202L2022學年云南省玉溪市高二(下)期末數學試卷

1.已知集合”={吊1<%<2},N={x\x<3},則MPIN=()

A.{x\x<2}B.{x\x<3}C.[x\l<x<2}D.{x[l<x<3}

2.已知復數z滿足z-i=l+3i,在復平面內，z對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若sina=則cos2a=()

A.-B.--C.--D.-

25252525

4.(1—2x)5的展開式中/的系數是()

A.10B.-10C.40D.-40

5.已知直線/經過點P(l,3),且/與圓％2+y2=i0相切，則/的方程為()

A.%+3y—10=0B.x—3y+8=0

C.3x+y-6=0D.2x+3y—11=0

6.記當為等比數列{斯}的前〃項和.若52=4,$4=6,則58=()

A.-B.-C.-D.-

2222

7.直線x——1=0與拋物線必=4x交于A,8兩點，則=()

A.4V3B.8C.8^3D.16

8.已知函數/'(x)=/一alnx有兩個零點，則a的取值范圍是()

A.(0,點)B.6,+8)C.(0,2e)D.(2e,+8)

9.已知正方體4BCD—4B1GD1的棱長為1,則()

A.m1BDB.DBi1平面2皿

C.三棱錐D-ABD1的體積為；D.點名到直線CD1的距離為《

62

10.已知a>0,b>0,且a+b=2,則()

A.a2+b2>2B.2a-b>-

4

C.log2a+log2b<0D.Va4-<2

11.已知函數/(x)=sin(2x+$,則()

AJ(x-為是偶函數B./Q)在區(qū)間［-磬，勺單調遞增

12126

C.f(x)的圖像關于點(一泉0)對稱D.f(x)的圖像關于直線X=3對稱

12.已知4(0,2),8(-2,0),C(4,0),AP=AAB+nAC,則下列結論正確的是()

A.若P是△”(7的重心，則4=1B.若P是△ABC的內心，則4=手

C.若P是△ABC的垂心，則4=2D.若P是的外心，則4=三

〃〃4

13.已知某地市場上供應的燈泡中，甲廠產品占60%,乙廠產品占40%,甲廠產品的合

格率是95%,乙廠產品的合格率是90%,則從該地市場上買到一個合格燈泡的概率

是.

14.安排4名同學去聽3個課外知識講座，每個講座至少有一名同學參加，每人只能參

加一個講座，則不同的安排方案共有種.

15.已知長方體4BCC-的所有頂點在同一個球面上，若AC=V3,ABr=V5,

4劣=遍，則該球的表面積等于.

16.已知產是雙曲線C：捻一5=1(￡1>0/>0)的一個焦點，O為坐標原點，M是雙

曲線C上一點，若AMOF是等邊三角形，則雙曲線C的離心率等于.

17.已知數列｛。工滿足％=；，^+1=

33-an

(1)證明｛合｝是等差數列；

a

(2)若勾=的。2a3…n<求數列｛bn｝的前〃項和.

18.某地農戶種植一種經濟作物，這種經濟作物的成品分為三個等級，由一家公司全部

按定價收購，為了解當地農戶今年種植這種經濟作物的情況，從去年的種植戶中隨

機抽取了5戶，得到這5戶的種植面積(單位：畝)、三個等級成品總產量(單位：kg)

和公司收購價(單位：元/kg)情況如下表所示：把樣本的頻率視為概率.

種植面積(

44566收購價

畝)

一級17017621024026446

二級24026433037038641

三級40044052063066038

(1)試估計，在當地種植該經濟作物，收獲成品的平均畝產量和成品等級為一級的

概率；

(2)公司規(guī)定，農戶上交成品前，應按等級標準先分為三級，再分別按照每公斤一

捆進行捆綁現(xiàn)從公司收購來的大量成品中隨機抽出10捆，設這10捆成品的收購價

值為匕試求丫的數學期望E(Y).

19.在平面內，四邊形ABC。的內角8與?；パa，BC=y[2,連結AC,Z.BAC=45°,

Z.DAC=60°

(1)求DC-,

(2)若△4DC的面積為與，求四邊形4BCD的周長.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCO是矩形，E,尸分別是尸C,AB的中點.

(1)證明：EF〃平面PAD；

(2)若4PAD是邊長為2的等邊三角形，AB=V2,平面24。_L平面ABCD,求直線

PO與平面OE尸所成角的正弦值.

