數(shù)學(xué)思想方法問題【專題點(diǎn)撥】整體思想：整體思想，就是研究和解決問題時，從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成〞的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理，從而到達(dá)迅速解題的目的.分類討論思想：當(dāng)一個問題因?yàn)槟撤N量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進(jìn)行分類討論.轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化思想亦可在狹義上稱為劃歸思想.就是將待解決的或者難以解決的問題A經(jīng)過某種轉(zhuǎn)化手段，轉(zhuǎn)化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B，通過解決問題B來解決問題A的方法.數(shù)學(xué)建模思想：為了描述一個實(shí)際現(xiàn)象更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比擬嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué).使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模，其實(shí)就是把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為用方程、不等式、函數(shù)等來解決的數(shù)學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合思想：所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，利用“數(shù)形結(jié)合〞可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡.類比思想：類比思想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造型思維中很重要的一種思想方法，它可以幫助學(xué)習(xí)者建立新舊知識聯(lián)系的橋梁，實(shí)現(xiàn)知識的正遷移，將已學(xué)過的知識或已掌握的解題方法遷移到陌生的問題中，進(jìn)而使問題得到解決.【解題策略】整體思想：分析問題整體結(jié)果→發(fā)現(xiàn)問題特征→找到相互關(guān)聯(lián)→運(yùn)用整體思想→化難為易解決問題分類討論思想：分析問題有變化→探索不同分析思路→找到需分解的局部→運(yùn)用分類討論的思想→多種情況分析解決問題轉(zhuǎn)化思想：分析問題有難度→轉(zhuǎn)化手段和方法→從難到易轉(zhuǎn)化→運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的思想→通過另一途徑解決問題建模思想：分析抽象問題→借助模型思想→找到相同本質(zhì)→運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想→采用方程或函數(shù)等解決問題數(shù)形結(jié)合思想：分析問題較抽象→轉(zhuǎn)化為直觀易分析→找到相對應(yīng)圖形→運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想→化難為易解決問題類比思想：分析問題有深度→借助新舊知識的關(guān)聯(lián)→合理進(jìn)行知識遷移→運(yùn)用類比的思想→輕松解決疑難問題【典例解析】類型一：整體思想應(yīng)用問題例題1：〔2023·青海西寧·2分〕x2+x﹣5=0，那么代數(shù)式〔x﹣1〕2﹣x〔x﹣3〕+〔x+2〕〔x﹣2〕的值為2．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值．【分析】先利用乘法公式展開，再合并得到原式=x2+x﹣3，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：原式=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4=x2+x﹣3，因?yàn)閤2+x﹣5=0，所以x2+x=5，所以原式=5﹣3=2．故答案為2．變式訓(xùn)練1：〔2023·菏澤〕m是方程x2-x-1=0的一個根，求—的值.類型二：分類討論思想問題例題2：〔2023·貴州安順·3分〕實(shí)數(shù)x，y滿足，那么以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是〔〕A．20或16B．20C．16D．以上答案均不對【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于x、y的方程并求出x、y的值，再根據(jù)x是腰長和底邊長兩種情況討論求解．【解答】解：根據(jù)題意得，解得，〔1〕假設(shè)4是腰長，那么三角形的三邊長為：4、4、8，不能組成三角形；〔2〕假設(shè)4是底邊長，那么三角形的三邊長為：4、8、8，能組成三角形，周長為4+8+8=20．應(yīng)選B．【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分情況討論求解時要注意利用三角形的三邊關(guān)系對三邊能否組成三角形做出判斷．根據(jù)題意列出方程是正確解答此題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練2：〔2023·江西·3分〕如圖是一張長方形紙片ABCD，AB=8，AD=7，E為AB上一點(diǎn)，AE=5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片〔△AEP〕，使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上，那么等腰三角形AEP的底邊長是．