（（CUA）A；{}Z①、定義：記作：CUA{x|xU,且xA}；

0 0 0 f(x)ax2bxc(a0)

ax2bxc0(a0)的根

x2)

b2aax2bxc0(a0)的解集

{x|xx1,xx2}

{x|x

b2a

}

{x|x

xx2}ax2bxc0(a0)的解集

含參數(shù)的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立問題含參不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R；（1）、當(dāng)a0時(shí)，|x|a的解集是{x|xa,xa}，|x|a的解集是{x|axa}（2）、當(dāng)c0時(shí)，|axb|caxbc,axbc，|axb|ccaxbc|

為逆

否命題：若p則q；逆否命題：若q則p；若p則q

若q則p若pq，則p叫q的充分條件；若pq，則p叫q的必要條件；若pq，則p叫q的充要條件；f（4）、區(qū)間：滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫閉區(qū)間，表示為：[a，b]滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫開區(qū)間，表示為：（a，b）滿足不等式axb或axb的實(shí)數(shù)x的集合叫半開半閉區(qū)間，分別表示為：[a，b）或（a，b]；R②、分式：分母0，0次冪：底數(shù)0，例：y2|3x|③、偶次根式：被開方式0，例：y④、對(duì)數(shù)：真數(shù)0，例：yloga(1

25x21)（6）、求值域的一般方法：①、圖象觀察法：y0.2|x|1②、單調(diào)函數(shù)：代入求值法：ylog2(3x1),x[,3]3③、二次函數(shù)：配方法：yx24x,x[1,5)，y④、“一次”分式：反函數(shù)法：y2x1

x22x2aa叫根式，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aa；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a|a|a(a0)⑥、換元法：yx12x

2sinx2sinx②、配湊法：f(x1

)x2

1

③、換元法：f(x1)x2x，求f（x）④、解方程（方程組）：定義在（-1，0）∪（0，1）的函數(shù)f（x）滿足2f(x)f(x)

1x2時(shí)有f(x1)f(x2)，稱f(x)為D上增函數(shù)；

x2時(shí)有f(x1)f(x2)，稱f(x)為D上減函數(shù)。（一致為增，不同為減）（2）、區(qū)間D叫函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間定義域；4、反函數(shù)：函數(shù)yf(x)的反函數(shù)為yf1(x)；函數(shù)yf(x)和yf1(x)互為反函數(shù)；

反函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域；函數(shù)yf(x)的圖象和它的反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱；點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為（b，a）；

a(a0)n n n （2）、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：annam；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a

na1（3）、運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)a0,b0,r,sQ時(shí)：arasa

rs,(ar)sars,(ab)rarbr，raar；④、積的對(duì)數(shù)：④、積的對(duì)數(shù)：loga(MN)loga

Mlog

a

N，商的對(duì)數(shù)：log

a

log

a

Mlog

a

冪的對(duì)數(shù)：log

a

Mnnlog

a

方根的對(duì)數(shù)：log

a

1nM n

a

yax （a0且a1）

ylog

ax（a0且a1）

a性單調(diào)性

ax1,x0ax1,x0

a

0,x1x0,x10,0x1

a

0,x1x0,x10,0x1圖定點(diǎn)a01,過定點(diǎn)（0，1） loga10,過定點(diǎn)（1，0）

ax0,圖象在x軸上方

yax的圖象與ylog

a

x的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱差為差為d，則有a是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN，那么Sk，Snn2，則數(shù)列1N{12（2）、通項(xiàng)公式：數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系式；例：數(shù)列1，2，…，n的通項(xiàng)公式an=1，-1，1，-1，…，的通項(xiàng)公式an=(1)n1

0，1，01，0，…，的通項(xiàng)公式

（3）、遞推公式：已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系用一個(gè)公式表示，這個(gè)公式叫遞推公式；例：數(shù)列{a

}：a

1，a

a

，求數(shù)列{a

Sna1a2a3an；數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：

a1S1(n1)anSS (n2)n d（2）、通項(xiàng)公式：a

a

（其中首項(xiàng)是a1，公差是d；整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)），

n(a1an)

