II.范希爾的幾何思維水平II.范希爾的幾何思維水平起因在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希爾夫婦（PierreVanHiele&DinaVanHiele）作為荷蘭一所中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，每天都親身經(jīng)歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識(shí)常常超出了學(xué)生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮亞杰的工作。經(jīng)過一段時(shí)間的研究，他們提出了幾何思維的五個(gè)水平。這一成果最初發(fā)表在他們夫婦于1957年在烏特勒克大學(xué)共同完成的的博士論文上。起因在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很評(píng)價(jià) 前蘇聯(lián)學(xué)者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（1959）在1963年就由皮什卡羅（A.M.Pyshkalo）作了詳盡的報(bào)道。10年之后，美國人才開始了解范希爾的工作。在1974年召開的大西洋城NCTM年會(huì)上，芝加哥大學(xué)的威茲普（IsaakWirszup）將范希爾的思想正式介紹給了美國學(xué)者，并同時(shí)介紹了前蘇聯(lián)幾何教學(xué)的“驚人進(jìn)展”。威茲普的報(bào)告后來以“幾何教學(xué)心理學(xué)中的一個(gè)重大突破”為標(biāo)題發(fā)表在Martin和Bradbard主編的著作上（Wirszup，1976）。與此同時(shí)，弗賴登塔爾也提供了思維水平在數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中的范例。他發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)歸納實(shí)際上也是沿著五個(gè)思維水平發(fā)展的（Freudenthal,1973,p123）。所有這一些，使范希爾理論引起了全世界的廣泛關(guān)注，并成為上世紀(jì)80年代幾何教學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。評(píng)價(jià) 前蘇聯(lián)學(xué)者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（195水平的劃分層次0︰視覺(visuality)層次1︰分析(analysis)層次2︰非形式化的演繹(informaldeduction)層次3︰形式的演繹(formaldeduction)層次4︰嚴(yán)密性(rigior)水平的劃分層次0︰視覺(visuality)層次0︰視覺(visuality)兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對(duì)形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對(duì)圖形做概括的論述.例如：兒童可能會(huì)說某個(gè)圖形是三角形，因?yàn)樗雌饋硐褚粋€(gè)三明治。層次0︰視覺(visuality)兒童能通過整體輪廓辨層次1︰分析(analysis)兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組成要素比較兩個(gè)形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無法導(dǎo)出公式和使用正式的定義。例如：兒童會(huì)知道三角形有三條邊和三個(gè)角，但不能理解如果內(nèi)角愈大，則對(duì)邊愈長的性質(zhì)。層次1︰分析(analysis)兒童能分析圖形的組成要素及層次2︰非形式化的演繹(informaldeduction)兒童能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論。但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結(jié)果的成立，也未能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系。例如：學(xué)生了解了等腰三角形的性質(zhì)后，他們會(huì)推出等腰直角三角形同時(shí)也是直角三角形的一種，因?yàn)榈妊苯侨切屋^直角三角形多了一些性質(zhì)的限制。因此，學(xué)童能作一些非正式的說明但還不能作系統(tǒng)性的證明.層次2︰非形式化的演繹(informaldeductio層次3︰形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測(cè)并嘗試用演繹方式證實(shí)其猜測(cè)，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，能比較一個(gè)定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一個(gè)邊對(duì)應(yīng)相等或至少一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等是證明兩個(gè)三角形全等的必要條件，兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等則是兩三角形全等的充分條件；能寫出一定理的逆定理，如平行四邊形的對(duì)角線互相平分，其逆定理是對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。