絕密★啟用前2019年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（全國(guó)卷II）理科數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼正確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題一定使用2B鉛筆填涂；非選擇題一定使用0.5毫米黑色筆跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)依據(jù)題號(hào)序次在答題卡各題目的答題地域內(nèi)作答，超出答題地域書寫的答案無(wú)效；在稿本紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆劃出，確立后一定用黑色筆跡的簽字筆描黑。5．保持卡面潔凈，不要折疊，不要弄破、弄皺，禁止使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合題目要求的．1．設(shè)會(huì)集A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1)B．(-2，1)C．(-3，-1)D．(3，+∞)2．設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限uuuruuuruuuruuuruuur3．已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，則ABBC=A．-3B．-2C．2D．34．2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上初次月球反面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)獲得又一重要成就，實(shí)現(xiàn)月球反面軟著陸需要解決的一個(gè)要點(diǎn)技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通信聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著環(huán)繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)轉(zhuǎn)．L2點(diǎn)是均衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為Rr，根，L2點(diǎn)到月球的距離為據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：M1M2(Rr)M1(Rr)2r23.R設(shè)r，因?yàn)?33453，則r的近似值為R的值很小，所以在近似計(jì)算中(1)23A．M2RB．M2RM12M1C．33M2RD．3M2RM13M15．演講競(jìng)賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，獲得7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分對(duì)比，不變的數(shù)字特色是A．中位數(shù)B．均勻數(shù)C．方差D．極差6．若a>b，則A．ln(a-b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3-b3>0D．│a│>│b│7．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條訂交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面8x2y2．若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=3ppA．2B．3C．4D．89．以下函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞加的是242A．f(x)=│cos2x│B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│D．f(x)=sin│x│10．已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=2A．1B．555C．3253D．511．設(shè)F為雙曲線C：x222y21(a0,b0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2ab交于P，Q兩點(diǎn).若PQOF，則C的離心率為A．2B．3C．2D．512．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x1)2f(x)，且當(dāng)x(0,1]時(shí)，f(x)x(x1).若對(duì)任意x(,m]，都有f(x)8，則m的取值范圍是9A．,9B．,743C．,5D．,823二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分．13．我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的均勻正點(diǎn)率的預(yù)計(jì)值為__________.14．已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)eax.若f(ln2)8，則a__________.15．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b6,a2c,Bπ，則△ABC的面積為__________.316．中國(guó)有悠長(zhǎng)的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是

“半正多面體

”（圖

1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體

.半正多面體表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美

.圖

2是一個(gè)棱數(shù)為

48的半正多面體，它的全部極點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為

1.則該半正多面體共有

________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_________.（本題第一空

2分，第二空

3分.）三、解答題：共

70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第

17～21

題為必考題，每個(gè)試題考生都一定作答．第

22、23

為選考題，考生依據(jù)要求作答

．（一）必考題：共

60分。17．（12分）如圖，長(zhǎng)方體

ABCD–A1B1C1D1的底面

ABCD

是正方形，點(diǎn)

E在棱

AA1上，BE⊥EC1.1）證明：BE⊥平面EB1C1；2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.18．（12分）11分制乒乓球競(jìng)賽，每贏一球得

1分，當(dāng)某局打成

10:10

平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得

2分的一方獲勝，該局競(jìng)賽結(jié)束

.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打競(jìng)賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為

