河南省新鄉(xiāng)市小店鎮(zhèn)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)y=x2cosx的導(dǎo)數(shù)為

（

）A．y′

=2xcosx－x2sinx B．y′

=2xcosx+x2sinx C．y′

=x2cosx－2xsinx D．y′

=xcosx－x2sinx參考答案：A略2.已知命題p：?x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．?x＞0，x3≤0 B．C．?x＜0，x3≤0 D．參考答案：D【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)果即可．【解答】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題p：?x＞0，x3＞0，那么￢p是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3.在100件產(chǎn)品中有6件次品,現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品,至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是（

）.

.CC

.C－C

.A－A參考答案：C4.點(diǎn)（3，1）和點(diǎn)（﹣4，6）在直線3x﹣2y+a=0兩側(cè)，則a的范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣7或a＞24 B．﹣7＜a＜24 C．a(chǎn)=﹣7或a=24 D．﹣24＜a＜7參考答案：B【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【分析】由已知點(diǎn)（3，1）和點(diǎn)（﹣4，6）分布在直線3x﹣2y+a=0的兩側(cè)，我們將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程所得符號(hào)相反，則我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：若（3，1）和點(diǎn)（﹣4，6）分布在直線3x﹣2y+a=0的兩側(cè)則[3×3﹣2×1+a]×[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0即（a+7）（a﹣24）＜0解得﹣7＜a＜24．故選B．5.如圖是2007年在廣州舉行的全國少數(shù)民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上，七位評(píng)委為某民族舞蹈打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(

)A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4參考答案：C【考點(diǎn)】莖葉圖；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【專題】壓軸題；圖表型．【分析】根據(jù)所給的莖葉圖，看出七個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)處理方法，去掉一個(gè)最高分93和一個(gè)最低分79后，把剩下的五個(gè)數(shù)字求出平均數(shù)和方差．【解答】解：由莖葉圖知，去掉一個(gè)最高分93和一個(gè)最低分79后，所剩數(shù)據(jù)84，84，86，84，87的平均數(shù)為；方差為．故選C．【點(diǎn)評(píng)】莖葉圖、平均數(shù)和方差屬于統(tǒng)計(jì)部分的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考的新增內(nèi)容，考生應(yīng)引起足夠的重視，確保穩(wěn)拿這部分的分?jǐn)?shù)．6.,已知,則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A7.△ABC中，已知∠A=1200，且，則sinC為A.

B.

C.

D.參考答案：A略8.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.已知兩點(diǎn)A（﹣3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|﹣|MB|=4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；直線與圓．【分析】利用雙曲線定義求解．【解答】解：∵兩點(diǎn)A（﹣3，0），B（3，0），∴|AB|=6，∵動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|﹣|MB|=4＜|AB|=6，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線定義的合理運(yùn)用．10.(

)A. B.2 C. D.參考答案：A【分析】將定積分分為前后兩部分,前面部分奇函數(shù)積分為0,后面部分轉(zhuǎn)換為半圓,相加得到答案.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了定積分計(jì)算的兩個(gè)方法,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)A（﹣1.0），B（1，0），若圓（x﹣2）2+y2=r2上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為

．參考答案：（1，3）【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】由題意可得兩圓相交，而以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1，圓心距為2，由兩圓相交的性質(zhì)可得|r﹣1|＜2＜|r+1|，由此求得r的范圍．【解答】解：根據(jù)直徑對(duì)的圓周角為90°，結(jié)合題意可得以AB為直徑的圓和圓（x﹣2）2+y2=r2有交點(diǎn)，檢驗(yàn)兩圓相切時(shí)不滿足條件，故兩圓相交．而以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1，圓心距為2，故|r﹣1|＜2＜|r+1|，求得1＜r＜3，故答案為：（1，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，兩圓相交的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．12.設(shè)函數(shù)，若對(duì)所有都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

參考答案：(－∞,2]令函數(shù)，，，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，由F(0)=0,即恒成立，符合。當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以=0有唯一根，設(shè)為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，而。所以，不符。所以。