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E

21.已知點4(一1,0),圓8：(x—1/+y2=8,點p是圓8上的動點，PA的垂直平分

線與PB交于點Q，記。的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設經過點E(0,3)的直線/與C交于M,N兩點，求證：兩?而為定值，并求

出該定值.

22.已知函數/(x)=e2x—(2a+l)e*-(a+l)x,a￡R.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若對任意/(x)>0,求“的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：?.,集合M=(x[l<x<2},N={x\x<3),

:.MflN=M={x|l<x<2},

故選：C.

直接求交集運算即可得解.

本題考查集合基本運算，屬基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：由z,i=1+33得2=主2=4|二==3—i,

ii2-i

所以z對應的點為(3,-1),位于第四象限.

故選：D.

根據復數的幾何意義與四則運算法則計算.

本題主要考查了復數的運算，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解："sina=i,

cos2a=1—2sin2a=1—2x—=—,

2525

故選4

直接代入二倍角公式cos2a=1-2sin2a即可得到答案.

本題主要考查二倍角的余弦公式的應用.二倍角的余弦公式：cos2a=cos2a-sin2a=

2cos2a-1=1—2sin2a.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于容易

題.

在(1-2x)5的展開式通項公式中，令X的指數為2,求出/?的值，即可得到展開式中的

系數.

【解答】

解：(1-2x)5的展開式通項公式為C!(一2x)1

令r=2可得展開式中尤2的系數是程(-2)2=40,

故選：C.

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5.【答案】A

【解析】解：???直線/經過點P(l,3),且/與圓/+必=10相切，

,.?(4,I_--T1~_--字1燈_---1>

K°P育3

???直線/的方程為y-3=-1(x-l),

即x+3y-10=0.

故選：A.

直線/經過點P(l,3),且/與圓/+y2=If)相切可知的=--L,再使用點斜式即可.

kop

本題考查直線與圓相切，圓的性質，直線的點斜式方程的應用，屬基礎題.

6.【答案】A

【解析】解:???Sn為等比數列｛斯｝的前n項和，

根據等比數列的性質可知S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成新的等比數列，

又$2=4,$4=6,???54-52=6-4=2,.?.新公比為3

$6-S4=1,Sg-56=5,

故選：A.

根據等比數列的性質即可求解.

本題考查等比數列的性質，屬基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：?.?拋物線方程為y2=4%，.??其焦點F(l,0),準線/方程為x=-1,

二直線x-V3y-1=0過點F,

聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：%2-14x+1=0,

設4(%,%),3(%2，、2)，

則+x2=14,

根據拋物線的定義可得焦點弦AB的長度為：

pp

|48|=(2+%i)+(2+盯)=P++必=2+14=16.

故選：D.

先聯(lián)立直線方程與拋物線方程得x的一元二次方程，再根據拋物線的定義得焦點弦的弦

長公式，最后結合根與系數的關系即可求解.

本題考查拋物線的焦點弦問題，設而不求法，屬基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：?.?函數f(x)=x2-alnx有兩個零點,

??.f(%)=x2—a\nx=0有2個不等實根,

即工=”有2個不等實根，

y=｝與y=g(x)=臀有兩個交點，

l-21nx

又g'(x)=,(x>0),

???當％E(0,正)時，g'(%)>0；當X6(注,+oo)時，g'(x)<0,

???g(x)在(0,迎)上單調遞增，在(VF,+8)上單調遞減，

???g(%)的最大值為g(病=!

又g(l)=0,且％->0時，9。)一—8；%->+8時，。(無)->。

???作出g(x)的圖象如下：

數形結合可得y=；與y=9(%)=詈有兩個交點時;。滿足的條件為:

0<—<—Q>2e,

a2e

a的取值范圍是(2e,+8).

故選：D.

先將函數的零點個數轉化為方程的根的個數，再轉化成兩圖形交點個數，接著利用導數

研究函數的單調性與最值，最后再數形結合即可得解.

