學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE23-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點25雙曲線與拋物線的方程及幾何性質(zhì)【考點剖析】1.最新考試說明：（1）了解圓錐曲線的實際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。(2）了解雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì)。(3）理解數(shù)形結(jié)合的思想。（4)了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.2.命題方向預(yù)測：縱觀近幾年的高考試題，高考對雙曲線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線的定義及雙曲線基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；二是考查雙曲線的幾何性質(zhì)，較多地考查離心率、漸近線問題;三是考查雙曲線與圓、橢圓或拋物線相結(jié)合的問題，綜合性較強(qiáng)。高考對拋物線的考查,主要考查以下幾個方面：一是考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合拋物線的定義及拋物線的焦點,利用待定系數(shù)法求解；二是考查拋物線的幾何性質(zhì)，較多地涉及準(zhǔn)線、焦點、焦準(zhǔn)距等；三是考查直線與拋物線的位置關(guān)系問題,過焦點的直線較多.選擇題或填空題拋物線與橢圓、雙曲線綜合趨勢較強(qiáng)，涉及直線與拋物線位置關(guān)系的解答題增多。3.課本結(jié)論總結(jié)：1．雙曲線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是雙曲線(1)在平面內(nèi)；(2）動點到兩定點的距離的差的絕對值為一定值；（3）這一定值一定要小于兩定點的距離．2.雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a>0，b〉0）eq\f（y2，a2）－eq\f(x2，b2)＝1(a〉0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0,－a)，A2（0，a)漸近線y＝±eq\f(b，a)xy＝±eq\f（a，b)x離心率e＝eq\f(c,a）,e∈（1，＋∞),其中c＝eq\r（a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長｜B1B2|＝2b；aa、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c〉a>0，c>b>0）3.拋物線方程及其幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p＞0）y2=－2px(p＞0）x2=2py(p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0,y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準(zhǔn)線方程焦半徑4。名師二級結(jié)論：雙曲線:一條規(guī)律雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2）?雙曲線的兩條漸近線互相垂直（位置關(guān)系)．兩種方法（1)定義法:由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線,由雙曲線定義，確定2a、2b或2c，從而求出a2、b(2）待定系數(shù)法：先確定焦點是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由條件確定a2、b2的值，即“先定型，再定量”;如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ（λ≠0），再根據(jù)條件求λ的值．三個防范（1)區(qū)分雙曲線中的a，b,c大小關(guān)系與橢圓a，b,c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.(2)雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈（0，1)．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，對a、b的要求只是a＞0,b＞0易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b的要求相同．若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈(1，eq\r（2))；若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝eq\r(2);若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e＞eq\r(2）。(3）雙曲線eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程是y＝±eq\f（b,a)x，eq\f（y2,a2)－eq\f(x2,b2）＝1（a＞0,b＞0)的漸近線方程是y＝±eq\f(a,b）x.拋物線：一個結(jié)論焦半徑：拋物線y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(p，2），0)）的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2).兩種方法（1）定義法：根據(jù)條件確定動點滿足的幾何特征，從而確定p的值，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2)待定系數(shù)法:根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再確定參數(shù)p的值，這里要注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式．從簡單化角度出發(fā)，焦點在x軸的，設(shè)為y2＝ax（a≠0)，焦點在y軸的,設(shè)為x2＝by（b≠0)．5。考點交匯展示：（1）與導(dǎo)函數(shù)及其應(yīng)用交匯在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線（＞0)交與M,N兩點，（Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ)y軸上是否存在點P,使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【答案】(Ⅰ）或（Ⅱ）存在【解析】（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.∵,故在=處的到數(shù)值為,C在處的切線方程為，即.故在=-處的到數(shù)值為-,C在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或?！?分(2）與解三角形交匯【2018屆湖南省株洲市醴陵第二中學(xué)、醴陵第四中學(xué)高三上學(xué)期期中聯(lián)考】已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0），點F為E的左焦點，點P為E上位于第一象限內(nèi)的點，P關(guān)于原點的對稱點為Q，且滿足|PF|=3|FQ｜,若｜OP｜=b，則E的離心率為（)A.B.C。2D?！敬鸢浮緽【解析】由題意可知：雙曲線的右焦點,由關(guān)于原點的對稱點為則四邊形為平行四邊形則由，根據(jù)雙曲線的定義在中，則，整理得則雙曲線的離心率（3)與平面向量交匯【2017屆浙江省溫州市高三8月模擬】過拋物線的焦點的直線分別交拋物線于兩點,交直線于點，若,則______________．