1.了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖像的影響,掌握y=sinx與y=Asin(ωx+φ)圖像間的變換關(guān)

系,并能正確地指出其變換步驟.7.3.2正弦型函數(shù)的性質(zhì)與圖像2.會用“五點法”畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像.y=Asin(ωx+φ)的部分圖像確定其解析式.4.借助圖像理解正弦型函數(shù)的性質(zhì),會利用其性質(zhì)解決問題.第七章三角函數(shù)(1)一般地,形如①

y=Asin(ωx+φ)

的函數(shù),通常稱為正弦型函數(shù),其中A,ω,φ都

是常數(shù),且A≠0,ω≠0.(2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A≠0,ω≠0,x∈R)的周期T=②

,頻率f=③

,

初相為④

φ

,值域為⑤[-|A|,|A|]

,|A|稱為振幅,|A|的大小反映了曲線y=Asin(ωx

+φ)的波動幅度的大小.1|正弦型函數(shù)第七章三角函數(shù)一般地,當動點M的起點位置Q所對應(yīng)的角為φ時,對應(yīng)的函數(shù)是y=sin(x+φ)(φ≠

0),把正弦曲線上的所有點向⑥左

(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移⑦|φ|

個

單位,就得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖像.2|探索φ(φ≠0)對函數(shù)y=sin(x+φ)的圖像的影響第七章三角函數(shù)一般地,函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0)的周期是⑧

,把y=sin(x+φ)圖像上所有點

的橫坐標⑨縮短

(當ω>1時)或⑩伸長

(當0<ω<1時)到原來的

倍(縱坐標

不變

),就得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖像.3|探索ω(ω>0)對函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖像的影響第七章三角函數(shù)一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0)的圖像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)圖像上所有

點的縱坐標

伸長

(當A>1時)或

縮短

(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到.從而,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的值域是

[-A,A]

,最大值是A,最小值是-A.4|探索A(A>0)對y=Asin(ωx+φ)的圖像的影響第七章三角函數(shù)5|函數(shù)y=sinx的圖像與y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像的關(guān)系

第七章三角函數(shù)(1)定義域:R.(2)值域:[-A,A].當ωx+φ=2kπ+

,k∈Z,即x=

-

+

,k∈Z時,y取最大值A(chǔ);當ωx+φ=2kπ+

,k∈Z,即x=

-

+

,k∈Z時,y取最小值-A.(3)單調(diào)性:當-

+2kπ≤ωx+φ≤2kπ+

,k∈Z時,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)遞增;當

+2kπ≤ωx+φ≤2kπ+

,k∈Z時,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)遞減.(4)奇偶性:當φ=kπ,k∈Z時,為奇函數(shù);當φ=kπ+

,k∈Z時,為偶函數(shù).(5)周期性:最小正周期T=

.(6)對稱性:滿足ωx+φ=kπ+

,k∈Z的直線方程都是圖像的對稱軸方程;滿足ωx+φ=kπ,k∈Z的點的坐標(x,0)都是圖像的對稱中心的坐標.6|函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質(zhì)第七章三角函數(shù)y=sin2x的圖像向左平移

個單位,得到函數(shù)y=sin

的圖像.(

?)得到y(tǒng)=sin2

=sin

2x+

的圖像.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.y=sin

的圖像,可把函數(shù)y=sin(-x)的圖像向左平移

個單位.

(

?)由題意得y=sin

,故要得到y(tǒng)=sin

-x+

的圖像,可把函數(shù)y=sin(-x)的圖像向右平移

個單位.第七章三角函數(shù)y=sinx的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到y(tǒng)=sin2x的圖像.

(

?)應(yīng)得到y(tǒng)=sin

x的圖像.y=sin

的圖像是由函數(shù)y=sinx的圖像向右平移

個單位得到的.(√)由平移的規(guī)律可知其正確.f(x)=

sin

的圖像的對稱中心為

kπ+

,0

(k∈Z).

