2013年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農(nóng)醫(yī)類(湖南卷)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2.某學校有男、女學生各500名.為了解男女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是()A．抽簽法B．隨機數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法D．分層抽樣法3.在銳角中，角所對的邊長分別為.若()A．B．C．D．4.若變量滿足約束條件，()A．B．C．D．5.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為()A．3B．2C．16.已知是單位向量，.若向量滿足()A．B．C．D．7.已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()A．B．C．D．8.在等腰三角形中，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點（如圖）.若光線經(jīng)過的中心，則等()A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.）（一）選做題（請考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計分）9.在平面直角坐標系中，若右頂點，則常數(shù).10.已知.11.如圖2，在半徑為的中,弦.（二）必做題（12-16題）12.若.13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入.14.設(shè)是雙曲線的兩個焦點，P是C上一點，若且的最小內(nèi)角為，則C的離心率為___。15.設(shè)為數(shù)列的前n項和，則（1）_____；（2）___________。16.設(shè)函數(shù)（1）記集合，則所對應的的零點的取值集合為____.（2）若.（寫出所有正確結(jié)論的序號）①②③若三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（I）若是第一象限角，且。求的值；（II）求使成立的x的取值集合.18.（本小題滿分12分）某人在如圖4所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫的交叉點記憶三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（II）從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望.19.（本小題滿分12分）如圖5，在直棱柱（I）證明：；（II）求直線所成角的正弦值.20.（本小題滿分13分）在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”.如圖6所示的路徑都是M到N的“L路徑”.某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點處.現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心.（I）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小.21.（本小題滿分13分）過拋物線的焦點F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點A，B，相交于點C，D.以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為.（I）若，證明；；（II）若點M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程.22.（本小題滿分13分）已知，函數(shù).（I）；記求的表達式；（