第一節(jié)隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量概念的引入

隨機(jī)變量的定義

引入隨機(jī)變量的意義

例題選講：

一、隨機(jī)變量概念的引入

為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對應(yīng)起來.1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示之.

二、隨機(jī)變量的定義

定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,稱定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)為隨機(jī)變量.

隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較:(1)它們都是實(shí)值函數(shù),但前者在試驗(yàn)前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個值;(2)因試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,故前者取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.三、引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.

由此可見,隨機(jī)事件這個概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個更廣的概念內(nèi).也可以說,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則以動態(tài)的觀點(diǎn)來研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系.

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后,對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.

隨機(jī)變量因其取值方式不同,通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.例題選講：例1

(講義例1)

在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時,若規(guī)定出現(xiàn)正面時拋擲者贏1元錢,出現(xiàn)反面時輸1元錢,則其樣本空間為

{正面,反面},

記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間的實(shí)值函數(shù)定義為

例2

(講義例2)

在將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面、反面出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中,其樣本空間記每次試驗(yàn)出現(xiàn)正面的總次數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間上的函數(shù)定義為易見,使取值為的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為故類似地，有

例3(講義例3)

在測試燈泡壽命的試驗(yàn)中,每一個燈泡的實(shí)際使用壽命可能是中任何一個實(shí)