第一章光的電磁理論1.1在真空中傳播的平面電磁波，其電場表示為Ex=0，Ey=0，Ez=102解：由Ex=0，Ey=0，Ez=102Cosπ×1014t-xc+π2，則頻率υ=ω2π=π×10142π=0.5×1014Hz，周期T=1/υ=2×10波長λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。1.2.一個平面電磁波可以表示為Ex=0，Ey=2Cos2π×1014zc-t+π解：（1）振幅A=2V/m，頻率υ=ω2π=2π×10142π=1014Hz，波長λ=cυ=3×1081014=3×10-6m，原點的初相位1.3.一個線偏振光在玻璃中傳播時可以表示為Ey=0，Ez=0，Ex=102Cosπ×1015解：（1）υ=ω2π=π×10152（2）λ=2π（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=c1.4寫出：（1）在yoz平面內(nèi)沿與y軸成θ角的k方向傳播的平面波的復(fù)振幅；（2）發(fā)散球面波和匯聚球面波的復(fù)振幅。解：（1）由E=Aexp（2）同理：發(fā)散球面波Er匯聚球面波Er1.5一平面簡諧電磁波在真空中沿正x方向傳播。其頻率為4×1014Hz，電場振幅為14.14V/m，如果該電磁波的振動面與xy平面呈45o，試寫出E，解：E=Ey==10exp=10exp=10exp同理：EzB=Bz=101.6一個沿k方向傳播的平面波表示為E=100expi2x+3y+4z-解：k=又k=∴k0=11.9證明當(dāng)入射角θ1=45o時，光波在任何兩種介質(zhì)分界面上的反射都有r證明：r=cosr=tan45o-tan1.10證明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面時，下表面的入射角也是布儒斯特角。證明：由布儒斯特角定義，θ+i=90o，設(shè)空氣和玻璃的折射率分別為n1和n2，先由空氣入射到玻璃中則有n1sin又θ'=?，∴即得證。1.11平行光以布儒斯特角從空氣中射到玻璃n=1.5上，求：（1）能流反射率Rp和RS；（2）能流透射率Tp解：由題意，得n=n又θ為布儒斯特角，則θ+?=90°.....①n1由①、②得，θ=56.31°，i=33.69°。（1）RpRs（2）由Rp+T同理，Ts=85.2%1.12證明光波在布儒斯特角下入射到兩種介質(zhì)的分界面上時，tp=1證明：tp=2sinθt=2sinθ2cosθ則tp=11.17利用復(fù)數(shù)表示式求兩個波E1=acos解：E=a=a=2=-2a1.18兩個振動方向相同的單色波在空間某一點產(chǎn)生的振動分別為E1=a1cosφ1-ωt和E2=解：E=E=6=10=10cos1.20求如圖所示的周期性三角波的傅立葉分析表達(dá)式。解：由圖可知，EzA=2λA=2λ=2λ·所以E=λ41.21試求如圖所示的周期性矩形波的傅立葉級數(shù)的表達(dá)式。解：由圖可知，EzAA=2=2πmsin所以Ez1.22利用復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)對如圖所示的周期性矩形波做傅里葉分析。解：由圖可知，EzA0AmBm=2=1πm所以E=1.23氪同位素kr86放電管發(fā)出的紅光波長為解：由題意，得，波列長度2L=700由公式Δλ=λ又由公式2L=c/Δν，所以頻率寬度c21.24某種激光的頻寬Δv=5.4解：由相干長度Dmax=λ第二章光的干涉及其應(yīng)用2.1在與一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度h=0.01mm解：由時間相干性的附加光程差公式Δ=1.5-1δ=2.2在楊氏干涉實驗中，若兩小孔距離為0.4mm，觀察屏至小孔所在平面的距離為100cm，在觀察屏上測得的干涉條紋間距為1.5cm，求所用光波的波。