典型相關(guān)分析研究多個變量與多個變量之間的相關(guān)性2要點典型相關(guān)分析的數(shù)學(xué)表達式，約束條件；典型相關(guān)系數(shù)的數(shù)學(xué)含義；典型變量的數(shù)學(xué)含義；典型相關(guān)的應(yīng)用3第一節(jié)典型相關(guān)分析的基本思想

當(dāng)研究兩個變量x與y之間的相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)系數(shù)是最常用的度量。如何研究兩組變量之間的相關(guān)關(guān)系呢？如何進一步確定兩組變量在整體上的相關(guān)程度呢？

通常情況下，為了研究兩組變量的相關(guān)關(guān)系，可以用最原始的方法，分別計算兩組變量之間的全部相關(guān)系數(shù)，一共有pq個簡單相關(guān)系數(shù)，這樣又煩瑣又不能抓住問題的本質(zhì)。如果能夠采用類似于主成分的思想，分別找出兩組變量的各自的某個線性組合，討論線性組合之間的相關(guān)關(guān)系，則更簡捷。

在解決實際問題中，這種方法有廣泛的應(yīng)用。如，在工廠里常常要研究產(chǎn)品的q個質(zhì)量指標和p個原材料的指標之間的相關(guān)關(guān)系；可以采用典型相關(guān)分析來解決。如果能夠采用類似于主成分的思想，分別找出兩組變量的線性組合既可以使變量個數(shù)簡化，又可以達到分析相關(guān)性的目的。6

利用主成分分析的思想，可以把多個變量與多個變量之間的相關(guān)轉(zhuǎn)化為兩個變量之間的相關(guān)。主成分綜合變量找出系數(shù)和使得新變量和之間有最大可能的相關(guān)系數(shù)。（典型相關(guān)系數(shù)）即使例家庭特征與家庭消費之間的關(guān)系

為了了解家庭的特征與其消費模式之間的關(guān)系。調(diào)查了70個家庭的下面兩組變量：分析兩組變量之間的關(guān)系。

X1X2y1y2y3X11.000.800.260.670.34X20.801.000.330.590.34y10.260.331.000.370.21y20.670.590.371.000.35y30.340.340.210.351.00變量間的相關(guān)系數(shù)矩陣y2y3y1x2x1

典型相關(guān)分析的思想：

首先分別在每組變量中找出第一對典型變量，使其具有最大相關(guān)性，

11

然后再在每組變量中找出第二對典型變量，使其分別與本組內(nèi)的第一對典型變量不相關(guān)，第二對本身具有次大的相關(guān)性。

u2和v2與u1和v1相互獨立，但u2和v2相關(guān)。如此繼續(xù)下去，直至進行到r步，兩組變量的相關(guān)性被提取完為止。rmin(p,q)，可以得到r組變量。二、典型相關(guān)的數(shù)學(xué)描述

考慮兩組變量的向量其協(xié)方差陣為（一）想法

其中11是第一組變量的協(xié)方差矩陣；22是第二組變量的協(xié)方差矩陣；是X和Y的協(xié)方差矩陣。如果我們記兩組變量的第一對線性組合為：

其中：

所以，典型相關(guān)分析就是求a1和b1，使uv達到最大。（二）典型相關(guān)系數(shù)和典型變量的求法

在約束條件：下，求a1和b1，使uv達到最大。令15根據(jù)數(shù)學(xué)分析中條件極值的求法，引入Lagrange乘數(shù)，求極值問題，則可以轉(zhuǎn)化為求的極大值，其中和是

Lagrange乘數(shù)。

將上面的3式分別左乘和由（3）式的第二式，得代入（3）式的第一式，得的特征根是，相應(yīng)的特征向量為由（3）式的第一式，得代入（3）式的第二式，得的特征根是，相應(yīng)的特征向量為

結(jié)論：既是M1又是M2的特征根，和是相應(yīng)于M1和M2的特征向量。

至此，典型相關(guān)分析轉(zhuǎn)化為求M1和M2特征根和特征向量的問題。

第一對典型變量提取了原始變量X與Y之間相關(guān)的主要部分，如果這部分還不能足以解釋原始變量，可以在剩余的相關(guān)中再求出第二對典型變量和他們的典型相關(guān)系數(shù)。

在剩余的相關(guān)中再求出第二對典型變量和他們的典型相關(guān)系數(shù)。設(shè)第二對典型變量為：

在約束條件：

求使達到最大的和。21例家庭特征與家庭消費之間的關(guān)系

為了了解家庭的特征與其消費模式之間的關(guān)系。調(diào)查了70個家庭的下面兩組變量：分析兩組變量之間的關(guān)系。22

X1X2y1y2y3X11.000.800.260.670.34X20.801.000.330.590.34y10.260.331.000.370.21y20.670.590.371.000.35y30.340.340.210.351.00變量間的相關(guān)系數(shù)矩陣典型相關(guān)分析

