(shù)就能完全確定等價(jià)共焦腔。根據(jù)公式（激光原理p66-2.8.4）得到：因此3、某高斯光束束腰光斑半徑為1.14MM，波長(zhǎng)λ=10.6μM。求與束腰相距30厘米、100厘米、1000米遠(yuǎn)處的光斑半徑及相應(yīng)的曲率半徑。解答：根據(jù)公式（激光原理p71-2.9.4,2.9.6）把不同距離的數(shù)據(jù)代入，得到：，，曲率半徑與不同距離對(duì)應(yīng)的曲率半徑為：，，4、若已知某高斯光束的束腰半徑為0.3毫米，波長(zhǎng)為632.8納米。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰距離30厘米處的q參數(shù)值，與束腰相距無(wú)限遠(yuǎn)處的q值。解答：束腰處的q參數(shù)值實(shí)際上就是書(shū)中的公交參量（激光原理p73-2.9.12）：根據(jù)公式（激光原理p75-2.10.8），可以得到30厘米和無(wú)窮遠(yuǎn)處的q參數(shù)值分別為無(wú)窮遠(yuǎn)處的參數(shù)值為無(wú)窮大。5、某高斯光束束腰半徑為1.2毫米，波長(zhǎng)為10.6微米?，F(xiàn)在用焦距F=2cm的鍺透鏡聚焦，當(dāng)束腰與透鏡距離分別為10米，1米，10厘米和0時(shí)，求焦斑大小和位置，并分析結(jié)果。解答：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18）當(dāng)束腰與透鏡距離10米時(shí)同理可得到：6、二氧化碳激光器輸出波長(zhǎng)為10.6微米的激光，束腰半徑為3毫米，用一個(gè)焦距為2厘米的凸透鏡聚焦，求欲得到焦斑半徑為20微米及2.5微米時(shí)，透鏡應(yīng)該放在什么位置。解答：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.18）上式中束腰到透鏡的距離l就是我們要求的參數(shù)，其他各個(gè)參數(shù)都為已知，代入題中給出的數(shù)據(jù)，并對(duì)上式進(jìn)行變換，得到當(dāng)焦斑等于20微米時(shí)，（透鏡距束腰的距離）當(dāng)焦斑等于2.5微米時(shí)，7、某高斯光束束腰腰斑半徑為1.2毫米，波長(zhǎng)為10.6微米?，F(xiàn)在用一個(gè)望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用曲率半徑為1米的鍍金反射鏡，口徑為20厘米；副鏡為一個(gè)焦距為2.5厘米，口徑為1.5厘米的鍺透鏡；高斯光束束腰與透鏡相距1米，如圖所示。求該望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率。解答：根據(jù)公式（激光原理p84-2.11.19），其中，為望遠(yuǎn)鏡主鏡與副鏡的焦距比。題中的反射鏡，相當(dāng)于透鏡，且曲率半徑的一半就是透鏡的焦距。已知：，，，，，（經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，光斑在第一個(gè)透鏡表面形成的光斑半徑小于透鏡鏡面尺寸，衍射效應(yīng)很小，因此可以用準(zhǔn)直倍率公式）代入準(zhǔn)直倍率公式得到：9、激光器的工作物質(zhì)長(zhǎng)為，折射率，諧振腔腔長(zhǎng)為，諧振腔中除工作物質(zhì)外的其余部分折射率為，工作物質(zhì)中光子數(shù)密度為，試證明對(duì)頻率為中心頻率的光，其中證明：已知在工作伍之中單位體積內(nèi)的平均光子數(shù)為，設(shè)諧振腔其余部分中的單位體積內(nèi)的平均光子數(shù)為，光束均勻（光強(qiáng)均勻）且截面為，則腔內(nèi)總的光子數(shù)變化率為：————————————（1）其中又因?yàn)楣鈴?qiáng)均勻（工作物質(zhì)內(nèi)與工作物質(zhì)外），根據(jù)公式可得（P29-2.1.16）：把上式和腔的壽命表達(dá)式代入（1），得到：10、長(zhǎng)度為10厘米的好寶石棒置于長(zhǎng)度為20厘米的光諧振腔中，好寶石694.3納米譜線的自發(fā)輻射壽命為，均勻加寬線寬為，光腔單程損耗因子，求：（1）中心頻率處閾值反轉(zhuǎn)粒子數(shù)。（2）當(dāng)光泵激勵(lì)產(chǎn)生反轉(zhuǎn)粒子數(shù)時(shí)，有多少個(gè)縱?？梢哉袷?？（紅寶石折射率為1.76）解答：（1）根據(jù)公式（P166-5.1.4）可知：，其中是紅寶石的長(zhǎng)度，使激光上下能級(jí)的發(fā)射截面。根據(jù)題意紅寶石激光器是均勻加寬，因此可以利用均勻加寬的發(fā)射截面公式（P144-4.4.15）得到：，根據(jù)，，，代入發(fā)射截面公式，得到：，把此式代入閾值反轉(zhuǎn)粒子數(shù)公式得到：（2）根據(jù)公式（P150-4.5.5）得到：根據(jù)公式（P153-4.8.18）得到：由上式可以求得振蕩譜線寬度：又因?yàn)榭v模間隔為：，其中，分別為紅寶石長(zhǎng)度和腔長(zhǎng)，分別為紅寶石折射率及真空折射率，代入數(shù)據(jù)，得到腔內(nèi)可以起振的模式數(shù)為：考慮氦氖激光器的