層次3︰形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義層次4︰嚴(yán)密性在這個(gè)層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。層次4︰嚴(yán)密性在這個(gè)層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硭降男拚╒anHiele，1986）直觀水平（visuallevel）——整體地認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象。Fuys,geddes,Lovett和Tischler（1988）認(rèn)為這一階段是“學(xué)習(xí)者依據(jù)幾何圖形的外表來認(rèn)識(shí)，命名，比較，和畫出這些圖形的時(shí)候，像三角形，角度，平行線”。描述水平（descriptivelevel）——通過幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象。在這一階段學(xué)生按照?qǐng)D形的組成部分和這些組成部分之間的聯(lián)系來分析圖形。學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)確立圖形的性質(zhì)和使用這些性質(zhì)解決問題。理論水平（theoreticallevel）——利用演繹推理證明幾何關(guān)系。在描述階段中由Murray（1997）提出的概念網(wǎng)絡(luò)圖在這一階段完整和穩(wěn)定了。學(xué)生理解和接受了準(zhǔn)確的定義，學(xué)生談?wù)撔螤顣r(shí)涉及到這些定義，學(xué)生理解圖形內(nèi)部和圖形之間的聯(lián)系。這一階段學(xué)生能夠運(yùn)用“如果┉那么”思想，并由此發(fā)展邏輯推理能力。水平的修正（VanHiele，1986）直觀水平（vis幾何教學(xué)階段

學(xué)前咨詢(information)，教師和學(xué)生就學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行雙向交談，教師了解學(xué)生如何理解指導(dǎo)語，并且?guī)椭鷮W(xué)生理解要學(xué)習(xí)的課題。學(xué)生提出問題，對(duì)課題的對(duì)象和運(yùn)用的詞匯做出觀察，確定下一步的學(xué)習(xí)。引導(dǎo)定向(guidedOrientation)，教師為學(xué)生仔細(xì)安排活動(dòng)順序，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)進(jìn)行的方向，逐漸熟悉這一結(jié)構(gòu)的特性。在這個(gè)階段中，許多活動(dòng)都是引起一個(gè)特定的反應(yīng)的一步（簡單）作業(yè)。幾何教學(xué)階段學(xué)前咨詢(information)，教師和學(xué)幾何教學(xué)階段闡明

(explication)，通過前面的經(jīng)驗(yàn)和教師最小程度的提示，學(xué)生明確了詞匯的意義，表達(dá)自己對(duì)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法。通過這一階段，學(xué)生開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng)。vanHiele（1984b）指出：在這個(gè)階段的過程中，經(jīng)驗(yàn)的獲得取決于正確的語言符號(hào)和學(xué)生們?cè)谡n堂上學(xué)習(xí)透過討論去表達(dá)他們所觀察到的結(jié)構(gòu)之意見，老師只需注意這些討論所使用的習(xí)慣措詞。關(guān)連系統(tǒng)在這階段就有一部份形成了幾何教學(xué)階段闡明(explication)，通過前面的經(jīng)驗(yàn)幾何教學(xué)階段自由定向(freeorientation)，在這個(gè)階段，學(xué)生碰到多步作業(yè)或能以不同方式完成的作業(yè)。在尋找方法和解決問題過程中，學(xué)生獲得了經(jīng)驗(yàn)。通過自己確定學(xué)習(xí)領(lǐng)域的方向，他們對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象之間的關(guān)系越來越明確。按照vanHiele（1984b）的觀點(diǎn)：這個(gè)階段是自由探索，調(diào)查的范圍是大多數(shù)學(xué)生知道的，但學(xué)生仍需迅速地找到他的方向。幾何教學(xué)階段自由定向(freeorientation)，在幾何教學(xué)階段整合(integration)，學(xué)生回顧自己所用的方法并形成一種觀點(diǎn)，對(duì)象和關(guān)系被統(tǒng)一并內(nèi)化進(jìn)一個(gè)新的思維領(lǐng)域。教師對(duì)學(xué)生理解的東西作一個(gè)全面的評(píng)述，幫助學(xué)生完成這一過程，在此，教師要小心，不要提出新的或不一致的觀點(diǎn)幾何教學(xué)階段整合(integration)，學(xué)生回顧自己所用范希爾理論的特點(diǎn)次序性(sequential)：學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，要在特定的水平順利發(fā)展，必須具有前一水平的各個(gè)概念和策略。也就是說，學(xué)生在沒通過第n-1層次之前，無法到達(dá)第n層次。進(jìn)階性(advancement)：學(xué)生幾何思維水平的提升是經(jīng)由教學(xué)，而不是隨年齡成長或心理成熟自然而然的。