(

?)對稱中心為

(k∈Z).第七章三角函數(shù)y=sin

的圖像的對稱軸方程是x=

+kπ,k∈Z.

(√)令x+

=

+kπ,k∈Z,解得x=

+kπ,k∈Z,即y=sin

的圖像的對稱軸方程是x=

+kπ,k∈Z.第七章三角函數(shù)1|“五點法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像用“五點法”作函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)圖像的步驟第一步:列表:第二步:在同一平面直角坐標系中描出各點.第三步:用光滑曲線連接這些點,形成圖像.x-

-

-

-

-

ωx+φ0

π

2πf(x)0A0-A0第七章三角函數(shù)(★★☆)已知函數(shù)y=sin

,利用“五點法”作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖.思路點撥:用“五點法”作出函數(shù)的圖像.第七章三角函數(shù)解析先列表,后描點并畫圖.

x-

x+

0

π

2πy010-10第七章三角函數(shù)2|平移與伸縮變換一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的圖像可以看作是用下面的兩種方法得

到的:方法一:y=sinx的圖像

y=sin(x+φ)的圖像

y=sin(ωx+φ)的圖像

y=Asin(ωx+φ)的圖像.方法二:y=sinx的圖像

y=sinωx的圖像

第七章三角函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖像

y=Asin(ωx+φ)的圖像?拔高問題在進行圖像變換時,先平移后伸縮與先伸縮后平移的平移長度是否相同?提示:不相同,在進行圖像變換時,先平移后伸縮與先伸縮后平移是兩種不同的變

換,且這兩種變換中,平移的長度不同,前者平移了|φ|個單位,而后者平移了

個單位.第七章三角函數(shù)1.(★★☆)將函數(shù)y=2sin

的圖像向右平移

個周期后,所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為

()A.y=2sin

B.y=2sin

C.y=2sin

D.y=2sin

思路點撥:先求出函數(shù)y=2sin

的周期,再根據(jù)平移規(guī)律求解.第七章三角函數(shù)答案

D由已知y=2sin

的周期為T=

=π,向右平移

個周期,即向右平移

個單位后,得到圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2sin

=2sin

,故選D.警示圖像的左右平移是針對x而言的,即平移多少是指自變量x的變化,而不是對

ωx+φ而言的.第七章三角函數(shù)2.(★★☆)由函數(shù)ysinx的圖像經(jīng)過怎樣的變換,可以得到函數(shù)y=-2sin

+1的圖像?思路點撥:本題考查三角函數(shù)的圖像變換問題,可以從“先平移變換后伸縮變換”或“先伸

縮變換后平移變換”兩種不同變換順序的角度去考慮,得到答案.第七章三角函數(shù)解析解法一:y=sinx的圖像y=2sinx的圖像

y=-2sinx的圖像y=-2sin2x的圖像y=-2sin

的圖像y=-2sin

+1的圖像.第七章三角函數(shù)解法二:y=sinx的圖像y=sin

的圖像y=sin

的圖像y=-sin

的圖像

y=-2sin

的圖像

第七章三角函數(shù)y=-2sin

+1的圖像.3|求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式若單擺擺動的軌跡滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),函數(shù)圖像如圖所示.第七章三角函數(shù)問題1.由函數(shù)圖像,能求出A、ω的值嗎?提示:能.由函數(shù)圖像的最高點可知,A=

.由題中圖像可知,周期T=2|MN|=π,可得ω=

=2.第七章三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一個解析式嗎?提示:能.由問題1可知,A=

,ω=2,故y=

sin(2x+φ).將M

代入得,

sin

+φ

=0,所以

π+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-

π+2kπ,k∈Z,可以取φ=-

,得y=

sin

2x-

.第七章三角函數(shù)由y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像確定解析式的方法1.逐一定參法:(1)由函數(shù)圖像上的最高點、最低點來確定A.(2)由函數(shù)圖像與x軸的交點確定T,由T=