Snna1

ab或2Aab，若a ad(常數(shù))，則數(shù)列a①、定義法：對(duì)于數(shù)列an n1 n ②、等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列a，若2a aa n n1 n ①、等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且mn，公a(nm)dn a

，若nmpq，則a

a

a

aq。也就是：a1ana2an1a3an2③、若數(shù)列a a,a2,a3,,an2,an1,ana2an1 2k k，S3k

④、設(shè)數(shù)列④、設(shè)數(shù)列a是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn是前n項(xiàng)的和，aa1(1q)，若，若anan2 1，則數(shù)列 是等比數(shù)列。 2a1a2a3akak1a2ka2k1a3kSk

奇

S偶S奇nd2

S奇S偶a中

S奇

n1

a中S偶

n1

a中

a（其中中是等差數(shù)列的中間一項(xiàng)）。a

2

的前2n1項(xiàng)的和為S

anbn

S2n1

12q（2）、通項(xiàng)公式：a

a1qn1（其中：首項(xiàng)是a1，公比是q）

aa1 1q

na1,(q1)

,(q1)

(q1)

a1anq1q

(q1)如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。a

，即G2ab（或G

ab，等比中項(xiàng)有兩個(gè)），若an1q(q0)，則數(shù)列a是等比數(shù)列。n an a an n ①、等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等比數(shù)列的第m項(xiàng)，且mn，公比為q，則有anamqnm②、對(duì)于等比數(shù)列a，若nmuv，則a

a

a

an n u 也就是：a1ana2an1a3an2a,a2,a3,,an2,an1,ana2an1③、若數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比數(shù)列。a1a2a3akak1a2ka2k1a3kSk 123nn(n1)2

1，135(2n1)n2，122232n2 n(n1)(2n1)6①公式法：“差比之和”的數(shù)列：(2351)(2352)(235n)②、并項(xiàng)法：1234(1)n1n③、裂項(xiàng)相消法：111

12

23

34

nn1

（3）、弧長(zhǎng)公式：l||r（是角的弧度數(shù)）

扇形面積：S

12

lr

12

||r2

r x2y20

sin

r

tan

sec

r

cosr

cot

csc

r

（3）、特殊角的三角函數(shù)值 sin cos tan的角度0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360的弧度sin

2232

132226

1

cos

1

32

22

1

22

32

1

1tan

33

1

3

1

33

（１）平方關(guān)系：（２）商數(shù)關(guān)系：（３）倒數(shù)關(guān)系： sin cossin2cos211tan2sec2

cot

tan

cot1cot2csc21

cossec1

sec

csc①、sin21cos2，sin1cos2；cos21sin2，cos1sin2；②tancot

cos2sin2sincos

，cottan

cos2sin2

③(sincos)212sincos1sin2， 1sin2|sincos|公式一：sin(k360)sin cos(k360)cos tan(k360)tan sin(180)sin sin(180)sin sin()sin sin(360)sincos(180)cos cos(180)cos cos()cos cos(360)costan(180)tan tan(180)tan tan()tan tan(360)tansin( )cos2補(bǔ)充：cos()sin2tan( )cot2 )cos )cos )cos cos()sincos(3)sincos(3)sin )cottan( )cot )cot S()：sin()sincoscossin S()：sin()sincoscossinC()：cos(a)coscossinsin C()：cos(a)coscossinsin

tantan

tantanT()的整式形式為：tantantan()(1tantan)例：若AB45，則(1tanA)(1tanB)2．（反之不一定成立） a7、輔助角公式：asinxbcosxa2b2a2b2

sinx

a2b2a2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x)（其中稱為輔助角，的終邊過點(diǎn)(a,b)，tanb）（多用于研究性質(zhì)）a8、二倍角公式：（1）、S2：sin22sincos T2：

cos2cossin 12sin22cos212tan

sincos1sin22 sin2 cos22 1 cos2 cos22 2

12（3）、二倍角公式的常用變形：①、1cos22|sin|，1cos22|cos|；②、11cos2|sin|，2

11cos2|cos|2 ③、sin4cos412sin2cos21

sin22

cos4sin4cos2；④半角：sin2

，cos

1cos

1cos

1cossin

sin1cosfx y（3）、正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)（kZ）ysinxycosxT2T2 2 ytanx