沒有一種教學(xué)方法能讓學(xué)生跳過某一水平而進(jìn)入下一水平，由一水平進(jìn)入下一水平并非一蹴而就的。內(nèi)隱性及外顯性(intrinsicandextrinsic)：某一水平的內(nèi)隱性質(zhì)成為下一水平的外顯性質(zhì)，如某一個(gè)水平上的個(gè)人化的模糊概念在下一水平上通過外顯的表征工具(如符號(hào))而得到澄清。語言性(linguistics)：每一層次都有其專屬的階段性語言符號(hào)。在某一層次使用的語言符號(hào)，可能到了另一層次就必須調(diào)整為另一語言符號(hào)，因此每一層次都有其獨(dú)特的語言符號(hào)，謂之語言性。不適配性(mismatch)：如果學(xué)生的思維處于一個(gè)水平,而教師的教學(xué)處于另一個(gè)水平,那么就不可能取得預(yù)期的教學(xué)效果.尤其是當(dāng)教師的教材內(nèi)容、教具選擇及語匯使用均屬于較高層次時(shí)，學(xué)生將無法理解、思考其過程與結(jié)果。范希爾理論的特點(diǎn)次序性(sequential)：學(xué)生幾何思II.范希爾的幾何思維水平II.范希爾的幾何思維水平起因在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希爾夫婦（PierreVanHiele&DinaVanHiele）作為荷蘭一所中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，每天都親身經(jīng)歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識(shí)常常超出了學(xué)生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮亞杰的工作。經(jīng)過一段時(shí)間的研究，他們提出了幾何思維的五個(gè)水平。這一成果最初發(fā)表在他們夫婦于1957年在烏特勒克大學(xué)共同完成的的博士論文上。起因在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很評(píng)價(jià) 前蘇聯(lián)學(xué)者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（1959）在1963年就由皮什卡羅（A.M.Pyshkalo）作了詳盡的報(bào)道。10年之后，美國人才開始了解范希爾的工作。在1974年召開的大西洋城NCTM年會(huì)上，芝加哥大學(xué)的威茲普（IsaakWirszup）將范希爾的思想正式介紹給了美國學(xué)者，并同時(shí)介紹了前蘇聯(lián)幾何教學(xué)的“驚人進(jìn)展”。威茲普的報(bào)告后來以“幾何教學(xué)心理學(xué)中的一個(gè)重大突破”為標(biāo)題發(fā)表在Martin和Bradbard主編的著作上（Wirszup，1976）。與此同時(shí)，弗賴登塔爾也提供了思維水平在數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中的范例。他發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)歸納實(shí)際上也是沿著五個(gè)思維水平發(fā)展的（Freudenthal,1973,p123）。所有這一些，使范希爾理論引起了全世界的廣泛關(guān)注，并成為上世紀(jì)80年代幾何教學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。評(píng)價(jià) 前蘇聯(lián)學(xué)者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（195水平的劃分層次0︰視覺(visuality)層次1︰分析(analysis)層次2︰非形式化的演繹(informaldeduction)層次3︰形式的演繹(formaldeduction)層次4︰嚴(yán)密性(rigior)水平的劃分層次0︰視覺(visuality)層次0︰視覺(visuality)兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對(duì)形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對(duì)圖形做概括的論述.例如：兒童可能會(huì)說某個(gè)圖形是三角形，因?yàn)樗雌饋硐褚粋€(gè)三明治。層次0︰視覺(visuality)兒童能通過整體輪廓辨層次1︰分析(analysis)兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組成要素比較兩個(gè)形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無法導(dǎo)出公式和使用正式的定義。例如：兒童會(huì)知道三角形有三條邊和三個(gè)角，但不能理解如果內(nèi)角愈大，則對(duì)邊愈長的性質(zhì)。層次1︰分析(analysis)兒童能分析圖形的組成要素及層次2︰非形式化的演繹(informaldeduction)兒童能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論。但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結(jié)果的成立，也未能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系。