類型三：轉(zhuǎn)化思想問題例題3：〔2023·浙江省紹興市·4分〕〕解分式方程：+=4．【考點(diǎn)】解分式方程．【分析】觀察可得方程最簡公分母為〔x﹣1〕，將方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程即可求解．【解答】解：方程兩邊同乘〔x﹣1〕，得：x﹣2=4〔x﹣1〕，整理得：﹣3x=﹣2，解得：x=，經(jīng)檢驗(yàn)x=是原方程的解，故原方程的解為x=．變式訓(xùn)練3：〔2023·吉林·5分〕解方程：=．類型四：數(shù)學(xué)建模問題例題4：〔2023·四川宜賓〕今年“五一〞節(jié)，A、B兩人到商場購物，A購3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B購5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．設(shè)甲商品售價x元/件，乙商品售價y元/件，那么可列出方程組．【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．【分析】分別利用“A購3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B購5件甲商品和3件乙商品共支付25元〞得出等式求出答案．【解答】解：設(shè)甲商品售價x元/件，乙商品售價y元/件，那么可列出方程組：．故答案為：．變式訓(xùn)練4：〔2023·四川眉山·3分〕受“減少稅收，適當(dāng)補(bǔ)貼〞政策的影響，某市居民購房熱情大幅提高．據(jù)調(diào)查，2023年1月該市宏鑫房地產(chǎn)公司的住房銷售量為100套，3月份的住房銷售量為169套．假設(shè)該公司這兩個月住房銷售量的增長率為x，根據(jù)題意所列方程為．類型五：數(shù)形結(jié)合問題例題5：〔2023·黑龍江齊齊哈爾·12分〕有一科技小組進(jìn)行了機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場地有A、B、C三點(diǎn)順次在同一筆直的賽道上，甲、乙兩機(jī)器人分別從A、B兩點(diǎn)同時同向出發(fā)，歷時7分鐘同時到達(dá)C點(diǎn)，乙機(jī)器人始終以60米/分的速度行走，如圖是甲、乙兩機(jī)器人之間的距離y〔米〕與他們的行走時間x〔分鐘〕之間的函數(shù)圖象，請結(jié)合圖象，答復(fù)以下問題：〔1〕A、B兩點(diǎn)之間的距離是70米，甲機(jī)器人前2分鐘的速度為95米/分；〔2〕假設(shè)前3分鐘甲機(jī)器人的速度不變，求線段EF所在直線的函數(shù)解析式；〔3〕假設(shè)線段FG∥x軸，那么此段時間，甲機(jī)器人的速度為60米/分；〔4〕求A、C兩點(diǎn)之間的距離；〔5〕直接寫出兩機(jī)器人出發(fā)多長時間相距28米．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】〔1〕結(jié)合圖象得到A、B兩點(diǎn)之間的距離，甲機(jī)器人前2分鐘的速度；〔2〕根據(jù)題意求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出EF所在直線的函數(shù)解析式；〔3〕根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答；〔4〕根據(jù)速度和時間的關(guān)系計(jì)算即可；〔5〕分前2分鐘、2分鐘﹣3分鐘、4分鐘﹣7分鐘三個時間段解答．【解答】解：〔1〕由圖象可知，A、B兩點(diǎn)之間的距離是70米，甲機(jī)器人前2分鐘的速度為：〔70+60×2〕÷2=95米/分；〔2〕設(shè)線段EF所在直線的函數(shù)解析式為：y=kx+b，∵1×〔95﹣60〕=35，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔3，35〕，那么，解得，，∴線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y=35x﹣70；〔3〕∵線段FG∥x軸，∴甲、乙兩機(jī)器人的速度都是60米/分；〔4〕A、C兩點(diǎn)之間的距離為70+60×7=490米；〔5〕設(shè)前2分鐘，兩機(jī)器人出發(fā)xs相距28米，由題意得，60x+70﹣95x=28，解得，x=1.2，前2分鐘﹣3分鐘，兩機(jī)器人相距28米時，35x﹣70=28，解得，x=2.8，4分鐘﹣7分鐘，兩機(jī)器人相距28米時，〔95﹣60〕x=28，解得，x=0.8，0.8+4=4.8，答：兩機(jī)器人出發(fā)1.2s或2.8s或4.8s相距28米．變式訓(xùn)練5：〔2023·湖北荊州·8分〕為更新果樹品種，某果園方案新購進(jìn)A、B兩個品種的果樹苗栽植培育，假設(shè)方案購進(jìn)這兩種果樹苗共45棵，其中A種苗的單價為7元/棵，購置B種苗所需費(fèi)用y〔元〕與購置數(shù)量x〔棵〕之間存在如下圖的函數(shù)關(guān)系．〔1〕求y與x的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)在購置方案中，B種苗的數(shù)量不超過35棵，但不少于A種苗的數(shù)量，請?jiān)O(shè)計(jì)購置方案，使總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用．類型六：數(shù)學(xué)類比問題例題6：〔2023·浙江省湖州市〕數(shù)學(xué)活動課上，某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD〔∠BAD=120°〕進(jìn)行探究：將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)〔不包括線段的端點(diǎn)〕．