《工程數(shù)學(xué)》課程學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)本指導(dǎo)僅供繼續(xù)教育學(xué)院學(xué)習(xí)《工程數(shù)學(xué)》課程的學(xué)生參考，不適合其他用途.一、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（一）、事件和概率本章一開始以集合論為基礎(chǔ)，類比集合論中的概念與運(yùn)算，得到了概率論的基本概念、運(yùn)算及其規(guī)律等.然后通過概率的統(tǒng)計(jì)定義、古典定義、幾何定義等概括出概率論的公理化定義，并研究了概率的一些性質(zhì).接下來轉(zhuǎn)換樣本空間，引入條件概率的概念及乘法公式、全概公式和逆概公式（貝葉斯公式）.最后再從乘法公式引出事件的獨(dú)立性及獨(dú)立試驗(yàn)序列.本章是概率論的基礎(chǔ)性章節(jié)，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）重點(diǎn)理解幾個(gè)基本概念（概率，互斥，互逆，獨(dú)立等），熟練掌握幾個(gè)基本公式（古典概型，加法公式，減法公式，乘法公式，全概公式，逆概公式，二項(xiàng)概型等）.（2）注意區(qū)別事件的和與積、互斥與互逆、互斥與獨(dú)立；注意從加、減、乘三種運(yùn)算的角度將一些基本公式聯(lián)系起來.例如，減法公式為，當(dāng)互斥時(shí)，即成立（差的概率等于概率的差）（3）注意學(xué)會(huì)用簡單事件表示復(fù)雜事件，以及表示的簡潔性.例如，為三個(gè)隨機(jī)事件.則事件“至少有一個(gè)發(fā)生”可表示為_________,事件“至多有一個(gè)發(fā)生”可表示為__________________.再如，甲乙兩射手獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊1次，其命中率分別為和.現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求該目標(biāo)被乙擊中的概率.這里設(shè)表示“甲擊中目標(biāo)”，表示“乙擊中目標(biāo)”，表示“目標(biāo)被擊中”，則，故，從而所求為.（4）注意互逆思維策略的使用，比如“至少有一個(gè)”與“一個(gè)也沒有”互逆.例如，某射手向同一目標(biāo)射擊50次，每次擊中目標(biāo)的概率為次”的概率.，請(qǐng)用算式表示“50次射擊至多擊中1再如，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為,求在2次重復(fù)試驗(yàn)中試驗(yàn)至少失敗一次的概率.（5）注意兩個(gè)條件概率與的“因”“果”互求.例如，已知，求.（二）、一維隨機(jī)變量本章一開始通過引入隨機(jī)變量的概念，將對(duì)某一隨機(jī)現(xiàn)象中單個(gè)隨機(jī)事件的研究轉(zhuǎn)向?qū)ζ渲兴须S機(jī)事件的研究，同時(shí)在隨機(jī)現(xiàn)象與實(shí)數(shù)間建立了聯(lián)系，使得我們可以用更多的數(shù)學(xué)方法（尤其是微積分方法）來處理概率論的問題.然后分別研究了離散型隨機(jī)變量及其概率分布和連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)，并重點(diǎn)研究了一些常見分布（二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布），尤其是正態(tài)分布.最后分別就離散型和連續(xù)型兩種情況介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布.本章是概率論的重點(diǎn)章節(jié)，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）理解隨機(jī)變量的概念及其與微積分中的函數(shù)的區(qū)別.（2）運(yùn)用隨機(jī)變量的兩個(gè)條件（非負(fù)性和規(guī)范性），尤其是在求參數(shù)時(shí).例如設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求.（3）熟練掌握隨機(jī)變量的概率計(jì)算，尤其要注意連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)為正的區(qū)間.例如，求隨機(jī)變量的值大于0但小于3的概率.對(duì)離散型的，有，而對(duì)連續(xù)型的，則為再如，設(shè)，求由于密度函數(shù),故.（4）注意區(qū)分二項(xiàng)分布與幾何分布，前者強(qiáng)調(diào)“次中恰好發(fā)生次”，并且的取值范圍是有限的，后者關(guān)心“首次發(fā)生時(shí)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)”，并且取值范圍是無限的.