解：由公式?=λDλ=?d2.3波長為589.3nm的鈉光照射在雙縫上，在距雙縫100cm的觀察屏上測量20個干涉條紋的寬度為2.4cm，試計算雙縫之間的距離。解：因為干涉條紋是等間距的，所以一個干涉條紋的寬度為?=2.420cm。又由公式?=λD2.4設(shè)雙縫間距為1mm，雙縫離觀察屏為1m，用鈉光照明雙縫。鈉光包含波長為λ1=589nm和λ解：因為兩束光相互獨立傳播，所以λ1光束第10級亮條紋位置x1=mλ1=10×10002.5在楊氏雙縫干涉的雙縫后面分別放置n1=1.4和n2=1.7解：由題意，得n2所以t=條紋遷移方向向下。2.6在楊氏雙縫干涉實驗裝置中，以一個長30mm的充以空氣的氣室代替薄片置于小孔s1前，在觀察屏上觀察到一組干涉條紋。繼后抽去氣室中空氣，注入某種氣體，發(fā)現(xiàn)屏上條紋比抽氣前移動了25個。已知照明光波波長為656.28nm，空氣折射率n解：設(shè)注入氣室內(nèi)的氣體的折射率為n，則n-na==5.469×102.7楊氏干涉實驗中，若波長λ=600nm，在觀察屏上形成暗條紋的角寬度為0.02°，（1）試求楊氏干涉中二縫間的距離？（2）若其中一個狹縫通過的能量是另一個的4倍，試求干涉條紋的對比度？解：角寬度為ω=0.02所以條紋間距?=λ由題意，得I1K=2.8若雙狹縫間距為0.3mm，以單色光平行照射狹縫時，在距雙縫1.2m遠(yuǎn)的屏上，第5級暗條紋中心離中央極大中間的間隔為11.39mm，問所用的光源波長為多少？是何種器件的光源？解：由公式x=m+=11.39×10-3此光源為氦氖激光器。2.12在楊氏干涉實驗中，照明兩小孔的光源是一個直徑為2mm的圓形光源。光源發(fā)光的波長為500nm，它到小孔的距離為1.5m。問兩小孔可以發(fā)生干涉的最大距離是多少？解：因為是圓形光源，由公式bc則d=1.2.13月球到地球表面的距離約為3.8×10解：相干面積A=π==3.49×102.14若光波的波長寬度為Δλ，頻率寬度為Δν，試證明：Δνν=Δλλ。式中，ν和解：證明：由Dmaxc?Δλλ相干長度Dmax頻率寬度Δν=1.52.15在圖2.22（a）所示的平行平板干涉裝置中，若平板的厚度和折射率分別為h=3mm和n=1.5，望遠(yuǎn)鏡的視場角為6°，光的波長λ=4解：設(shè)能看見N個亮紋。從中心往外數(shù)第N個亮紋對透鏡中心的傾角θN，成為第N個條紋的角半徑。設(shè)m0為中心條紋級數(shù)，q為中心干涉極小數(shù)，令m0=m+q(m∈z,Δ中兩式相減，可得2nh1-cosθN=對于中心點，上下表面兩支反射光線的光程差為D=2ah+2.16一束平行白光垂直投射到置于空氣中的厚度均勻的折射率為n=1.5的薄膜上，發(fā)現(xiàn)反射光譜中出現(xiàn)波長為400nm和600nm的兩條暗線，求此薄膜的厚度？解：光程差Δ=n-1所以h=2.17用等厚條紋測量玻璃光楔的楔角時，在長5cm的范圍內(nèi)共有15個亮條紋，玻璃折射率n=1.52，所用單色光波長λ解：由公式?=λ2nα又?=5所以α=600×2.18利用牛頓環(huán)測透鏡曲率半徑時，測量出第10個暗環(huán)的直徑為2cm，若所用單色光波長為500nm，透鏡的曲率半徑是多少？解：由曲率半徑公式R==22.19F-P干涉儀兩反射鏡的反射率為0.5，試求它的最大透射率和最小透射率。若干涉儀兩反射鏡以折射率n=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小透射率又是多少？（不考慮系統(tǒng)吸收）解：當(dāng)反射率R=0.5時，I可得最大透射率TM最小透射率Tm當(dāng)用玻璃平板代替時，n=1.6，則R所以TM'=2.20已知一組F-P標(biāo)準(zhǔn)具的間距分別為1mm和120mm，對于λ=550.0nm解：ΔλΔλh32.21有兩個波長λ1和λ2，在600nm附近相差0.0001nm，要用F-P干涉儀把兩譜線分辨開來，間隔至少要多大？