例如：學(xué)生了解了等腰三角形的性質(zhì)后，他們會(huì)推出等腰直角三角形同時(shí)也是直角三角形的一種，因?yàn)榈妊苯侨切屋^直角三角形多了一些性質(zhì)的限制。因此，學(xué)童能作一些非正式的說明但還不能作系統(tǒng)性的證明.層次2︰非形式化的演繹(informaldeductio層次3︰形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測(cè)并嘗試用演繹方式證實(shí)其猜測(cè)，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，能比較一個(gè)定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一個(gè)邊對(duì)應(yīng)相等或至少一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等是證明兩個(gè)三角形全等的必要條件，兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等則是兩三角形全等的充分條件；能寫出一定理的逆定理，如平行四邊形的對(duì)角線互相平分，其逆定理是對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。層次3︰形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義層次4︰嚴(yán)密性在這個(gè)層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。層次4︰嚴(yán)密性在這個(gè)層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硭降男拚╒anHiele，1986）直觀水平（visuallevel）——整體地認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象。Fuys,geddes,Lovett和Tischler（1988）認(rèn)為這一階段是“學(xué)習(xí)者依據(jù)幾何圖形的外表來認(rèn)識(shí)，命名，比較，和畫出這些圖形的時(shí)候，像三角形，角度，平行線”。描述水平（descriptivelevel）——通過幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象。在這一階段學(xué)生按照?qǐng)D形的組成部分和這些組成部分之間的聯(lián)系來分析圖形。學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)確立圖形的性質(zhì)和使用這些性質(zhì)解決問題。理論水平（theoreticallevel）——利用演繹推理證明幾何關(guān)系。在描述階段中由Murray（1997）提出的概念網(wǎng)絡(luò)圖在這一階段完整和穩(wěn)定了。學(xué)生理解和接受了準(zhǔn)確的定義，學(xué)生談?wù)撔螤顣r(shí)涉及到這些定義，學(xué)生理解圖形內(nèi)部和圖形之間的聯(lián)系。這一階段學(xué)生能夠運(yùn)用“如果┉那么”思想，并由此發(fā)展邏輯推理能力。水平的修正（VanHiele，1986）直觀水平（vis幾何教學(xué)階段

學(xué)前咨詢(information)，教師和學(xué)生就學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行雙向交談，教師了解學(xué)生如何理解指導(dǎo)語，并且?guī)椭鷮W(xué)生理解要學(xué)習(xí)的課題。學(xué)生提出問題，對(duì)課題的對(duì)象和運(yùn)用的詞匯做出觀察，確定下一步的學(xué)習(xí)。引導(dǎo)定向(guidedOrientation)，教師為學(xué)生仔細(xì)安排活動(dòng)順序，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)進(jìn)行的方向，逐漸熟悉這一結(jié)構(gòu)的特性。在這個(gè)階段中，許多活動(dòng)都是引起一個(gè)特定的反應(yīng)的一步（簡單）作業(yè)。幾何教學(xué)階段學(xué)前咨詢(information)，教師和學(xué)幾何教學(xué)階段闡明

(explication)，通過前面的經(jīng)驗(yàn)和教師最小程度的提示，學(xué)生明確了詞匯的意義，表達(dá)自己對(duì)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法。通過這一階段，學(xué)生開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng)。vanHiele（1984b）指出：在這個(gè)階段的過程中，經(jīng)驗(yàn)的獲得取決于正確的語言符號(hào)和學(xué)生們?cè)谡n堂上學(xué)習(xí)透過討論去表達(dá)他們所觀察到的結(jié)構(gòu)之意見，老師只需注意這些討論所使用的習(xí)慣措詞。關(guān)連系統(tǒng)在這階段就有一部份形成了幾何教學(xué)階段闡明(explication)，通過前面的經(jīng)驗(yàn)幾何教學(xué)階段自由定向(freeorientation)，在這個(gè)階段，學(xué)生碰到多步作業(yè)或能以不同方式完成的作業(yè)。在尋找方法和解決問題過程中，學(xué)生獲得了經(jīng)驗(yàn)。通過自己確定學(xué)習(xí)領(lǐng)域的方向，他們對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象之間的關(guān)系越來越明確。按照vanHiele（1984b