{x|xk}

T

k,2

k2

1），（，02

，-1），（2，0）；ycosx圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（0，1），（，0），（，-1），（2ysinx 2 22

，0），（2，1）；

ycosx

2

2

2

ytanx2

ysinx的對(duì)稱中心為（k,0）；對(duì)稱軸是直線xk；2ycosx的對(duì)稱中心為（k ,0）；對(duì)稱軸是直線xk；2ytanx的對(duì)稱中心為點(diǎn)（k,0）和點(diǎn)（k ,0）；2(4)、函數(shù)yAsin(x)(A0,0)的相關(guān)概念：

yAtan(x)的周期T 相位初相

T2

f1

yAsin(x)的圖象與ysinx的關(guān)系：當(dāng)

1時(shí)，圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的

1倍

1倍

當(dāng)0時(shí)，圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位倍當(dāng)0時(shí)，圖象上的各點(diǎn)向右平移||個(gè)單位倍

ysin(x)當(dāng)0時(shí)，圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位倍|個(gè)單位倍當(dāng)0時(shí)，圖象上的各點(diǎn)向右平移|

常敘述成：①把ysinx上的所有點(diǎn)向左（0時(shí)）或向右（0時(shí)）平移||個(gè)單位得到

1

③再把ysin(x)的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A1）或縮短（0A1）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不先平移后伸縮的敘述方向：yAsin(x)Asin[(x

)] sinxa（1a1）xarcsina（反正弦）

x , 2 2

xarcsina（0a1）cosxa（1a1）tanxa（aR）

xarccosa（反余弦）xarctana（反正切）

x0, x , 2 2

xarccosa（1a0）xarctana （a0）（1）一次函數(shù)型：yAsinxB，例：y2sin(3x用輔助角公式化為：yasinxbcosxa2b2sin(x)，例：y4sinx3cosx只有一對(duì)實(shí)數(shù)只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2，使a1ex2,y （２）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)（２）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,bx，則abx（（3）實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)ax,y，則λa00（3）單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫單位向量；與向量a平行的單位向量：e

a|a|

a ab a b a ab b b ab a aba a （2）、實(shí)數(shù)與向量的積：①、定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作：a；②：它的長(zhǎng)度：|a||||a|；③：它的方向：當(dāng)0，a與向量a的方向相同；當(dāng)0，a與向量a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a=0；12e2； 4、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：（１）運(yùn)算性質(zhì)：abba,abcabc,a00aa

1 1 2

x2)2(yyy,bx,則abx④④、設(shè)是向量ax,bx設(shè)設(shè)ax,bx，則a//bx設(shè)設(shè)ax,bx，則abx，且，且P 1PPP（（5）、平移公式：如果點(diǎn)P（x，y）按向量ah,k平移至P′（x′，y′），則 xxh, （4）平面向量的數(shù)量積：①、定義：ababcosa0,b0,001800，0a0. ①、平面向量的數(shù)量積的幾何意義：向量a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積；

1y2 向量a的模|a|：|a|2aax2y2；模|a| x2y2

的夾角，則cos

x1x2y1y2y2 x2y

，abab0

12

x2y1

的距離：|AB|

1

1

y2)212

1 1

2 2

，（即

|P1P||PP|

則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式

xx yy

中點(diǎn)坐標(biāo)公式

61）三角形的面積公式：（2）在△ABC中：ABC180，

12

1 absinC acsinB 2 因?yàn)锳B180C：sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，tan(AB)tanC因?yàn)锳B90C：sin(AB)cosC，cos(AB)sinC，2 2 2 2 2