在這種情況下，干涉儀的自由光譜范圍是多少？設(shè)反射率解：由分辨極限公式Δλm=F-P干涉儀間隔h==自由光譜范圍ΔλS.R2.22在照相物鏡上通常鍍上一層光學(xué)厚度為5λ04（λ0解：（1）作用：因為上下表面光程差2nh=2×5λ4=2+12λ0，所以該介質(zhì)膜對λ0的反射達(dá)到最小，為增透膜；（2）由nh=5λ042.23在玻璃基片上鍍兩層光學(xué)厚度為λ0∕4的介質(zhì)薄膜，如果第一層的折射率為1.35，為了達(dá)到在正入射下膜系對λ0解：由題意，得n1=1.35，nG要使膜系對λ0n2第三章光的衍射與現(xiàn)代光學(xué)3.1波長λ=500解：要求k?x12所以z?x3.5在白光形成的單縫的夫瑯禾費衍射圖樣中，某色光的第3級大與600nm的第2極大重合，問該色光的波長是多少？解：單縫衍射明紋公式：asinφ=2n+1λ2n∈z當(dāng)λ1=600nm時，n3.6在不透明細(xì)絲的夫瑯禾費衍射圖樣中，測得暗條紋的間距為1.5mm，所用透鏡的焦距為300nm，光波波長為632.8nm。問細(xì)絲直徑是多少？解：由?=λfa=3.8迎面開來的汽車，其兩車燈相距d=1m，汽車離人多遠(yuǎn)時，兩車燈剛能為人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直徑D=解：此為夫瑯禾費圓孔衍射，由公式dl所以l=?D3.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直徑約為2mm，若視覺感受最靈敏的光波長為550nm，問：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，畫的等號的兩橫線相距2mm，坐在距黑板10m處的同學(xué)能否看清？解：（1）θm=1.22=1.22×550×(2)θ=3.7邊長為a和b的矩孔的中心有一個邊長為a0和b解：E1=Cabsin（C為常數(shù)），所以E==CI=EE因為場中心強度(場中心對應(yīng)于α1=α2=β其中α1=πasinθxλ3.10人造衛(wèi)星上的宇航員聲稱，他恰好能分辨離他100km地面上的兩個點光源。設(shè)光波波長為550nm，宇航員眼瞳直徑為4mm，這兩個點光源的距離是多大？解:由夫瑯禾費圓孔衍射，dl=d==16.7753.11在一些大型的天文望遠(yuǎn)鏡中，把通光圓孔做成環(huán)孔。若環(huán)孔外徑和內(nèi)徑分別為a和a/2，問環(huán)孔的分辨本領(lǐng)比半徑為a的圓孔的分辨本領(lǐng)提高了多少？解：由α=πDsinθxλ按照瑞利判據(jù),天文望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角就是θ=0.51λa，與中心部分沒有遮擋的圓孔情形(θ=0.61λa0.61-0.510.61+0.513.12若望遠(yuǎn)鏡能分辨角距離為3×10解：光的波長λ=550nm，則由公式θ=1.22最小直徑D=1.22λ因為人眼的最小分辨角為2.9×10所以放大率N=3.13若要使照相機感光膠片能分辨2μm的線距，求：（1）感光膠片的分辨本領(lǐng)至少是每毫米多少線？（2）照相機鏡頭的相對孔徑D∕f至少有多大？（設(shè)光波波長為550nm。）解：⑴直線數(shù)N=1ε'⑵由N=11.223.16計算光柵常數(shù)是縫寬5倍的光柵的第0、1級亮紋的相對強度。解：由題意，得a=d5，第零級強度I0θ=3.14一塊光學(xué)玻璃對譜線435.8nm和546.1nm的折射率分別為1.6525和1.6245。