本題考查函數的零點與方程的根，利用導數研究函數的單調性與最值，數形結合思想，

屬中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：對于A,連接DG，由于40J/BG，因此AD1與8。所成角的大小等于BG

與8。所成角的大小，

在ABDCi中，易知其三邊都相等，故BC1與8。所成的角為60。，從而AD1與8。所成角

的大小為60°,故4不正確；

對于B,連接BC,

因為正方體ABC。-41B1GD1中，AC1BD,AC1DDr,BDC\DD1=D,所以4C_1_平

面8。?；厮訡BilAC,

同理可得DBi_L2Di，y.ACHADi=A,所以1平面ACD1，故8正確；

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對于c，%-ABDi=KPI-ABO=mX3X1X1X1=&,故C正確；

對于。，易知ABiDiC是邊長為魚的等邊三角形，點當到直線CD1的距離為6,

由等面積法有應x&x4=：x&x/i,解得八=當故。不正確；

故選：BC.

根據異面直線的定義，線面垂直的判定定理，幾何體的體積求解方法依次討論各選項即

可得答案.

本題考查了立體幾何的綜合問題，屬于中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于A,a>0,b>0,且a+b=2,:，住衛(wèi)2呼=1,即a?+b2>2,

yj22

當且僅當a=b時，等號成立，A正確；

同理對于。，"皿W普=1,即迎+代W2,

當且僅當a=b時，等號成立，￡)正確；

對于B,利用分析法：要證2。口>；,只需證：a—b>—2,

即證a>b-2,<a>0,b>0,且a+b=2,Ia>0,b—2<0,B正確;

2

對于C,log2a+log2b=log2(a/?)<log2(^)=log2l=0,

當且僅當a=b時，等號成立，C錯誤；

故選：ABD.

對于A、?？梢罁C式兩端的式子結構，合理選擇基本不等式及其變形式子進行推理

判斷；對于B,利用分析法來判斷；對于C,觀察式子結構特征，利用對數運算法則，

將真數化為積的形式，利用基本不等式得出命題的真假.

本題考查基本不等式的應用，綜合法與分析法的應用，屬中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解:對于A：/'(x-瑞)=sin［2(x-詈)+§=-cos2x.

因為y=cosx為偶函數，所以y=-cos2x為偶函數.故A正確；

對于B：當,幣時，2%+江［—(爭?

因為y=sinx在［一？§上遞增，在歲等上單減，

所以f(x)在區(qū)間［—瑞鎮(zhèn)不單調.故8錯誤：

對于C：因為/(一鄉(xiāng)=sin(—三+9=0,

633

所以的圖像關于點(-￡,0)對稱.故C正確；

對于。：因為/邑)=sin(B+g)=1,

所以/。)的圖像關于直線x=V對稱.故。正確；

故選：ACD.

對于A：先化簡/'(x-1^)=-cos2x,再借助于y=cosx為偶函數進行判斷；對于B：

利用復合函數的單調性法則直接判斷；對于C、D：利用代入法進行判斷.

本題考查三角函數的性質，屬基礎題.

12.【答案】ACD

【解析】解：設而=t而，"AP=XAB+fiAC,.-.AD=^AB+^AC,■■D,B,C=

點共線，則入+4=3

過。作。E,分別平行于AC,AB,則同=荏+希，.?.荏=:屈,AF=^AC,

由平行線分線段成比例得M=北=喘=：,同理*=器=察=§,.?，CD

CBABABtBCACACt〃DB

4,若P是△ABC的重心，則。為BC的中點，所以4=1,二4正確，

B,???4(0,2),B(-2,0),C(4,0),???AC=2而，AB=2^2,

若P是△ABC的內心，則直線AP平分NB4C,.??9=堂=續(xù)=孚，

BDAB2V22

即4=邈，B錯誤,

“2

C,??,4(0,2),5(-2,0),C(4,0),若P是AHBC的垂心，則P在y軸上，

設P(0,m),則存=(0,m-2),???南=(-2,—2),前=(4,-2),

又而=2荏+〃??？，―22+4〃=0,；=^=2,C正確，

D,若P是△ABC的外心，???服B=懸=1，二線段AB的中垂線的斜率為-1,且A8的

中點為

???線段A8的中垂線為y-l=-(x+l),即y=-x,又線段BC的中垂線為％=1,

-X

聯(lián)立得｛:yyZ-f則P(L—1)，二都=(1，-3)，

.X=1

由于南=(-2,—2),AC=(4,-2),AP=AAB-}-fiAC,

???戰(zhàn)彗二、解得"g則那一正確，

第8頁，共14頁

故選：ACD.

根據三角形各心的性質求出對應的九〃的值或比值，即可得到答案.