（5）注意求正態(tài)隨機(jī)變量的幾種轉(zhuǎn)換（一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，及上一章介紹了互逆轉(zhuǎn)換）.轉(zhuǎn)換成，以例如，設(shè)，則概率（互逆轉(zhuǎn)換）（一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）（）（6）注意無窮積分的計(jì)算技巧，即先用積分方法求出原函數(shù)（概率中稱為分布函數(shù)），將“數(shù)”，最后再通過極限方法求出此分布函數(shù)在“數(shù)”處的“函數(shù)值”.看成例如，前例中（三）、二維離散型隨機(jī)變量本章一開始先引入二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率發(fā)布，然后介紹了二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布，最后研究了隨機(jī)變量的獨(dú)立性.本章難度較大，但要求不高，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）二維隨機(jī)變量與一維隨機(jī)變量的異同（這實(shí)質(zhì)上可看成微積分中一元與多元的異同在概率論中的體現(xiàn)）.例如，兩者都研究隨機(jī)變量的概率分布，都可以用非負(fù)性和規(guī)范性求參數(shù)，但邊緣分布是二維隨機(jī)變量所特有的概念.再如，獨(dú)立性問題，一維隨機(jī)變量只能關(guān)心事件的獨(dú)立性，二維隨機(jī)變量則拓展到隨機(jī)變量之間的獨(dú)立性.（2）注意不要混淆聯(lián)合概率分布與邊緣分布.例如，設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為已知事件與事件相互獨(dú)立，求參數(shù)和.這里的的邊緣分布，的邊緣分布為，，，然而事件的概率表達(dá)式需要用的聯(lián)合概率分布來計(jì)算，即.（四）一隨機(jī)變量的數(shù)字特征本章首研究了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念、計(jì)算公式和性質(zhì)，以及隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.然后討論了隨機(jī)變量的方差的概念、計(jì)算公式和性質(zhì).最后討論了常見分布的期望和方差.本章是概率論的重點(diǎn)章節(jié)，同時(shí)難度也比較大，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）熟悉常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差.例如，已知隨機(jī)變量，且，問題即可輕松求解.，求參數(shù)和.這里只要知道二項(xiàng)分布的（2）恰當(dāng)選擇期望和方差的計(jì)算公式，尤其是注意方差的計(jì)算公式.例如，已知的概率密度為，求的數(shù)學(xué)期望來計(jì)算相對(duì)簡單些.和方差.考慮到計(jì)算的復(fù)雜程度，這里方差用公式（3）適當(dāng)靈活運(yùn)用期望和方差的性質(zhì).例如，前例中，接著求隨機(jī)變量的方差.此時(shí)不必求出的概率密度函數(shù)，進(jìn)而利用來求方差，而是利用方差的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已求的，即.（五）、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念本章首先介紹了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念（計(jì)量等），然后轉(zhuǎn)入數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)之一，即用樣本來估計(jì)總體的參數(shù)，介紹了點(diǎn)估計(jì)概念，并重點(diǎn)介紹了矩估計(jì)法.最后介紹了下一章要使用的數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾個(gè)常用分布，以及正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布.本章是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本章節(jié)，難度不大，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）求矩法估計(jì)時(shí)要注意選擇恰當(dāng)?shù)木兀话惚M量使用低階矩和原點(diǎn)矩.例如，設(shè)總體的概率密度為，其中，為未知參數(shù)，是的隨機(jī)樣本，求參數(shù)的矩法估計(jì).這里只有一個(gè)參數(shù)，可以用或來估計(jì).