確定ω.(3)確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值.其方法有兩種:①代入法:把圖像上的一個已知點的坐標代入y=Asin(ωx+φ)(此時A與ω已知)中,求

得φ;②五點對應(yīng)法:確定φ值時,往往以尋找“五點法”中的點

為突破口.第七章三角函數(shù)2.待定系數(shù)法:通過將若干特殊點代入函數(shù)解析式,可以求得相關(guān)待定系數(shù)A,ω,φ.這里需要注意的

是,要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一個點,并能正確代入函數(shù)解析式.3.圖像變換法:運用逆向思維,先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)=Asinωx,再根據(jù)圖像平移規(guī)律確定相關(guān)

的參數(shù).第七章三角函數(shù)1.(★★☆)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

的部分圖像如圖所示,則此函數(shù)的解析式為

()A.y=-4sin

B.y=4sin

D.y=4sin

第七章三角函數(shù)C.y=-4sin

思路點撥:由圖像確定A和T,從而確定ω

取圖像中的點確定φ.第七章三角函數(shù)答案

C由圖像得A=±4,

=8,∴T=16,∵ω>0,∴ω=

=

.①若A>0,則y=4sin

x+φ

,當x=6時,

×6+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-

,k∈Z.又|φ|<

,∴此時不存在滿足條件的φ.②若A<0,則y=-4sin

x+φ

,當x=-2時,

×(-2)+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ+

,k∈Z,又|φ|<

,∴φ=

.綜合①②知該函數(shù)解析式為y=-4sin

x+

.故選C.第七章三角函數(shù)2.(★★☆)如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

的圖像的一部分,求此函數(shù)的解析式.思路點撥:解法一:由圖像確定A和T

取點

確定φ.解法二:由圖像確定A

將點

和

代入函數(shù)解析式列方程組

解方程組.解法三:確定基礎(chǔ)函數(shù)y=3sin2x

由圖像變換得到解析式.

第七章三角函數(shù)解析解法一(逐一定參法):由題中圖像知A=3,T=

-

=π,∴ω=

=2,∴y=3sin(2x+φ).∵點

在函數(shù)圖像上,∴0=3sin

.∴-

×2+φ=2kπ(k∈Z),得φ=

+2kπ(k∈Z).∵|φ|<

,∴φ=

.∴y=3sin

.解法二(待定系數(shù)法):由題中圖像知A=3.∵圖像過點

和

,第七章三角函數(shù)∴

解得

∴y=3sin

.解法三(圖像變換法):由A=3,T=π,點

在圖像上,可知函數(shù)圖像由y=3sin2x的圖像向左平移

個單位而得,所以y=3sin

,即y=3sin

.第七章三角函數(shù)4|三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用y=Asin(ωx+φ)的圖像的對稱軸方程由ωx+φ=kπ+

,k∈Z求得,即x=

,k∈Z;圖像的對稱中心由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即為

,k∈Z.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調(diào)區(qū)間的方法:采用“換元”法整體代換,將ωx+φ看作一個整體,可令“z=ωx+φ”,即通過求y=Asinz的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的ω<0,則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù),再求單調(diào)區(qū)間.講解解題有關(guān)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)的問題,要充分利用正弦曲線的性質(zhì),要特別注

意整體代換思想,強化直觀想象能力.第七章三角函數(shù)1.(★★☆)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0).將f(x)的圖像向左平移

個單位后所得的函數(shù)為偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸方程是

.思路點撥:先確定函數(shù)圖像平移后得到的圖像的函數(shù)解析式,由偶函數(shù)的性質(zhì)確定φ,根據(jù)y=

sinx的圖像的對稱性,利用整體代換思想求解.第七章三角函數(shù)答案

x=

+

,k∈Z解析由題意知,平移后的圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin

,因為此函數(shù)為偶函數(shù),所以y軸為其圖像的對稱軸之一,所以將x=0代入可得

+φ=

+kπ(k