本題考查了平面向量基本定理，平面向量的坐標運算，考查九〃和3的幾何性質，三角

形內心、外心、重心、垂心的性質，屬于中檔題.

13.【答案】93%

【解析】/解：從某地市場上購買一個燈泡，設買到的燈泡是甲廠產品為事件A,買到

的燈泡是乙廠產品為事件B,

則由題可知P(A)=60%,P(B)=40%,

從甲廠產品中購買一個，設買到的產品是合格品為事件C,

從乙廠產品中購買一個，設買到的產品是合格品為事件。，

則由題可知P(C)=95%,P(D)=90%,

由題可知4、B、C、?；ハ嗒毩?，

故從該地市場上買到一個合格燈泡的概率為：

P(AQ+P(BD)=PQ4)P(C)+P(B)P(D)=60%X95%+40%x90%=0.93.

故答案為：0.93.

根據獨立事件和互斥事件概率計算方法計算即可.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎題.

14.【答案】36

【解析】解：先按2,1,1的方式分三組，再將三組分配到三個知識講座，

則不同的安排方案共有：以?a=36種.

故答案為：36.

先按2,1,1的方式分三組，再將三組分配到三個知識講座即可求解.

本題考查分組分配問題，平均分組問題，屬基礎題.

15.【答案】77r

【解析】解：長方體中設4B=a,AD=b,AAr=c,AC=V5可得a?+爐=3,

2222

ABV=遍可得a?+c=5,ADX=乃可得爐+c=6,三式相加可得a?+b+c=7,

長方體的體對角線是外接球的直徑，可得J4B2++4用=7a2+b2+c2=V7,

所以半徑為當，球的表面積為47r《=7m

24

故答案為：77r.

長方體的體對角線是外接球的直徑，由此可求得球半徑和表面積.

本題考查了長方體外接球表面積的計算，屬于中檔題.

16.【答案】1+舊

【解析】解：設F(c,O),由AMOF是邊長為c的等邊三角形，

可設M為雙曲線第一象限上的點，

可得也色,*),

代入雙曲線的方程可得另一槳=1,

4az4bz

由e=￡及爐=c2—a2,

a

可得/--y—=4,

即為/一8,+4=0,

解得?2=4+273(4-2舊舍去)，

可得e=14-V3.

故答案為：1+V3.

設F(c,O),由AM。尸是邊長為c,的等邊三角形，可設M為雙曲線第一象限上的點，可

得M^c,'c),代入雙曲線的方程，由離心率公式和a,b,c的關系，解方程即可得到

所求值.

本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用方程思想，考查運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)證明：:廝+1=衿，

11_11

每+1-1。九-1%+1_Qn—1

3—Qn

3-cin1_3—un—2_1

2(an-l)Qn-12(an-l)2'

又」7=壯-=一|，

ai-1--12

??.{&}是以—'為首項，一:為公差的等差數歹lj;

(2)由(1)知七=-|+(n-l)x(一｝=一等,

n

???斯

n+2

12n-2n—1n

???b=Q1Q2a3XX…X(—)x(----)x(-----)

n…。九=§1)%+%+2)

(“+；(〃+2)=2島-亳)，

二數列｛九｝的前n項和7n=2[(1-1)+(|~^)+".+(?一+)]

“(2n+2)n+2

【解析】(1)根據等差數列的定義即可證明；

(2)先由(1)求出an,從而得幻，再利用裂項求和法即可求解.

本題考查等差數列的定義，裂項求和法，屬中檔題.

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18.【答案】解：(1)由表可得，在當地種植該經濟作物，收獲成品的平均畝產量為:

1

—(170+240+400+176+264+440+210+330+520+240+370+630+264

+386+660)=212.

25畝的總產量為5300,一級總產量為170+176+210+240+264=1060.

則產品等級為一級的概率P=鬻=0.2；

(2)由(1)知，產品等級為一級的概率為0.2,

由表可得，產品等級為二級的概率為24°+264+S黑370+386=03,

則產品等級為三級的概率為1一0.2-0.3=0.5.

???10捆成品的收購價值y的期望E(y)=10x(46x0.2+41X0.3+38x0.5)=405(

元).

【解析】(1)直接由圖表求出平均畝產量，由一等品的產量除以總產量可得成品等級為

一級的概率；

(2)分別求出產品等級為一、二、三級的概率，可得一捆價值的期望，乘以10得答案.