〔1〕初步嘗試如圖1，假設(shè)AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；〔2〕類比發(fā)現(xiàn)如圖2，假設(shè)AD=2AB，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，求證：AE=2FH；〔3〕深入探究如圖3，假設(shè)AD=3AB，探究得：的值為常數(shù)t，那么t=．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【分析】〔1〕①先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，再證明∠BCE=∠ACF即可解決問題．②根據(jù)①的結(jié)論得到BE=AF，由此即可證明．〔2〕設(shè)DH=x，由由題意，CD=2x，CH=x，由△ACE∽△HCF，得=由此即可證明．〔3〕如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點(diǎn)H．先證明△CFN∽△CEM，得=，由AB?CM=AD?CN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以==，設(shè)CN=a，F(xiàn)N=b，那么CM=3a，EM=3b，想方法求出AC，AE+3AF即可解決問題．【解答】解；〔1〕①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，∴∠D=∠B=60°，∵AD=AB，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，∵∠ECF=60°，∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACF，在△BCE和△ACF中，∴△BCE≌△ACF．②∵△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．〔2〕設(shè)DH=x，由由題意，CD=2x，CH=x，∴AD=2AB=4x，∴AH=AD﹣DH=3x，∵CH⊥AD，∴AC==2x，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACH=60°，∵∠ECF=60°，∴∠HCF=∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴==2，∴AE=2FH．〔3〕如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點(diǎn)H．∵∠ECF+∠EAF=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵∠AFC+∠CFN=180°，∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，∴△CFN∽△CEM，∴=，∵AB?CM=AD?CN，AD=3AB，∴CM=3CN，∴==，設(shè)CN=a，F(xiàn)N=b，那么CM=3a，EM=3b，∵∠MAH=60°，∠M=90°，∴∠AHM=∠CHN=30°，∴HC=2a，HM=a，HN=a，∴AM=a，AH=a，∴AC==a，AE+3AF=〔EM﹣AM〕+3〔AH+HN﹣FN〕=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a，∴==．故答案為．變式訓(xùn)練6：〔2023·陜西〕問題提出〔1〕如圖①，△ABC，請畫出△ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形．問題探究〔2〕如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長最?。考僭O(shè)存在，求出它周長的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．問題解決〔3〕如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？假設(shè)能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；假設(shè)不能，請說明理由．【能力檢測】〔2023·四川瀘州〕分式方程﹣=0的根是．2.〔2023·黑龍江齊齊哈爾·3分〕有一面積為5的等腰三角形，它的一個內(nèi)角是30°，那么以它的腰長為邊的正方形的面積為．3.〔2023·湖北荊門·3分〕如圖，點(diǎn)A〔1，2〕是反比例函數(shù)y=圖象上的一點(diǎn)，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)；假設(shè)△PAB是等腰三角形，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？．4.〔2023·內(nèi)蒙古包頭〕一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．設(shè)豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2．〔1〕求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度．5.〔2023·陜西〕昨天早晨7點(diǎn)，小明乘車從家出發(fā)，去西安參加中學(xué)生科技創(chuàng)新大賽，賽后，他當(dāng)天按原路返回，如圖，是小明昨天出行的過程中，他距西安的距離y〔千米〕與他離家的時間x〔時〕之間的函數(shù)圖象．根據(jù)下面圖象，答復(fù)以下問題：〔1〕求線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕昨天下午3點(diǎn)時，小明距西安112千米，求他何時到家？6.〔2023河南〕〔1〕發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=a，AB=b．