tan(AB)cotC2

a

b

csinC

2R,邊用角表示：a2RsinA,

b2RsinB，c2Rsin（（3）、對(duì)于n個(gè)正數(shù)：a1,a2,ann叫做n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，na1aa2b2c22bccosA②余弦定理：b2a2c22accosB

a2b2c2ab若：a2b2c22ab則：c2a2b22abcosC(ab)22ab(1cocC) a2b2c23ab求角：cosA

b2c2a2

cosB

a2c2b22ac

cosC

a2b2c22ab1、不等式的性質(zhì)：（1）、對(duì)稱性：abba；（2）、傳遞性：ab,bcac；（3）、abacbc；ab,cdacbd（4）、ab,若c0acbc，若c0acbc；ab0,cd0acbd（5）、ab0anbn,nanb,(nN,n1)（沒有減法、除法）（2）、ab2ab或ab(

ab

a2b2（ab 2 )2一正、二定、三相等

2aa

a

不滿足相等條件時(shí)，注意應(yīng)用函數(shù)f(x)x1圖象性質(zhì)（如圖）

2a3,an(n2)，1

a

2

an

2

an

（1）比較法：①、作差：ab0ab,ab0ab，（作差、變形、確定符號(hào)）②、作商：ab

1(b0)ab(b0),a1(b0)ab(b0)b（2）綜合法：由因到果，格式：,; ,;,>x1,yy2),或P1Px1,y（（2）、斜截式：ykxb；（3）、兩點(diǎn)式：yy（（1）平行：l1//lAA1xB1yCA2xB2yCAA，y軸截距為Bk2且b5、絕對(duì)值不等式：|a||b||ab||a||b||a||b||ab||a||b|例：f（x）|2x3||2x5||32x||2x5||32x2x5|8（最小值）f（x）|x2||x3||x2||3x||x23x|5（最大值）xx0 （2）斜率：ktan，k(,) 當(dāng)k0時(shí)

arctank； arctank（3）直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，則斜率為k

2211P1P2

(x

y

xx x2 （4）、截距式：xy1（截距是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可正可負(fù)可為零）a （5）、一般式：AxByC0（A、B不同時(shí)為0）斜率k

C

B

時(shí)，l1//l2；

1

2

1l1

2

B1B2

0l

l2；（2）相交：k

0;0.

（（4）點(diǎn)到直線的距離公式dAx任意曲線的交點(diǎn)就是：曲線方程構(gòu)成的方程組f1(x,y)0的解f2(x,y)0

到角公式：tan

kk2 1k2k1

夾角范圍：(0,

夾角公式：tan

kk 1k2

k、k都存在，1kk01 2 120By0C（直線方程必須化為一般式）A2B2兩平行線間的距離公式：d

CC A2B2

線性規(guī)劃問題6、圓的方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，圓心為C(a,b)，半徑為r（2）圓的一般方程x2y2DxEyF0（配方：(x

)2(y

)2

D2E24F

D2E24F0時(shí)，表示一個(gè)以(D,E)為圓心，半徑為2

D2E24F的圓xarcosybrsin

（為參數(shù)），圓心在原點(diǎn)時(shí)：xrcosyrsin①、過圓①、過圓xyr上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線只有一條，方程為：x0xy0yr2（4）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：判斷方法上(xa)2(yb)2r2，外0,內(nèi)0，上=0（5）直線與圓位置關(guān)系：已知直線AxByC0和圓(xa)2(yb)2r2①、圓心到直線的距離d與r比較，相離dr，相切dr，相交dr；Ax2BxC0②、利用根的判別式：聯(lián)立(xa)2(yb)2r

