8．2.1兩角和與差的余弦1．cos15°cos75°＋sin15°sin75°＝eq\a\vs4\al(（B）)A．0B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)解析：原式＝cos(75°－15°)＝cos60°＝eq\f(1,2).故選B.2．cos285°等于eq\a\vs4\al(（A）)A.eq\f(\r(6)－\r(2),4)B.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)C.eq\f(\r(2)－\r(6),4)D．－eq\f(\r(2)＋\r(6),4)解析：cos285°＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).故選A.3．在斜△ABC中，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，則角A的值為eq\a\vs4\al(（A）)A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,4)解析：由tanBtanC＝1－eq\r(2)可得sinBsinC＝(1－eq\r(2))cosBcosC，進(jìn)而得cosA＝－eq\r(2)cosCcosB，由于sinA＝－eq\r(2)cosBcosC，所以sinA＝cosA，可得A＝eq\f(π,4).故選A.4．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，則△ABC是eq\a\vs4\al(（D）)A．等邊三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形解析：由題意得cosAcosB－sinAsinBcos(A＋B)＞0，－cosC＞0，cosC＜0.又0＜C＜π，故eq\f(π,2)＜C＜π，△ABC為鈍角三角形．故選D.5．eq\f(\r(2),2)cos15°－eq\f(\r(2),2)sin195°的值為eq\a\vs4\al(（A）)A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(1,2)解析：eq\f(\r(2),2)cos15°－eq\f(\r(2),2)sin195°＝cos45°cos15°－sin45°sin(180°＋15°)＝cos45°cos15°＋sin45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).故選A.6．已知cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈(0，eq\f(π,2))，則cos(θ－eq\f(π,6))＝__eq\f(4＋3\r(3),10)__．解析：∵cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈(0，eq\f(π,2))，∴sinθ＝eq\f(4,5)，∴cos(θ－eq\f(π,6))＝cosθcoseq\f(π,6)＋sinθsineq\f(π,6)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(4＋3\r(3),10).7．化簡(jiǎn)cos80°·cos35°＋cos10°·cos55°＝__eq\f(\r(2),2)__．解析：原式＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).8．已知點(diǎn)P(1，eq\r(2))是角α終邊上的一點(diǎn)，則cos(eq\f(π,6)＋α)的值為__eq\f(3－\r(6),6)__．解析：由題意可得sinα＝eq\f(\r(6),3)，cosα＝eq\f(\r(3),3)，所以cos(eq\f(π,6)＋α)＝coseq\f(π,6)cosα－sineq\f(π,6)·sinα＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(3－\r(6),6).9．已知sinα＝eq\f(15,17)，α∈(eq\f(π,2)，π)，則cos(eq\f(π,3)－α)＝__eq\f(15\r(3)－8,34)__．解析：∵sinα＝eq\f(15,17)，α∈(eq\f(π,2)，π)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－（\f(15,17)）2)＝－eq\f(8,17).∴cos(eq\f(π,3)－α)＝coseq\f(π,3)cosα＋sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(1,2)×(－eq\f(8,17))＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(15,17)＝eq\f(15\r(3)－8,34).10．已知cosα＋cosβ＝eq\f(1,2)，sinα＋sinβ＝eq\f(\r(3),2)，則cos(α－β)＝__－eq\f(1,2)__．解析：∵cosα＋cosβ＝eq\f(1,2)，sinα＋sinβ＝eq\f(\r(3),2)，∴(cosα＋cosβ)2＝eq\f(1,4)，(sinα＋sinβ)2＝eq\f(3,4).兩式相加，得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－eq\f(1,2).11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝eq\f(2\r(5),5)，求cos(α－β)的值．解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，∴|a－b|＝eq\r(（cosα－cosβ）2＋（sinα－sinβ）2)＝eq\r(2－2cos（α－β）)＝eq\f(2\r(5),5)，∴2－2cos(α－β)＝eq\f(4,5)，∴cos(α－β)＝eq\f(3,5).12．已知sinα＝eq\f(2,3)，cosβ＝－eq\f(3,4)，α∈(eq\f(π,2)，π)，β∈(π，eq\f(3π,2))，求cos(α－β)的值．解：由sinα＝eq\f(2,3)，α∈(eq\f(π,2)，π)，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－（\f(2,3)）2)＝－eq\f(\r(5),3).又由cosβ＝－eq\f(3,4)，β∈(π，eq\f(3π,2))，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－（－\f(3,4)）2)＝－eq\f(\r(7),4).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(\r(5),3)×(－eq\f(3,4))＋eq\f(2,3)×(－eq\f(\r(7),4))＝eq\f(3\r(5)－2\r(7),12).1．已知sin(eq\f(π,3)＋α)＝eq\f(3,5)，eq\f(π,6)＜α＜eq\f(2π,3)，則cosα＝eq\a\vs4\al(（D）)A.eq\f(4\r(3)＋3,10)B.eq\f(4\r(3)－3,10)C.eq\f(3\r(3)＋4,10)D.eq\f(3\r(3)－4,10)解析：因?yàn)閑q\f(π,6)＜α＜eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,2)＜α＋eq\f(π,3)＜π，又sin(eq\f(π,3)＋α)＝eq\f(3,5)，sin2(eq\f(π,3)＋α)＋cos2(eq\f(π,3)＋α)＝1，所以cos(eq\f(π,3)＋α)＝－eq\f(4,5)，所以cosα＝cos[(eq\f(π,3)＋α)－eq\f(π,3)]＝cos(eq\f(π,3)＋α)coseq\f(π,3)＋sin(eq\f(π,3)＋α)sineq\f(π,3)＝－eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(－4＋3\r(3),10).