填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時，線段AC的長取得最大值，且最大值為〔用含a，b的式子表示〕〔2〕應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直接寫出線段BE長的最大值．〔3〕拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔2，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔5，0〕，點(diǎn)P為線段AB外一動點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【參考答案】變式訓(xùn)練1：〔2023·菏澤〕m是方程x2-x-1=0的一個根，求—的值.【解析】把m代入方程求得m2-m=1，再把有關(guān)m的代數(shù)式化簡，最后整體代入求出代數(shù)式的值.【解答】∵m是方程x2-x-1=0的一個根，∴m2-m-1=0.即m2-m=1.m(m+1)2-m2(m+3)+4=m3+2m2+m-m3-3m2+4=-m2+m+4=-(m2-m)+4=-1+4=3.【點(diǎn)評】此題考查代數(shù)式的求值，解答這類問題要善于觀察代數(shù)式的整體特征，先將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再把代數(shù)式化簡，然后將化簡結(jié)果轉(zhuǎn)成與條件有關(guān)的式子進(jìn)行計(jì)算.變式訓(xùn)練2：〔2023·江西·3分〕如圖是一張長方形紙片ABCD，AB=8，AD=7，E為AB上一點(diǎn)，AE=5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片〔△AEP〕，使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上，那么等腰三角形AEP的底邊長是．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】分情況討論：①當(dāng)AP=AE=5時，那么△AEP是等腰直角三角形，得出底邊PE=AE=5即可；②當(dāng)PE=AE=5時，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等邊AP即可；③當(dāng)PA=PE時，底邊AE=5；即可得出結(jié)論．【解答】解：如下圖：①當(dāng)AP=AE=5時，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底邊PE=AE=5；②當(dāng)PE=AE=5時，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底邊AP===4；③當(dāng)PA=PE時，底邊AE=5；綜上所述：等腰三角形AEP的對邊長為5或4或5；故答案為：5或4或5．變式訓(xùn)練3：〔2023·吉林·5分〕解方程：=．【考點(diǎn)】解分式方程．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+3，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)x=5是分式方程的解．變式訓(xùn)練4：〔2023·四川眉山·3分〕受“減少稅收，適當(dāng)補(bǔ)貼〞政策的影響，某市居民購房熱情大幅提高．據(jù)調(diào)查，2023年1月該市宏鑫房地產(chǎn)公司的住房銷售量為100套，3月份的住房銷售量為169套．假設(shè)該公司這兩個月住房銷售量的增長率為x，根據(jù)題意所列方程為100〔1+x〕2=169．【分析】根據(jù)年1月該市宏鑫房地產(chǎn)公司的住房銷售量為100套，3月份的住房銷售量為169套．設(shè)該公司這兩個月住房銷售量的增長率為x，可以列出相應(yīng)的方程．【解答】解：由題意可得，100〔1+x〕2=169，故答案為：100〔1+x〕2=169．【點(diǎn)評】此題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出形應(yīng)的方程．變式訓(xùn)練5：〔2023·湖北荊州·8分〕為更新果樹品種，某果園方案新購進(jìn)A、B兩個品種的果樹苗栽植培育，假設(shè)方案購進(jìn)這兩種果樹苗共45棵，其中A種苗的單價為7元/棵，購置B種苗所需費(fèi)用y〔元〕與購置數(shù)量x〔棵〕之間存在如下圖的函數(shù)關(guān)系．〔1〕求y與x的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)在購置方案中，B種苗的數(shù)量不超過35棵，但不少于A種苗的數(shù)量，請?jiān)O(shè)計(jì)購置方案，使總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用．【分析】〔1〕利用得到系數(shù)法求解析式，列出方程組解答即可；〔2〕根據(jù)所需費(fèi)用為W=A種樹苗的費(fèi)用+B種樹苗的費(fèi)用，即可解答．【解答】解：〔1〕設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，把〔20，160〕，〔40，288〕代入y=kx+b得：解得：∴y=6.4x+32．〔2〕∵B種苗的數(shù)量不超過35棵，但不少于A種苗的數(shù)量，∴∴22.5≤x≤35，設(shè)總費(fèi)用為W元，那么W=6.4x+32+7〔45﹣x〕=﹣0.6x+347，∵k=﹣0.6，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=35時，W總費(fèi)用最低，W最低=﹣0.6×35+347=137〔元〕．