醫(yī)用高等數(shù)學一、函數(shù)連續(xù)的概念

第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

二、初等函數(shù)的連續(xù)性法三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)的概念

如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生命科學范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的．函數(shù)的連續(xù)性正是客觀世界中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映．0xy

連續(xù)變化的變量反映在圖像上為連續(xù)曲線，連續(xù)曲線對應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)1．函數(shù)的增量

把函數(shù)在點附近的點記為，這時稱為自變量由變到的增量（或稱自變量的改變量）．當自變量由變到時，函數(shù)值由變到．則我們稱為函數(shù)在點處的增量（或稱函數(shù)的改變量），記為

2．函數(shù)連續(xù)性的定義

定義1—9設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義，當自變量在的增量時，有則稱函數(shù)在點處連續(xù)，稱為的連續(xù)點．

函數(shù)在點處連續(xù)可以等價定義為：因此，函數(shù)在處連續(xù)的必要充分條件是：①在處有定義；②存在；③單側(cè)連續(xù)顯然即：

例1-25

設(shè)

在點

處連續(xù),問

、

應(yīng)滿足什么關(guān)系?解：連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例1-26證明3．函數(shù)的間斷點

函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷點,即滿足下列三個條件之一的點為函數(shù)的間斷點.函數(shù)的間斷點通常分為兩類．左、右極限都存在的則稱為第一類間斷點．第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點．例1-27函數(shù)在點處無定義，所以函數(shù)在點處是間斷點，由可知屬于第一類間斷點．如果定義則函數(shù)在點處連續(xù)．這種情況的第一類間斷點稱為可去間斷點．例1-28在的連續(xù)性。解:

注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.解:例1-29討論函數(shù)，在處的連續(xù)性。例1-30討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解：因為所以為函數(shù)的第二類間斷點，這種間斷點稱為無窮間斷點。

1-1-0.50.5yx例1-31討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解：因為函數(shù)在處沒有意義，且極限不存在，所以為函數(shù)的第二類間斷點，這種間斷點稱為振蕩間斷點。第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx二、初等函數(shù)的連續(xù)性（1）一切基本初等函數(shù)在其有定義的點都是連續(xù)的．（2）若函數(shù)與在處連續(xù)，則函數(shù)及在點連續(xù)．（3）若函數(shù)在點處連續(xù)，設(shè)而函數(shù)在點處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)．由以上結(jié)論可知，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．由于函數(shù)在其連續(xù)點滿足所以初等函數(shù)在其有定義的點處求極限的問題就轉(zhuǎn)化為求這一點的函數(shù)值．例1-32求解：例1-33求解：雖然當時函數(shù)沒有定義，但是因為所以例1-34求解：三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1-3（最值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間必有最大值和最小值。ab

推論（有界性定理）若函數(shù)

閉區(qū)間

上連續(xù)，則

在閉區(qū)間

上必有界。定理1-4（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則對介于和之間的任何值，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使此定理的幾何意義是：連續(xù)曲線與水平直線至少相交于一點，如圖所示。abf(a)f(b)特別地，若與異號（即），則連續(xù)曲線與軸至少有一個交點，亦即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根。ba注意：根不一定唯一。例1-39

證明在[0，1]內(nèi)至少有一個根.證明在[0，1]上連續(xù)而由根的存在定理知，存在(0<<1),使得在[0，1]內(nèi)至少有一個根。即1．函