故選D.2.eq\f(cos49°－cos19°cos30°,sin19°)＝eq\a\vs4\al(（B）)A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)解析：eq\f(cos49°－cos19°cos30°,sin19°)＝eq\f(cos（19°＋30°）－cos19°cos30°,sin19°)＝eq\f(cos19°cos30°－sin19°sin30°－cos19°cos30°,sin19°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).故選B.3．函數(shù)y＝cosx＋cos(x＋eq\f(π,3))，x∈(0，π)的最小值為eq\a\vs4\al(（A）)A．－eq\r(3)B.eq\f(3,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\r(3)解析：y＝cosx＋eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(1,2)sinx)＝eq\r(3)cos(x＋eq\f(π,6))，∵x∈(0，π)，∴x＋eq\f(π,6)∈(eq\f(π,6)，eq\f(7π,6))，∴ymin＝eq\r(3)×(－1)＝－eq\r(3).故選A.4．已知α，β∈(0，eq\f(π,2))，cosα＝3cos(α＋2β)，則下列選項(xiàng)正確的是eq\a\vs4\al(（B）)A．tan(α＋β)tanβ＝2B．tan(α＋β)tanβ＝eq\f(1,2)C．tan(α＋β)＝2tanβD．tan(α＋β)＝eq\f(1,2)tanβ解析：由α＝(α＋β)－β，α＋2β＝(α＋β)＋β，得cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ，cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝cos(α＋β)·cosβ－sin(α＋β)·sinβ.由cosα＝3cos(α＋2β)，得2cos(α＋β)cosβ＝4sin(α＋β)sinβ，所以eq\f(sin（α＋β）sinβ,cos（α＋β）cosβ)＝eq\f(1,2)，即tan(α＋β)·tanβ＝eq\f(1,2).故選B.5．若cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(5,13)，α，β∈(0，eq\f(π,2))，則cos(α＋eq\f(π,4))的值為eq\a\vs4\al(（C）)A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(56,65)D.eq\f(36,65)解析：∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋β∈(0，π)，β－eq\f(π,4)∈(－eq\f(π,4)，eq\f(π,4))．又∵cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(5,13)，∴sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(4,5)，cos(β－eq\f(π,4))＝eq\r(1－sin2（β－\f(π,4)）)＝eq\f(12,13)，∴cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)cos(β－eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).故選C.6．設(shè)A，B，C∈(0，eq\f(π,2))，且cosA＋cosB＝cosC，sinA－sinB＝sinC，則C－A＝eq\a\vs4\al(（B）)A．－eq\f(π,6)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,3)或－eq\f(π,3)解析：因?yàn)閏osA＋cosB＝cosC，故cosB＝cosC－cosA，cos2C－2cosCcosA＋cos2A＝cos2B，同理sin2C－2sinCsinA＋sin2A＝sin2B，所以1－2(cosAcosC＋sinAsinC)＝0，即cos(C－A)＝eq\f(1,2).因?yàn)镃，A∈(0，eq\f(π,2))，故C－A∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，C－A＝±eq\f(π,3)，根據(jù)sinA＝sinB＋sinC得到sinA>sinC，因?yàn)镃，A∈(0，eq\f(π,2))，故C<A，故C－A＝－eq\f(π,3).故選B.7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則cos(α－β)＝__－eq\f(7,9)__．解析：因?yàn)榻铅梁挺碌慕K邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，那么sinβ＝sinα＝eq\f(1,3)，cosα＝－cosβ＝eq\f(2\r(2),3)(或cosβ＝－cosα＝eq\f(2\r(2),3))，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝－(eq\f(2\r(2),3))2＋(eq\f(1,3))2＝－eq\f(7,9).8．已知cos(α－β)＝－eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，且α－β∈(eq\f(π,2)，π)，α＋β∈(eq\f(3π,2)，2π)，求角β的值．解：由α－β∈(eq\f(π,2)，π)，cos(α－β)＝－eq\f(3,5)，可知sin(α－β)＝eq\f(4,5).又∵α＋β∈(eq\f(3π,2)，2π)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(4,5)，∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)·cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(3,5)×(－eq\f(3,5))＋(－eq\f(4,5))×eq\f(4,5)＝－1.∵α－β∈(eq\f(π,2)，π)，α＋β∈(eq\f(3π,2)，2π)，∴2β∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，∴2β＝π，故β＝eq\f(π,2).新高考風(fēng)向題1．(多選題)已知α，β是銳角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，則cosβ＝eq\a\vs4\al(（AC）)A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(7\r(2),10)C.eq\f(\r(2),10)D．－eq\f(\r(2),2)解析：由α是銳角，cosα＝eq\f(\r(5),5)，得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5).又α，β是銳角，則－β∈(－eq\f(π,2)，0)，得α－β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))．又cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，則sin(α－β)＝±eq\f(\r(10),10)，則cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)±eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(3\r(2)±2\r(2),10)，得cosβ＝eq\f(\r(2),2)或cosβ＝eq\f(\r(2),10).故選AC.2．(多選題)下列四個(gè)選項(xiàng)，化簡(jiǎn)正確的是eq\a\vs4\al(（BCD）)A．cos(－15°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝eq\f(1,2)D．sin14°co