數(shù)論教案§1整數(shù)的整除帶余除法1整數(shù)的整除設(shè)a,b是整數(shù),且b≠0,如果有整數(shù)q,使得a=bq,則稱(chēng)b整除a,記為b|a,也稱(chēng)b是a的因數(shù),a是b的倍數(shù).如果沒(méi)有整數(shù)q,使得a=bq,則稱(chēng)b不能整除a,記為b?a.例如2|4,4|-12,-5|15;2?3，-3?22.在中小學(xué)數(shù)學(xué)里,整除概念中的整數(shù)是正整數(shù),今天講的整除中的整數(shù)可正可負(fù).判斷是否b|a當(dāng)a,b的數(shù)值較大時(shí),可借助計(jì)算器判別.如果b除a的商數(shù)是整數(shù),說(shuō)明b|a;如果b除a的商不是整數(shù),說(shuō)明b?a.例1判斷下列各題是否b|a(1)7|127?(2)11|129?(3)46|9529?(4)29|5939?整除的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么對(duì)任意整數(shù)m,n,都有d|ma+nb.(3)如果都是m的倍數(shù),是m的倍數(shù).是任意整數(shù),那么(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab。例如：2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6).2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6).例2證明任意2個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積,一定可被2整除.練習(xí)證明任意3個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積,一定可被3整除.2.帶余除法設(shè)a,b是整數(shù),且b>0,那么有唯一一對(duì)整數(shù)q,r使得a=bq+r,0≤r＜b.(1)這里q稱(chēng)為b除a的商,r稱(chēng)為b除a的余數(shù).例如-5=3×(-2)+15=3×1+2-5=(-3)×2+15=(-3)×(-1)+215=(-5)×(-3),-24=(-2)×12.事實(shí)上,以b除a的余數(shù)也可以是負(fù)的.例如-5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b除a的余數(shù),也稱(chēng)為模運(yùn)算(取余):mod.可用計(jì)算器進(jìn)行.具體操作:輸入a-按mod(取余)鍵-輸入b-按=鍵得出余數(shù).如果b除a的余數(shù)=0,則b|a;如果b除a的余數(shù)≠0,則b?a.例3利用計(jì)算器求余數(shù):(1)7除127;(2)11除-129;(3)46除-9529;(4)-29除5939奇數(shù)、偶數(shù)及性質(zhì)能被2整除的整數(shù)稱(chēng)為偶數(shù).如,0,4,10,-6,-8都是偶數(shù).不能被2整除的整數(shù)稱(chēng)為奇數(shù).如,-5,-3,1,7,11都是奇數(shù).偶數(shù)的形式為2n(n是整數(shù));奇數(shù)的形式為2n-1(n是整數(shù)).奇數(shù)、偶數(shù)的性質(zhì):偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù),偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù),偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù).例如2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5設(shè)a,b是任意兩個(gè)整數(shù),則a+b與a-b同奇同偶.例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4設(shè)a,b,n是任意3個(gè)整數(shù),而且例5設(shè)a是任一奇數(shù),試證明8|,證明n是偶數(shù)..例6設(shè)n是正整數(shù),證明形如3n-1整數(shù)不是完全平方數(shù).證明對(duì)任意整a,設(shè)a=3q或a=3q±1,于是=9或=9±6q+1=3(3±2q)+1.即≠3n-1,故3n-1不是完全平方數(shù).練習(xí)設(shè)n是正整數(shù),證明形如4n-1、4n+2的整數(shù)都不是完全平方數(shù).習(xí)題:P3-4:1t,2t.§2公因數(shù)、最大公因數(shù)1.最大公因數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法中小學(xué)里的公因數(shù)、最大公因數(shù)的概念：幾個(gè)數(shù)的公有因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù).公因數(shù)中最大的整數(shù)稱(chēng)為這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù).(1)幾個(gè)數(shù):不能確定;(2)因數(shù)、公因數(shù):都是正整數(shù);最大公因數(shù):沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的符號(hào).定義設(shè),d都是整數(shù),d≠0,如果,i=1,2,…,n,稱(chēng)d是的公因數(shù),=1,則稱(chēng)的公因數(shù)中最大的整數(shù)稱(chēng)為最大公因數(shù).記為.如果互質(zhì)。例1(-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=1.在中小學(xué)數(shù)學(xué)里,求正整數(shù)a,b的最大公因數(shù)主要有這個(gè)樣幾種方法：(1)觀察法；(2)將a,b的所有公因數(shù)都求出來(lái),再?gòu)闹刑糇畲蟮模?3)用短除法.輾轉(zhuǎn)相除法:設(shè)a,b是正整數(shù),而且有……………（*）。例2用輾轉(zhuǎn)相除法求(123,78),練習(xí):用輾轉(zhuǎn)相除法求(66,54).下面說(shuō)明輾轉(zhuǎn)相除法的正確性.先證明性質(zhì)1設(shè)整數(shù)a,b,c不全為0,而且有整數(shù)q使得a=bq+c則(a,b)=(b,c).證明由a,b,c不全為0知,(a,b)、(b,c)都存在.因(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,得(a,b)|c,又得(a,b)≤(b,c);反之,由(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,得(b,c)|a,(b,c)≤(a,b).所以(a,b)=(b,c).由(*)式知而n是有限正整數(shù),再由性質(zhì)1得…=.2.最大公因數(shù)的性質(zhì)最大公因數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)2(am,bm)=(a,b)m,m>0.(短除法的根據(jù))例3求(84,90),(120,36).(84,90)=3(28,30)=6(14,15)=6.(120,36)=12(10,3)=12.性質(zhì)3(a,b)=(|a|,|b|).性質(zhì)4(a,b,c)=((a,b),c).例4求(-84,120),(-120,-72),(24,-60,-96).例5設(shè)n是任意整數(shù),證明是既約分?jǐn)?shù).證明設(shè)d=(3n+1,5n+2),則d|3(5n+2)-5(3n+1),即d|1,d=1，所以3n+1與5n+2互質(zhì).作業(yè)1.利用輾轉(zhuǎn)相除法求(84,90).2.求(120,36).3.設(shè)n是整數(shù)，證明是既約分?jǐn)?shù)?！?整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù)1.整除的進(jìn)一步性質(zhì)推論1設(shè)a,b不全為零,那么有s,tZ使得as+bt=(a,b).證明將(*)中每式中的余數(shù)解出得,,…,,,再將的表達(dá)式依次代入到中