【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)一次函數(shù)的增減性得出費(fèi)用最省方案是解決問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練6：〔2023·陜西〕問題提出〔1〕如圖①，△ABC，請畫出△ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形．問題探究〔2〕如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長最小？假設(shè)存在，求出它周長的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．問題解決〔3〕如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？假設(shè)能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；假設(shè)不能，請說明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】〔1〕作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D，連接AD，CD，△ACD即為所求；〔2〕作E關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E′，作F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F′，連接E′F′，得到此時四邊形EFGH的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2即可得到結(jié)論；〔3〕根據(jù)余角的性質(zhì)得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BG，AE=BF，設(shè)AF=x，那么AE=BF=3﹣x根據(jù)勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG關(guān)于EG的對稱△EOG，那么四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O(shè)為圓心，以EG為半徑作⊙O，那么∠EHG=45°的點(diǎn)在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，那么H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，那么∠EH′G=45°，于是得到四邊形EFGH′是符合條件的最大部件，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：〔1〕如圖1，△ADC即為所求；〔2〕存在，理由：作E關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E′，作F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F′，連接E′F′，交BC于G，交CD于H，連接FG，EH，那么F′G=FG，E′H=EH，那么此時四邊形EFGH的周長最小，由題意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2，∴四邊形EFGH的周長的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∴在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長最小，最小值為2+10；〔3〕能裁得，理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF與△BGF中，，∴△AEF≌△BGF，∴AF=BG，AE=BF，設(shè)AF=x，那么AE=BF=3﹣x，∴x2+〔3﹣x〕2=〔〕2，解得：x=1，x=2〔不合題意，舍去〕，∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，連接EG，作△EFG關(guān)于EG的對稱△EOG，那么四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O(shè)為圓心，以EG為半徑作⊙O，那么∠EHG=45°的點(diǎn)在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，那么H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，那么∠EH′G=45°，此時，四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的，∴C在線段EG的垂直平分線設(shè)，∴點(diǎn)F，O，H′，C在一條直線上，∵EG=，∴OF=EG=，∵CF=2，∴OC=，∵OH′=OE=FG=，∴OH′＜OC，∴點(diǎn)H′在矩形ABCD的內(nèi)部，∴可以在矩形ABCD中，裁得符合條件的面積最大的四邊形EFGH′部件，這個部件的面積=EG?FH′=××〔+〕=5+，∴當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時，裁得了符合條件的最大部件，這個部件的面積為〔5+〕m2．【能力檢測】1.〔2023·四川瀘州〕分式方程﹣=0的根是x=﹣1．【考點(diǎn)】分式方程的解．【分析】把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x〔x﹣3〕進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：方程兩邊都乘以最簡公分母x〔x﹣3〕得：4x﹣〔x﹣3〕=0，解得：x=﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)：x=﹣1是原分式方程的解，故答案為：x=﹣1．