試計算用這種玻璃制造的棱鏡剛好能分辨鈉D雙線時底邊的長度。鈉D雙線的波長分別為589.0nm和589.6nm。解：由公式A=λΔλ=BΔnΔλ，(式中A為棱鏡分辨本領(lǐng)，B為棱鏡底邊長度，n又同一種物質(zhì)色散率不變，則A1λ=589.6+589.0因為A2=B23.15在雙縫夫瑯禾費衍射試驗中，所用光波波長λ=632.8nm，透鏡焦距f=50cm，觀察到兩相鄰亮條紋之間的距離?=1.5mm，并且第4級亮紋缺級。試求：（1）雙縫的縫距和縫寬；（2）第1、2、3級亮紋的相對強度。解：⑴多縫衍射的亮線條件是?sinθ=mλ當(dāng)Δm=1時，Δθ就是相鄰亮線之間的角距離。并且一般θ很小，cosθ≈1縫距d=fλ?=50因為第4級亮紋缺級，所以縫寬為a=d⑵第1、2、3級亮線分別相應(yīng)于?sinθ=±λ、±2λ、±3λ。由于d=4a，所以當(dāng)?sinθ=±λ、±2λ、±3λ時，分別有asin第1、2、3級亮線的相對強度為I1N2I03.17一塊寬度為5cm的光柵，在2級光譜中可分辨500nm附近的波長差0.01nm的兩條譜線，試求這一光柵的柵距和500nm的2級譜線處的角色散。解：由A=λδλ=mN=m角色散?θ?λ=m?cosθ=3.18為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級光譜中分辨波長為632.8nm的一束氦氖激光的膜結(jié)構(gòu)（兩個模之間的頻率差為450MHz），光柵需要有多寬？解：Δλ=λ2c?Δt=L=cλΔνm3.19用復(fù)色光垂直照射在平面透射光柵上，在30°的衍射方向上能觀察到600nm的第二級主極大，并能在該處分辨δλ=0.005nm的兩條譜線，但卻觀察不到600nm的第三級主極大。求：（1）光柵常數(shù)d，每一縫寬a；（2）光柵的總寬L解：⑴?sinθ=2.4×10-3mm，a=⑵A=λδλ=mN，又N=L3.20一束波長λ=600nm的平行光，垂直射到一平面透射光柵上，在與光柵法線成解：由?sinθd3.21一塊每毫米500條縫的光柵，用鈉黃光正入射，觀察衍射光譜。鈉黃光包含兩條譜線，其波長分別為589.6nm和589.0nm。求在第二級光譜中這兩條譜線互相分離的角度。解：光柵公式?sinθ=mλ，d=所以θ1=arcsinmλ1d=arcsin2×589.6×10-63.22一光柵寬50mm，縫寬為0.001mm，不透光部分寬為0.002mm，用波長為550nm的光垂直照明，試求：（1）光柵常數(shù)d；（2）能看到幾級條紋？有沒有缺級？解:⑴d=a+a⑵da=0.0030.001=3，所以第±3級亮紋為缺級，又由?sin90°=mλ3.23按以下要求設(shè)計一塊光柵：①使波長600nm的第二級譜線的衍射角小于30°解：為使波長600nm的二級譜線的衍射角θ≤30°,d必須滿足d=mλsinθ根據(jù)要求②，d盡可能小，則d=2.4×根據(jù)要求③，光柵縫寬a=d再由條件④，光柵縫數(shù)N至少有N=所以光柵的總寬度L至少為L=Nd光柵形成的譜線在θ<90°范圍內(nèi)，當(dāng)θ=±90°時，有m=?sinθλ=±2.4×10-36×10-3.24一塊閃耀光柵寬260mm，每毫米有300個刻槽，閃耀角為77°12'。⑴解：⑴光柵柵距為d=1300mm，已知光柵寬260mm由2?sinγ=mλ，光柵對500nm的閃耀級數(shù)為m=2?sin第四章光的偏振和偏振器件4.2一束部分偏振光由光強比為2:8的線偏振光和自然光組成，求這束部分偏振光的偏振度。解：設(shè)偏振光光強為I1=2I，自然光光強為I2=8所以偏振度P=I4.3線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于界面的方解石晶體上，若光矢量的方向與晶體主截面成60°角，問o光和e光從解：I4.4線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于表面的方解石波片上，光的振動面和波片的主截面成30°和60°角。