0直線和圓相交，0直線和圓相切，0直線和圓相離；Rt2 2 x （0<2a<|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡。即：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直第二定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線L的平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線L的線L的距離之比為常數(shù)a2

b2

1(ab0)

x2y21(a0,b0)a2 b2

y22px(p0)y y F 0F x F 0 Fx 0 F

F1

0F2

F1

0

F2

0

F

(c,0),c a2b2(c,0),c a2b(a,0),(0,b) xy軸

,0)(0,0)x軸

c(0,1)ax

ec(1,)aa2ybxa

e1xp

x2a2

y2b2

1

x2a2

y2b2

0

y2b2

x2a2

a

ya

由漸進(jìn)線求雙曲線：ya

a

y2

x2a2

x2a2

y2

0

x2a2

y2

2、求離心率e：方法一：用e的定義eca；法二：得到與a、b、c有關(guān)的方程，解方程，求；a（離心率e與a、b、c的關(guān)系可以互相表示：橢圓e1

b2a2

，雙曲線e1

b2a2

直線方程聯(lián)立→消元→一元二次方程→判別式Δ圓錐曲線方程

1k2

(1k2)[(x

x2)24x1x2]

（消y）

y

|

y2)24y1y2]

（消x）在y22px上的點(diǎn)常設(shè)(

,y)，在x22py上的點(diǎn)常設(shè)(x,

第九章直線平面簡(jiǎn)單的幾何體

aP（兩平面相交，只有一條交線）Pl且Pl(

12a∩α=A

直線與平面相交，記作a∩α=A

a//α那么這條直線和這個(gè)平面平行．（線線平行線面平行）l,m,且l//ml//這條直線和交線平行．（線面平行線線平行）l//,l, ml//m （線線垂直線面垂直） a （面面垂直線面垂直） （1）、共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a，b（b0），a//bab（R） （a叫直線AB的方向向量）

a

當(dāng)t12

1時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則OP 2

（2）、共面向量定理：兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與a，b共面pxayb（x,yR）O為空間任一點(diǎn)，當(dāng)OPxOAyOBzOC且xyz1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面。序?qū)崝?shù)組x，y，z，使pxaybzc，{a，b，c}叫基底，a、b、c叫基向量。如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么空間向量組成的集合為{p|pxaybzc,x （4）、兩個(gè)向量的數(shù)量積：ab|a||b|cosa,b，向量a的模|a|：|a|2aa向量a在單位向量e方向的正射影是一個(gè)向量，即ae|a|cosa,e，abab0（5）、共線向量或平行向量：所在的直線平行或重合的向量；直線的方向向量：和直線平行的向量； 法向量的求法：設(shè)是a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)平行于平面的兩個(gè)不共線向量， n(x,y,z)是平面的法向量，則：

b3)；（2）ab((ab1,ab2,ax1)2(yy2)2(zi（1，0，0）j（0，1，0）k（0，0，1）其中：i21，j21，k21，ij0，ik0，jk0，1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，則（1）ab(a1

2

3

1

2

3（3）a(a1,a2,a3)(a1,a2,a3)（R）；（4）a∥ba1

2

3

a

a

a

）；（5）abab0a1

a2b2

a3b3

0．（6）aba1

a2b2

a3b3；∵

a·b＝|a||b|cos＜a，b＞∴a·b=a1b

a2b2

a3b3＝a12

a2

a2

·b2

·cos＜a，b＞

a aa1b 3ba2a2a2 b2b2b2 2 2 2z1)AB：d

(x2

1

1

z2)2A、B中點(diǎn)M坐標(biāo)公式：OM

xx(OAOB)＝(1

的角中最小的．公式：coscos

cos

①、異面直線所成的角的范圍：0兩條直線所成的角的范圍：0

2

兩個(gè)向量所成的角的范圍：0②、斜線與平面所成的角的范圍：0直線與平面所成的角的范圍：0

2

||n1||n若該二面角為銳二面角若該二面角為銳二面角則arccos|n||n1||n③、二面角的范圍：0①、異面直線所成的角：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作a'∥a，b'∥b，a'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．范圍：(0,0求法一：公式coscos求法三：向量法：已知PA為平面的一條斜線，n為平面的一個(gè)法向量，過P作平面的垂線PO，連結(jié)OA則PAO為斜線PA和平面所成的角為，則 sin|sin(2OP,AP)||cosOP,AP||cosn,AP|

|nPA||n||PA|