1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式,并能進行簡單的應(yīng)用.8.2.4三角恒等變換的應(yīng)用2.了解三角恒等變換的特點、變換技巧.3.掌握三角恒等變換在三角函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用.4.體會三角恒等變換中的基本思想方法,加強邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng).第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換

?tan

=

1|半角公式

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換2|三角變換公式第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換

=

.

(

?)只有當-

+2kπ≤

≤

+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)時,cos

=

.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.α∈R,sin

=

sinα都不成立.(

?)當α=2kπ(k∈Z)時,sin

=

sinα成立.α是第一象限角,則tan

=

.

(√)若α是第一象限角,則

是第一、三象限角,此時tan

=

.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換1|半角公式的運用利用半角公式求值的思路(1)看角:看已知角與待求角的二倍關(guān)系.(2)明范圍:求出相應(yīng)半角的范圍為定符號做準備.(3)選公式:涉及半角公式的正切值時,常利用tan

=

=

計算;涉及半角公式的正、余弦值時,常利用sin2

=

,cos2

=

計算.(4)下結(jié)論:結(jié)合(2)求值.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換(★★☆)已知cosθ=-

,且180°<θ<270°,求sin

和tan

的值.思路點撥:已知條件中的角θ與所求角中的

成二倍關(guān)系,可利用半角公式求值.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換解析解法一:∵180°<θ<270°,∴90°<

<135°,即

是第二象限角.∴sin

=

=

,且tan

<0,∴tan

=-

=-

=-2.解法二:sin

的求法同解法一.∵180°<θ<270°,即θ是第三象限角,∴sinθ=-

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換=-

=-

,∴tan

=

=

=-2.2|三角恒等式的證明與化簡(1)執(zhí)因索果法:證明的形式一般化繁為簡;(2)左右歸一法:證明左右兩邊都等于同一個式子;(3)拼湊法:針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異,有針對性地變形,以消除它們之間的差異,

即化異求同;(4)比較法:設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或“

=1”;(5)分析法:從被證明的等式出發(fā),逐步地探求使等式成立的條件,直到已知條件或明

顯的事實為止,就可以斷定原等式成立.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換三角恒等式的證明與代數(shù)恒等式的證明一樣,主要證明方法有:從左證到右;從右證

到左;左右歸一或變更命題.選擇哪一種證法的依據(jù)是“化繁為簡”.在確定了“化

繁為簡”的目標后,還應(yīng)注意以下幾點:(1)強化“目標意識”,就是在證明過程中,應(yīng)盯住目標,逐步向它靠攏;(2)強化“化異為同”的意識,即化異角為同角,化異名為同名,化異次為同次,這就

需要找到待證明的三角函數(shù)式與目標函數(shù)式之間的差異,并尋找它們之間的聯(lián)系,

再利用三角公式進行恒等變換,使之相互轉(zhuǎn)化,其常用方法有直推法、代入法、換

元法等.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換三角函數(shù)式的化簡是三角恒等變換的一個重要方面,其基本方法是統(tǒng)一角,統(tǒng)一三

角函數(shù)的名稱.常用方法有:異名函數(shù)化為同名函數(shù),異角化為同角,異次化為同次,

切弦互化,特殊角的三角函數(shù)與特殊值的三角函數(shù)互化等.在具體實施過程中,應(yīng)著

重抓住“角”的統(tǒng)一.通過觀察角、函數(shù)名、項的次數(shù)等,找到突破口,利用切化

弦、升冪、降冪、逆用公式等手段將其化簡.最后結(jié)果應(yīng)滿足以下幾點:(1)能求值

盡量求值;(2)三角函數(shù)名稱盡量少;(3)項數(shù)盡量少;(4)次數(shù)盡量低;(5)分母、根號下

盡量不含三角函數(shù).解題模板證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡、左右歸

一或變更論證.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換1.(★★☆)求證:

=

.思路點撥:先將原式轉(zhuǎn)化,左右統(tǒng)一名稱,然后左右歸一證明.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換證明要證原式,可以證明

=

.∵左邊=

=

=

=tan2θ,右邊=

=tan2θ,∴左邊=右邊,∴原式得證.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換2.(★★☆)已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求證:cos2A+cos2B+cos2C=

.思路點撥:根據(jù)題意,利用同角的三角函數(shù)關(guān)系和兩角和與差的公式,求出cos(B-C)=-

,再求出cos2A+cos2B+cos2C=0,利用降冪公式即可求出cos2A+cos2B+cos2C的值.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換證明由已知得sinA=-(sinB+sinC),cosA=-(cosB+cosC),∵sin2A+cos2A=1,∴(sinB+sinC)2+(cosB+cosC)2=1,∴sin2B+2sinBsinC+sin2C+cos2B+2cosBcosC+cos2C=1,∴2+2cos(B-C)=1,即cos(B-C)=-

,∴cos2A+cos2B+cos2C=2cos2A-1+cos2B+cos2C=2cos2B+2cos2C-1+4cosBcosC+cos2B+cos2C=2cos2B+2cos2C+4cosBcosC+1=4cos(B+C)cos(B-C)+2[cos(B+C)+cos(B-C)]+1=-2cos(B+