典型相關(guān)系數(shù)調(diào)整典型相關(guān)系數(shù)近似方差

典型相關(guān)系數(shù)的平方10.6879480.6878480.0052680.47327220.1868650.1866380.0096510.034919X組典型變量的系數(shù)

U1U2X1(就餐）0.7689-1.4787X2（電影）0.27211.6443Y組典型變量的系數(shù)

V1V2Y1（年齡）0.04911.0003Y2（收入）0.8975-0.5837Y3（文化）0.19000.2956三、典型變量的性質(zhì)

1、同一組變量的典型變量之間互不相關(guān)

X組的典型變量之間是相互獨立的：Y組的典型變量之間是相互獨立的：因為特征向量之間是正交的。故2、不同組變量的典型變量之間的相關(guān)性不同組內(nèi)一對典型變量之間的相關(guān)系數(shù)為：同對相關(guān)系數(shù)為

，不同對則為零。3、原始變量與典型變量之間的相關(guān)系數(shù)

原始變量相關(guān)系數(shù)矩陣X典型變量系數(shù)矩陣y典型變量系數(shù)矩陣303233例家庭特征與家庭消費之間的關(guān)系

為了了解家庭的特征與其消費模式之間的關(guān)系。調(diào)查了70個家庭的下面兩組變量：分析兩組變量之間的關(guān)系。34

X1X2y1y2y3X11.000.800.260.670.34X20.801.000.330.590.34y10.260.331.000.370.21y20.670.590.371.000.35y30.340.340.210.351.00變量間的相關(guān)系數(shù)矩陣典型相關(guān)分析

典型相關(guān)系數(shù)調(diào)整典型相關(guān)系數(shù)近似方差

典型相關(guān)系數(shù)的平方10.6879480.6878480.0052680.47327220.1868650.1866380.0096510.034919X組典型變量的系數(shù)

U1U2X1(就餐）0.7689-1.4787X2（電影）0.27211.6443Y組典型變量的系數(shù)

V1V2Y1（年齡）0.04911.0003Y2（收入）0.8975-0.5837Y3（文化）0.19000.2956典型變量的結(jié)構(gòu)（相關(guān)系數(shù)）

U1U2X10.9866-0.1632X20.88720.4614

V1V2Y10.42110.8464Y20.9822-0.1101Y30.51450.3013典型變量的結(jié)構(gòu)（相關(guān)系數(shù)）

V1V2X10.6787-0.0305X20.61040.0862

U1U2Y10.28970.1582Y20.6757-0.0206Y30.35390.056339

兩個反映消費的指標與第一對典型變量中u1的相關(guān)系數(shù)分別為0.9866和0.8872，可以看出u1可以作為消費特性的指標，第一對典型變量中v1與Y2之間的相關(guān)系數(shù)為0.9822，可見典型變量v1主要代表了了家庭收入，u1和v1的相關(guān)系數(shù)為0.6879，這就說明家庭的消費與一個家庭的收入之間其關(guān)系是很密切的；

第二對典型變量中u2與x2的相關(guān)系數(shù)為0.4614，可以看出u2可以作為文化消費特性的指標，第二對典型變量中v2與Y1和Y3之間的分別相關(guān)系數(shù)為0.8464和0.3013，可見典型變量v2主要代表了家庭成員的年齡特征和教育程度，u2和v2的相關(guān)系數(shù)為0.1869，說明文化消費與年齡和受教育程度之間的相關(guān)性。414、各組原始變量被典型變量所解釋的方差X組原始變量被ui解釋的方差比例X組原始變量被vi解釋的方差比例y組原始變量被ui解釋的方差比例y組原始變量被vi解釋的方差比例

被典型變量解釋的X組原始變量的方差

被本組的典型變量解釋被對方Y(jié)組典型變量解釋比例累計比例典型相關(guān)系數(shù)平方比例累計比例10.88030.88030.47330.41660.416620.11971.00000.03490.00420.4208

被典型變量解釋的Y組原始變量的方差

被本組的典型變量解釋被對方X組典型變量解釋比例累計比例典型相關(guān)系數(shù)平方比例累計比例10.46890.46890.47330.22190.221920.27310.74200.03490.00950.231544五、樣本典型相關(guān)系數(shù)

在實際應(yīng)用中，總體的協(xié)方差矩陣常常是未知的，類似于其他的統(tǒng)計分析方法，需要從總體中抽出一個樣本，根據(jù)樣本對總體的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)矩陣進行估計，然后利用估計得到的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)矩陣進行分析。45

1、假設(shè)有X組和Y組變量，樣本容量為n。假設(shè)(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn)，觀測值矩陣為：462、計算特征根和特征向量求M1和

M2的特征根，對應(yīng)的特征向量。則特征向量構(gòu)成典型變量的系數(shù)，特征根為典型變量相關(guān)系數(shù)的平方。47職業(yè)滿意度典型相關(guān)分析