本題考查離散型隨機變量的期望的求法，正確理解題意是關鍵，是中檔題.

19.【答案】解：(1)如圖所示:

由內角8與。互補，可得：sinB=sin。,

8c_4C

在4ABC中由正弦定理得:

s\nz.BACsinz.F

在AM中由正弦定理得：缶4c

sinz.D

七frBC_DCgp\[2_DC

11s\nz.BACs\nz.DACf'返叵,

22

解得：DC=6,

(2)在△AC。中，S=^AD-AC-smz.DAC=^-,^AD-AC=2,

由余弦定理得：CD2=AC2+AD2-2AC-AD-cos^DAC,

即AC?+力。2=5,

解得：AC=2,AD=1,或4c=1,AD=2,

_AC

當4c=2,AD=1時,BCEPsinZ.B=sinzD=1,

sin乙84csinzB，

則48=爭此時四邊形ABC。的周長為：A/2+^+I,

當"=1,力D=2時，缶=焉,即sinNB=2,

不滿足條件，

故四邊形ABC。的周長為：V2+y+1

【解析】（1）由正弦定理，結合四邊形A8C。的內角8與?；パa，BC=V2,連結AC,

^BAC=45",ADAC=60°,可得OC；

⑵由△4DC的面積為手，結合余弦定理可得4c=2,AD=1,進而得到四邊形ABC。

的周長.

本題考查的知識點是正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，難度中檔.

20.【答案】解：（1）證明：如圖，取尸。的中點G,公、

連接GE,AG,/

又E是PC的中點.??.GE〃DC,且GE=：DC,//

又底面ABCD是矩形，尸是A8的中點.二4F〃DC,

且4尸=^DC,AF

GE//AF,且GE=4F,.?.四邊形AFEG為平行四邊形，

EF//GA,又EFC平面PAO,GZu平面PAO,

EF〃平面PAD-,

（2）???平面PAD1平面ABCD,平面PADCI平面ABCD=AD,

又底面48CO是矩形，??.DC14D,

???DCJ_平面PAD,AGu平面PAD,

?.AG1DC,又G為PO的中點，△PAD是邊長為2的等邊三角形，

.-.AG1PD,又DCCPD=D,

：.AGPDC,又由（1）知EF〃G2,

EF1平面PDC,又EFu平面DEF,

二平面DEF1平面PDC,又平面DEFfl平面PDC=DE,

二直線PD在平面DEF內的射影為DE,

NPDE即為直線PD與平面OEF所成的角，

又由DC1平面PA?？傻肈C1P。，又E為PC的中點，

DE=PE,：.乙PDE="PC,

在RtACPC中，PD=2,DC=AB=\[2,：.PC=V4T2=V6,

.‘no廠DC4243

.-.sm^DPC=-=^==-,

：.sin/PDE=—,

3

故直線PD與平面DEF所成角的正弦值為日.

【解析】（1）取的中點G,連接GE,AG,證明EF〃G4即可證明EF〃平面月4。；

（2）先證明EF_L平面尸DC,從而得平面DEF1平面P￡>C,從而再得NPDE即為直線P￡>

與平面￡>E尸所成的角，最后再解三角形即可得解.

第12頁，共14頁

本題考查線面平行的判定定理，線面垂直判定定理，面面垂直的判定定理，線面角的定

義，屬中檔題.

21.【答案】解:(1)圓B的圓心為B(1,O),半徑|BP|=2或，

由點。在P4的垂直平分線上，得|QP|=|Q4|，

所以|QA|+|QB|=\QP\+\QB\=\BP\=2立>\AB\=2,

所以。的軌跡是以A,8為焦點的橢圓，2a=2V2,2c=2,

所以a=\[2,c=1,6=1,

所以C的方程為q+y2=i；

(2)證明：①當直線/的斜率不存在時，易知"W?而7=(0,1)-(0,-1)=一1,

②當直線/的斜率存在時，設/：y=kx+^,MQi，%),/V(x2,y2),

則把y=kx+爭弋入§+y2=1得3(2k2+i)%2+4y/3kx—4=0,

顯然/>0,有與+不二一募言?與右二一m最切，

2

y/2=(3+[)(依2+y)=kxrx2+y/c(%i+%2)+1=3蔑；：；),

所以。而.O/V=XX+%丫2=TT2-；++1=-3__1,

X12八九3(2fc2+l)3(2k2+l)3(2k