13.已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，若函數(shù)存在最小值的充要條件是。（1）集合A=

；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，則

。參考答案：[-1,1],。14.球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=1，則該球的表面積是

.參考答案：3π15.橢圓的焦點(diǎn)分別是F1和F2，過原點(diǎn)O作直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).若的面積是20，則直線AB的方程是_______________________.參考答案：略16.若的最大值是

.參考答案：6略17.已知是上的均勻隨機(jī)數(shù),,則是區(qū)間________上的均勻隨機(jī)數(shù).參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x）（1）求f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性并加以說明；（3）求使f（x）＞0的x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】（1）由對(duì)數(shù)式有意義可得1+x＞0且1﹣x＞0，解不等式可得定義域；（2）由奇偶性的定義可得函數(shù)為奇函數(shù)；（3）f（x）＞0可化為1+x＞1﹣x＞0，即可求使f（x）＞0的x的取值范圍．【解答】解：（1）由對(duì)數(shù)式有意義可得1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1），（2）∵f（﹣x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）=﹣f（x），∴結(jié)合定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得f（x）為奇函數(shù)；（3）f（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x）＞0可得1+x＞1﹣x＞0，∴0＜x＜1．19.已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0），且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）﹣c．?dāng)?shù)列{bn}（bn＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn﹣Sn﹣1=+（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{}前n項(xiàng)和為Tn，問Tn＞的最小正整數(shù)n是多少？參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)（1，）在f（x）=ax上求出a的值，從而確定函數(shù)f（x）的解析式，再由等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）﹣c求出數(shù)列{an}的公比和首項(xiàng)，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；由數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn﹣Sn﹣1=可得到數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，再由bn=Sn﹣Sn﹣1可確定{bn}的通項(xiàng)公式．（2）先表示出Tn再利用裂項(xiàng)法求得的表達(dá)式Tn，根據(jù)Tn＞求得n．【解答】解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）﹣c=c，∴a1=f（1）=﹣c，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=﹣數(shù)列{an}是等比數(shù)列，應(yīng)有=q，解得c=1，q=．∴首項(xiàng)a1=f（1）=﹣c=∴等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為=．∵Sn﹣Sn﹣1==（n≥2）又bn＞0，＞0，∴=1；∴數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴=1+（n﹣1）×1=n

∴Sn=n2當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1又n=1時(shí)也適合上式，∴{bn}的通項(xiàng)公式bn=2n﹣1．（2）==∴==由，得，，故滿足的最小正整數(shù)為112．20.已知橢圓（）上的點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)的距離之和為，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在同時(shí)滿足①②兩個(gè)條件的直線l①過點(diǎn)；②存在橢圓上與右焦點(diǎn)F2共線的兩點(diǎn)A、B，且A、B關(guān)于直線l對(duì)稱．參考答案：（Ⅰ），∴，∵，∴，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．……………………4分（Ⅱ）假設(shè)存在符合條件的直線，①當(dāng)直線與軸重合時(shí),兩點(diǎn)A、B可位于長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn),符合條件．此時(shí)的方程為；

…………………5分②當(dāng)直線與軸平行時(shí),不符合條件；……………6分③當(dāng)直線既不與軸平行,又不與軸重合時(shí)，由，可設(shè)直線AB的方程為，，，則直線的方程為，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，化簡(jiǎn)得：，∴，，，∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為G．結(jié)合題意知點(diǎn)在直線上,所以，整理得：，解得或，此時(shí)直線的方程為或．……13分綜上所述,存在符合條件的直線，方程分別為,或…14分21.已知向量＝(sinx,-cosx)，＝(cosx,cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝×＋．(1)寫出函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若x?[,]，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值；參考答案：解：由已知得f(x)＝×＋＝＋

……2分＝sin2x－＋＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．

……6分

(1)f(x)的最小正周期為T＝＝p．

……8分

(2)∵≤x≤，∴≤2x－≤．∴≤sin(2x－)≤1．

……10分

∴f(x)的最大值為1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取得最大值．

……12分

22.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）若，求△ABC面積的最大值.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)邊角