【答案】0【考點分類】熱點一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1?！?017天津，文5】已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點)，則雙曲線的方程為（A）（B）(C）(D）【答案】【解析】試題分析：由題意結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得：，解得：，雙曲線方程為:，本題選擇D選項.2.【2017課標(biāo)II，文5】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A。B.C.D?！敬鸢浮緾【解析】由題意，因為,所以，則，故選C?！痉椒偨Y(jié)】1．雙曲線方程的求法（1)若不能明確焦點在哪條坐標(biāo)軸上，設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn〈0）（2)與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為．（3)若已知漸近線方程為mx＋ny＝0,則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）.2．已知雙曲線的離心率e求漸近線方程注意應(yīng)用,并判斷焦點的位置．3．已知漸近線方程y＝mx,求離心率時若焦點不確定時，m＝(m>0)或m＝,故離心率有兩種可能.熱點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1?！?016高考新課標(biāo)1卷】以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點。已知｜AB｜=，｜DE｜=，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）（A)2(B)4（C)6(D)8【答案】B2.【2017課標(biāo)II，文12】過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸上方），為的準(zhǔn)線，點在上且，則到直線的距離為()A。B.C.D.【答案】C【方法總結(jié)】1.拋物線的定義實質(zhì)上是一種轉(zhuǎn)化思想即2．拋物線上點到焦點距離轉(zhuǎn)化到點到準(zhǔn)線距離．3．拋物線上點到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化到點到焦點距離起到化繁為簡的作用．注意定義在解題中的應(yīng)用。研究拋物線的幾何性質(zhì)時，一是注意定義轉(zhuǎn)化應(yīng)用；二是要結(jié)合圖形分析，同時注意平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用?！緹狳c預(yù)測】1?！?016高考新課標(biāo)1卷】已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是()(A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】表示雙曲線,則∴，由雙曲線性質(zhì)知：,其中是半焦距∴焦距,解得,∴,故選A．2?！?016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1：+y2=1(m〉1）與雙曲線C2：–y2=1（n>0）的焦點重合,e1,e2分別為C1，C2的離心率，則(）A．m>n且e1e2>1B．m〉n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1【答案】A【解析】由題意知,即，，代入,得．故選A．3?！?018屆陜西省榆林市第二中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知雙曲線的兩個焦點分別為，，點是雙曲線上一點,且,則該雙曲線的漸近線方程為(）A.B.C.D.【答案】C4。【2018屆廣東省陽春市第一中學(xué)高三上第二次月考】若圓關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率為（）A.B.C。D?！敬鸢浮緾【解析】圓的半徑為：，滿足題意時,直線過圓心，即，雙曲線的離心率為：。本題選擇C選項。5。若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且,則等于（）A．11B．9C．5D．3【答案】B【解析】由雙曲線定義得,即，解得，故選B．6.過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點,則（）(A)(B)（C）6（D）【答案】D【解析】雙曲線的右焦點為，過F與x軸垂直的直線為，漸近線方程為，將代入得:.選D.7.已知雙曲線：的離心率，且其右焦點，則雙曲線的方程為（）A．B。C。D。【答案】．【解析】因為所求雙曲線的右焦點為且離心率為，所以，，所以所求雙曲線方程為，故選．8.【2018屆湖北省部分重點中學(xué)高三起點】拋物線的焦點為,過焦點傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點兩點，若，則拋物線的方程為(）A。B。C.D.【答案】C【解析】設(shè)直線方程為，代入拋物線可得，記，則由拋物線的定義可得，則拋物線方程為，應(yīng)選答案C。9?！?017屆湖北黃岡中學(xué)高三上學(xué)期周末測試】已知是雙曲線的左焦點,是雙曲線的右頂點,過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是銳角三角形,則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題中為等腰三角形，可知只需即可，也就是，即,由，轉(zhuǎn)化可得．故本題答案選A。10。【2017屆河南百校聯(lián)盟高三9月質(zhì)監(jiān)乙卷】已知雙曲線的右焦點和的連線與的一條漸近線相交于點，且，則雙曲線的離心率為（）A．3B．C．4D．2【答案】D【解析】由題意得,所以，選D．11。【2016高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______．【答案】【解析】12.【2017屆山東省實驗中學(xué)高三第一次診斷】過雙曲線（，）的右焦點作漸進(jìn)線的垂線，設(shè)垂足為（為第一象限的點），延長交拋物線(）于點,其中該雙曲線與拋物線有一個共同的焦點，若，則雙曲線的離心率的平方為．【答案】【解析】試題分析：為的中點，所以,因此解得12?！?017浙江，21】如圖，已知拋物線,點A,,拋物線上的點．過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；(Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ)；(Ⅱ）【解析】試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線AP的斜率為k，則，∵，∴直線AP斜率的取值范圍是．（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標(biāo)是，因為｜PA｜==｜PQ|=,所以｜PA||PQ|=令,因為,所以f(k）在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時，取得最大值．13.【2017課標(biāo)3,文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點,點C的坐標(biāo)為。當(dāng)m變化時,解答下列問題:(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；（2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.【答案】（1）不會；（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）設(shè)，由AC⊥BC得；由韋達(dá)定理得，矛盾,所以不存在（2)可設(shè)圓方程為，因為過,所以，令得,即弦長為3.令得，所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為，所以所以過A，B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值解法2：設(shè)過A,B,C三點的圓與y軸的另一個交點為D，由可知原點O在圓內(nèi),由相交弦