0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為

0.4，各球的結(jié)果互相獨(dú)立

.在某局兩方

10:10

平后，甲先發(fā)球，兩人又打了

X個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束.1）求P（X=2）；2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.19．（12分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an13anbn4，4bn13bnan4.1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.20．（12分）已知函數(shù)x1fxlnx.11）談?wù)揻(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線yex的切線.21．（12分）已知點(diǎn)A(-2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為1-.記M的軌跡為曲線C.2（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.（i）證明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面積的最大值.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(0,0)(00)在曲線C:4sin上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.（1）當(dāng)0=時(shí)，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；3（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知f(x)|xa|x|x2|(xa).（1）當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；（2）若x(,1]時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍.2019年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試?yán)砜茢?shù)學(xué)·參照答案1．A2．C3．C4．D5．A6．C7．B8．D9．A10．B11．A12．B13．0.9814．–315．6316．26；2117．解：（1）由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE．又BEEC1，所以BE平面EB1C1．（2）由（1）知BEB190．由題設(shè)知Rt△ABERt△A1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，uuuruuurD-xyz，DA的方向?yàn)閤軸正方向，|DA|為單位長(zhǎng)，建立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系則C（0，1，0），B（1，1，0），uuuruuuurC1（，，），（，，），CE(1,1,1)，CC1(0,0,2)．012E101設(shè)平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則CBn0,x0,uuur即xyz0,CEn0,所以可取n=(0,1,1).設(shè)平面ECC1的法向量為m=（x，y，z），則CC1m0,2z0,uuurm0,即yz0.CEx所以可取m=（1，1，0）．于是cosn,mnm1．|n||m|2所以，二面角BECC1的正弦值為3．218．解：（1）X=2就是10：10平后，兩人又打了2個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，也許均由乙得分．所以P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．2）X=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分狀況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．所以所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．19．解：（1）由題設(shè)得4(anbn1)2(anbn)，即an111bn1(anbn)．2又因?yàn)閍1+b1=l，所以anbn是首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列．2由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2．又因?yàn)閍1–b1=l，所以anbn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，anbn1，anbn2n1．2n1所以an1[(anbn)(anbn)]1n122n，2bn1[(anbn)(anbn)]1n122n．220．解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，1），（1，+∞）單調(diào)遞加．因?yàn)閒（e）=1e10，f(e2)2e21e230，e1e21e21所以f（x）在（1，+∞）有獨(dú)一零點(diǎn)x1，即f（x1）=0．又011，f(1)lnx1x11f(x1)0，x1x1x111故f（x）在（0，1）有獨(dú)一零點(diǎn)．x1綜上，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）因?yàn)?elnx0，故點(diǎn)B（–lnx0，1）在曲線y=ex上．x0x0x01由題設(shè)知f(x0)0，即lnx01，x011x01lnx0x0x011x0故直線AB的斜率klnx0x0x01．x0x0x01曲線y=ex在點(diǎn)B(lnx0,1)處切線的斜率是1，曲線ylnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處切線的斜率也是x0x01，x0所以曲線ylnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線．21．解：（1）由題設(shè)得y2xy1，化簡(jiǎn)得x2y21(|x|2)，所以C為中心在座標(biāo)原點(diǎn)，焦x2242點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右極點(diǎn)．（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為ykx(k0)．ykx2由x2y2得x．12k2421記u2，則P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0)．12k2于是直線QG的斜率為k，方程為yk(xu)．22yk(xu),由2得y2x2142(2k2)x22uk2xk2u280．①設(shè)G(xG,yG)，則u和xG是方程①的解，故xGu(3k22)，由此得yGuk3．2k22k2uk3uk1從而直線PG的斜率為2k2．u(3k22)uk2k2所以PQPG，即△PQG是直角三角形．k2，|PG|2ukk21（ii）由（i）得|PQ|2u12k2，18k(1k2)8(1k)SPG|k所以△PQG的面積2‖(12k2)(2k2)1．12(k)2k設(shè)t=k+1，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．k因?yàn)镾8t在[2，+∞）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時(shí)，S獲得最大值，最大值為1612t2．9所以，△PQG面積的最大值為16．922．解：（1）因?yàn)镸0,0在C上，當(dāng)03時(shí)，04sin323.由已知得|OP||OA|cos2.3設(shè)Q(,)為l上除P的任意一點(diǎn).在Rt△OPQ中cos|OP|2，3經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P(2,)在曲線cos2上.33所以，l的極坐標(biāo)方程為