某調(diào)查公司從一個大型零售公司隨機調(diào)查了784人，測量了5個職業(yè)特性指標和7個職業(yè)滿意變量。討論兩組指標之間是否相聯(lián)系。X組：Y組：X1—用戶反饋Y1—主管滿意度X2—任務(wù)重要性Y2—事業(yè)前景滿意度X3—任務(wù)多樣性Y3—財政滿意度X4—任務(wù)特殊性Y4—工作強度滿意度X5—自主權(quán)Y5—公司地位滿意度

Y6—工作滿意度

Y7—總體滿意度48

X1X2X3X4X5Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7X11.000.490.530.490.510.330.320.200.190.300.370.21X20.491.000.570.460.530.300.210.160.080.270.350.20X30.530.571.000.480.570.310.230.140.070.240.370.18X40.490.460.481.000.570.240.220.120.190.210.290.16X50.510.530.570.571.000.380.320.170.230.320.360.27Y10.330.300.310.240.381.000.430.270.240.340.370.40Y20.320.210.230.220.320.431.000.330.260.540.320.58Y30.200.160.140.120.170.270.331.000.250.460.290.45Y40.190.080.070.190.230.240.260.251.000.280.300.27Y50.300.270.240.210.320.340.540.460.281.000.350.59Y60.370.350.370.290.360.370.320.290.300.351.000.31Y70.210.200.180.160.270.400.580.450.270.590.311.0049CanonicalCorrelationAnalysis

AdjustedCanonicalCorrelationApproxCanonicalCorrelationSquaredStandardError

CanonicalCorrelation10.5537060.5530730.0069340.30659120.2364040.2346890.0094420.05588730.119186.0.0098580.01420540.072228.0.0099480.00521750.057270.0.0099680.00328050

U1U2U3U4U5X10.42170.3429-0.8577-0.78840.0308X20.19511-0.66830.4434-0.26910.9832X30.1676-0.8532-0.25920.4688-0.9141X4-0.02290.3561-0.42311.04230.5244X50.45970.72870.9799-0.1682-0.4392X組的典型變量51

V1V2V3V4V5Y10.4252-0.08800.4918-0.1284-0.4823Y20.20890.4363-0.7832-0.3405-0.7499Y3-0.0359-0.0929-0.4778-0.60590.3457Y40.02350.9260-0.00650.40440.3116Y50.2902-0.10110.2831-0.44690.7030Y60.5157-0.5543-0.41250.68760.1796Y7-0.1101-0.03170.92850.2739-0.0141Y組的典型變量52

U1U2U3U4U5X10.82930.1093-0.4853-0.24690.0611X20.7304-0.43660.20010.00210.4857X30.7533-0.4661-0.10560.3020-0.3360X40.61600.2225-0.20530.66140.3026X50.86060.26600.38860.1484-0.1246

V1V2V3V4V5Y10.75640.04460.3395-0.1294-0.3370Y20.64390.3582-0.1717-0.3530-0.3335Y30.38720.0373-0.1767-0.53480.4148Y40.37720.7919-0.00540.28860.3341Y50.65320.10840.2092-0.43760.4346Y60.8040-0.2416-0.23480.40520.1964Y70.50240.16280.4933-0.18900.0678原始變量與本組典型變量之間的相關(guān)系數(shù)53

V1V2V3V4V5X10.45920.0258-0.0578-0.01780.0035X20.4044-0.10320.02390.00020.0278X30.4171-0.1102-0.01260.0218-0.0192X40.34110.0526-0.02450.04780.0173X50.47650.06290.04630.0107-0.0071

U1U2U3U4U5Y10.41880.01050.0405-0.0093-0.0193Y20.35650.0847-0.0205-0.0255-0.0191Y30.21440.0088-0.0211-0.03860.0238Y40.20880.1872-0.00060.02080.0191Y50.36170.02560.0249-0.03160.0249Y60.4452-0.0571-0.02800.02930.0112Y70.27820.03850.0588-0.01360.0039原始變量與對應(yīng)組典型變量之間的相關(guān)系數(shù)54

可以看出，所有五個表示職業(yè)特性的變量與u1有大致相同的相關(guān)系數(shù)，u1視為形容職業(yè)特性的指標。第一對典型變量的第二個成員v1與Y1，Y2，Y5，Y6有較大的相關(guān)系數(shù)，說明v1主要代表了主管滿意度、事業(yè)前景滿意度、公司地位滿意度和工種滿意度。而u1和v1之間的相關(guān)系數(shù)0.5537。55

CanonicalRedundancyAnalysisRawVarianceofthe'VAR'VariablesExplainedbyTheirOwnTheOppositeCanonicalVariablesCanonicalVariablesCumulativeCumulativeProportionProportionProportionProportion10.58180.58180.17840.178420.10800.68980.00600.184430.09600.78580.00140.1858

40.12230.90810.00060.186450.09191.00000.00030.1867RawVarianceofthe'WITH'VariablesExplainedbyTheirOwnTheOppositeCanonicalVariables