在（2）正態(tài)總體的樣本均.這個(gè)結(jié)論在下一章中的作用相當(dāng)重值仍然服從均值為方差為的正態(tài)分布，即要.（3）注意理論上一般要求區(qū)別樣本方差和樣本修正方差.實(shí)際應(yīng)用中尤其是對(duì)大樣本，一般不區(qū)別這兩種方差.（六）、假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)本章首先基于小概率原理，提出假設(shè)檢驗(yàn)的一般思想及一般步驟，然后研究了單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題.然后利用同樣的小概率原理，討論了區(qū)間估計(jì)的思想和正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題.本章是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)章節(jié)，同時(shí)難度也比較大，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)要注意選擇恰當(dāng)?shù)姆植碱愋?，并使用修正樣本方?例如，設(shè)總體，其中均未知.是的隨機(jī)樣本，表示）可選為，，這時(shí)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量（用和為修正樣本方差，且，這里之所以這樣選，關(guān)鍵是因?yàn)槭俏粗?（2）區(qū)間估計(jì)時(shí)也要注意選擇恰當(dāng)?shù)姆植碱愋?，并注意根?jù)置信水平選擇恰當(dāng)?shù)呐R界值.均未知.抽取10個(gè)樣本，得到樣本均值例如，設(shè)產(chǎn)品的厚度，其中,樣本方差.求的置信水平為95%的置信區(qū)間.這里同樣因?yàn)槲粗?，并且二、線性代數(shù)是小樣本，所以需要使用分布.（一）、矩陣本章通過對(duì)線性方程組的研究首先引入矩陣的概念及其運(yùn)算（線性運(yùn)算及轉(zhuǎn)置運(yùn)算），接著討論逆矩陣的概念和性質(zhì)，最后從方程組的同解變換的角度提出了矩陣的初等變換，利用分塊矩陣的知識(shí)，推導(dǎo)出初等變換求逆法.從而用矩陣方法解決了系數(shù)矩陣可逆的線性方程組的求解問題.本章是線性代數(shù)的基礎(chǔ)性章節(jié)，但難度不大，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）熟練掌握矩陣的各類運(yùn)算，特別要注意矩陣乘法不滿足交換律，以及特殊矩陣的特殊運(yùn)算.例如上三角矩陣乘上三角矩陣，積仍然是上三角矩陣，并且積的對(duì)角元是因子矩陣對(duì)角元的乘積）.再如，設(shè)，，求.這是一道矩陣求冪題，方法很多.但考慮到：列向量乘行向量，結(jié)果是矩陣；行向量乘列向量，結(jié)果則是數(shù).因此可以得到最一般性的方法，即，（2）熟練掌握逆矩陣的概念，特別要注意特殊矩陣的求逆公式.例如，設(shè)，求.顯然這是矩陣方程，其解為.首先要注意不要把這個(gè)解與矩陣方程的解混為一談.其次要注意到這里矩陣是對(duì)角矩陣，而對(duì)角矩陣的逆為其對(duì)角元求逆，因此再如，設(shè)3階方陣滿足，其中，求.設(shè)，顯然，則.因此，.這里利用了初等矩陣的逆矩陣公式.所以，雖然可以用行初等變換求矩陣的逆，但對(duì)一些特殊矩陣，存在一些計(jì)算復(fù)雜程度低得多的求逆公式，比如二階矩陣求逆的“兩反一交換”，正交矩陣的逆就是其轉(zhuǎn)置，等等.（3）學(xué)會(huì)利用初等矩陣與初等變換的關(guān)系將一些矩陣乘積問題轉(zhuǎn)變成對(duì)矩陣的初等變換.例如，前例中即為對(duì)進(jìn)行第三類列初等變換，即將的第一列的1倍加到的第二列.（4）注意利用字母代數(shù)的技巧化簡矩陣代數(shù).例如，設(shè)滿足，且，求.移項(xiàng)后，得即.表面看似乎要求矩陣的逆，還需要進(jìn)行復(fù)雜的矩陣乘法運(yùn)算.但如果聯(lián)想到字母代數(shù)中成立顯，則有顯然此題根本不需要進(jìn)行上述兩種復(fù)雜運(yùn)算.（二）、行列式本章首先通過對(duì)線性方程組的研究引入二、三階行列式的定義，接著推廣到定義階行列式.考慮到高階行列式的計(jì)算復(fù)雜，因此討論了行列式的性質(zhì)，以期通過使用降階法（將高階行列式降階為低階）以及變換法（將一般行列式變換為特殊行列式），解決高階行列式的計(jì)算問題.最后研究了行列式在矩陣求逆上的應(yīng)用，給出了伴隨矩陣求逆法，并且將本章開始給出的求解二、三階線性方程組的克拉姆法則推廣到系數(shù)矩陣可逆的、含有個(gè)方程的元線性方程組.從而用行列式方法解決了系數(shù)行列式不等于零的線性方程組的求解問題.本章是線性代數(shù)的重點(diǎn)章節(jié)，而且行列式的計(jì)算方法較多，難度較大，學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）熟練掌握二、三階行列式的