求：⑴透射出來的尋常光和非常光的相對強度各為多少？⑵用鈉光入射時如要產(chǎn)生90°解：⑴Io⑵由δ=90°d=4.7有一塊平行石英片是沿平行光軸方向切出的。要把它切成一塊黃光的14波片，問這塊石英片應(yīng)切成多厚？(石英的ne=解：由D=nd=1.6374.5由自然光和圓偏振光組成的部分偏振光，通過一塊1∕4波片和一塊旋轉(zhuǎn)的檢偏鏡，已知得到的最大光強是最小光強的7倍，求自然光強占部分偏振光強的百分比。解：設(shè)自然光和圓偏振光的光強分別為I1和I2，則部分偏振光的光強為圓偏振光經(jīng)過λ4波片后成為線偏振光，光強仍為I2。當(dāng)線偏振光光矢的振動方向與檢偏器的透光方向一致時，從檢偏器出射的光強最大，其值為I2，當(dāng)其振動方向與透光方向互相垂直時其值為零。自然光通過λ4波片后還是自然光，通過檢偏器后光強為12I1。因此，透過旋轉(zhuǎn)的檢偏器出射的最大光強和最小光強分別為Imax=4.6在兩個共軸平行放置的透振方向正交的理想偏振片P1和P3之間，有一個共軸平行放置的理想偏振片P2以云角速度ω繞光的傳播方向旋轉(zhuǎn)。設(shè)t=0解：通過第一塊、第二塊和第三塊偏振片后，光強分別為I1=I02由于t=0時P3偏振化方向與P1I0161-cos44.11為了決定一束圓偏振光的旋轉(zhuǎn)方向，可將14波片置于檢偏器之前，再將后者轉(zhuǎn)到消光位置。這時發(fā)現(xiàn)14解：是右旋圓偏振光。因為在以λ4波片快軸為y軸的直角坐標(biāo)系中，偏振片位于Ⅱ、Ⅳ象限時消光，說明圓偏振光經(jīng)λ4波片后，成為位于Ⅰ、Ⅲ象限的線偏振光，此線偏振光由y方向振動相對x方向振動有2π位相差的兩線偏振光合成。而λ4波片使?光和o光的位相差增加π2，成為2π，所以，進(jìn)入λ4波片前4.9下列兩波及其合成波是否為單色波？偏振態(tài)如何？計算兩波及其合成波光強的相對大小。波1：Ex波2：Ex=Acoskz-ωt-解：波1是單色波，且Ex=Asin顯然，等相面和等幅面重合，所以是均勻波。又因為位相差δ=φy-φx=對于波2，因為?yt-?x波1和波2是不相干波，因此由上述結(jié)果得合成波是非單色光，是部分偏振光，是均勻波。光強度：波1I1 波2I2 合成波I3=I14.12一束右旋圓偏振光垂直入射到一塊石英14波片，波片光軸平行于x軸，試求透射光的偏振態(tài)。如果換成解：右旋圓偏振光可視為光矢量沿y軸的線偏振光和與之位相差為π2的光矢量沿x軸的線偏振光的疊加。⑴右旋圓偏振光入射14波片并從14波片出射時，光矢量沿y軸的線偏振光（o光）對光矢量沿x軸的線偏振光（e光）的位相差應(yīng)為δ=π⑵右旋圓偏振光入射18波片并從18波片出射時，光矢量沿x軸的線偏振光（o光）對光矢量沿y軸的線偏振光（e光）的位相差應(yīng)為4.10一束線偏振的鈉黃光λ=584.3nm垂直通過一塊厚度為8.0859×10-2⑴入射線偏振光的振動方向與x軸成45°⑵入射線偏振光的振動方向與x軸成-45°⑶入射線偏振光的振動方向與x軸成30°角解：入射線偏振光在波片內(nèi)產(chǎn)生的o光和?光出射波片是得位相延遲角為δ=2⑴當(dāng)α=45°時，設(shè)入射光振幅為A，則o光和?光的振幅為Ao=Acos45°=22A，Ae=A⑵當(dāng)α=-45°時，則o光和?光的振幅為Ao=Acos-45°=22A，Ae⑶當(dāng)α=30°時，則o光和?光的振幅為Ao=Acos30°在波片后表面，o光和?光的合成為E=Eo+16一塊厚度為0.05mm的方解石波片放在兩個正交的線偏振器中間，波片的光軸方向與兩線偏振器的夾角為45°