2.〔2023·黑龍江齊齊哈爾·3分〕有一面積為5的等腰三角形，它的一個內(nèi)角是30°，那么以它的腰長為邊的正方形的面積為20和20．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】分兩種情形討論①當(dāng)30度角是等腰三角形的頂角，②當(dāng)30度角是底角，分別作腰上的高即可．【解答】解：如圖1中，當(dāng)∠A=30°，AB=AC時，設(shè)AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴?a?a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰長為邊的正方形的面積為20．如圖2中，當(dāng)∠ABC=30°，AB=AC時，作BD⊥CA交CA的延長線于D，設(shè)AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴?a?a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰長為邊的正方形的面積為20．故答案為20或20．3.〔2023·湖北荊門·3分〕如圖，點(diǎn)A〔1，2〕是反比例函數(shù)y=圖象上的一點(diǎn)，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)；假設(shè)△PAB是等腰三角形，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】由對稱性可知O為AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)△PAB為等腰三角形時只能有PA=AB或PB=AB，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔x，0〕，可分別表示出PA和PB，從而可得到關(guān)與x的方程，可求得x，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于O對稱，∴O為AB的中點(diǎn)，且B〔﹣1，﹣2〕，∴當(dāng)△PAB為等腰三角形時有PA=AB或PB=AB，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔x，0〕，∵A〔1，2〕，B〔﹣1，﹣2〕，∴AB==2，PA=，PB=，當(dāng)PA=AB時，那么有=2，解得x=﹣3或5，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為〔﹣3，0〕或〔5，0〕；當(dāng)PB=AB時，那么有=2，解得x=3或﹣5，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為〔3，0〕或〔﹣5，0〕；綜上可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為〔﹣3，0〕或〔5，0〕或〔3，0〕或〔﹣5，0〕，故答案為：〔﹣3，0〕或〔5，0〕或〔3，0〕或〔﹣5，0〕．4.〔2023·內(nèi)蒙古包頭〕一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．設(shè)豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2．〔1〕求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．【分析】〔1〕由橫、豎彩條的寬度比為3：2知橫彩條的寬度為xcm，根據(jù)：三條彩條面積=橫彩條面積+2條豎彩條面積﹣橫豎彩條重疊矩形的面積，可列函數(shù)關(guān)系式；〔2〕根據(jù)：三條彩條所占面積是圖案面積的，可列出關(guān)于x的一元二次方程，整理后求解可得．【解答】解：〔1〕根據(jù)題意可知，橫彩條的寬度為xcm，∴y=20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x2+54x，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣3x2+54x；〔2〕根據(jù)題意，得：﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16〔舍〕，∴x=3，答：橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為2cm．5.〔2023·陜西〕昨天早晨7點(diǎn)，小明乘車從家出發(fā)，去西安參加中學(xué)生科技創(chuàng)新大賽，賽后，他當(dāng)天按原路返回，如圖，是小明昨天出行的過程中，他距西安的距離y〔千米〕與他離家的時間x〔時〕之間的函數(shù)圖象．根據(jù)下面圖象，答復(fù)以下問題：〔1〕求線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕昨天下午3點(diǎn)時，小明距西安112千米，求他何時到家？【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】〔1〕可設(shè)線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法列方程組求解即可；〔2〕先根據(jù)速度=路程÷時間求出小明回家的速度，再根據(jù)時間=路程÷速度，列出算式計(jì)算即可求解．【解答】解：〔1〕設(shè)線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，依題意有，解得．故線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣96x+192〔0≤x≤2〕；〔2〕12+3﹣〔7+6.6〕=15﹣13.6=1.4〔小時〕，112÷1.4=80〔千米/時〕，÷80=80÷80=1〔小時〕，3+1=4〔時〕．答：他下午4時到家．6.〔20