信號(hào)與系統(tǒng)(劉樹棠譯)第七章2本章主要內(nèi)容如何用連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間樣本來表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)——采樣定理。如何從采樣所得到的樣本重建連續(xù)時(shí)間信號(hào)。欠采樣導(dǎo)致的后果——頻譜混疊。37.0引言:(Introduction)在日常生活中，常可以看到用離散時(shí)間信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)的例子。如的照片、電視屏幕的畫面、電影膠片等等，這些都表明連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)之間存在著密切的聯(lián)系。在一定條件下，可以用離散時(shí)間信號(hào)代替連續(xù)時(shí)間信號(hào)而并不丟失原來信號(hào)所包含的信息。4例1.一幅新聞?wù)掌?局部放大后的圖片6在什么條件下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以用它的離散時(shí)間樣本來代替而不致丟失原有的信息。如何從連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間樣本不失真地恢復(fù)成原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。如何對一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行離散時(shí)間處理（本章略）。4.對離散時(shí)間信號(hào)如何進(jìn)行采樣、抽取，及內(nèi)插（本章略）。

研究連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)之間的關(guān)系主要包括:77.1用樣本表示連續(xù)時(shí)間信號(hào):采樣定理一.采樣:SamplingTheoremofSampling

在某些離散的時(shí)間點(diǎn)上提取連續(xù)時(shí)間信號(hào)值的過程稱為采樣。

是否任何信號(hào)都可以由它的離散時(shí)間樣本來表示？

對一維連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣的例子：8

在沒有任何條件限制的情況下，從連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣所得到的樣本序列不能唯一地代表原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。

此外，對同一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，當(dāng)采樣間隔不同時(shí)也會(huì)得到不同的樣本序列。9二.采樣的數(shù)學(xué)模型：在時(shí)域：在頻域:三.沖激串采樣(理想采樣):為采樣間隔10

00011

可見，在時(shí)域?qū)B續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行沖激串采樣，就相當(dāng)于在頻域?qū)⑦B續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜以為周期進(jìn)行延拓。在頻域由于所以1213

要想使采樣后的信號(hào)樣本能完全代表原來的信號(hào)，就意味著要能夠從中不失真地分離出。這就要求在周期性延拓時(shí)不能發(fā)生頻譜的混疊。為此必須要求:1.必須是帶限的，最高頻率分量為。

2.采樣間隔(周期)不能是任意的，必須保證采樣頻率。其中為采樣頻率。

在滿足上述要求時(shí)，可以通過理想低通濾波器從中不失真地分離出。140四.Nyquist采樣定理:

對帶限于最高頻率的連續(xù)時(shí)間信號(hào),如果以的頻率進(jìn)行理想采樣，則可以唯一的由其樣本來確定。

奈奎斯特率，奈奎斯特頻率15

在工程實(shí)際應(yīng)用中，理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的。而非理想濾波器一定有過渡帶，因此，實(shí)際采樣時(shí),必須大于

。16

低通濾波器的截止頻率必須滿足:

為了補(bǔ)償采樣時(shí)頻譜幅度的減小，濾波器應(yīng)具有倍的通帶增益。五.零階保持采樣:1.零階保持：信號(hào)的樣本經(jīng)零階保持后，所得到的信號(hào)是一個(gè)階梯形信號(hào)。

2.零階保持系統(tǒng)：是一個(gè)為矩形脈沖的系統(tǒng)。17

零階保持采樣相當(dāng)于理想采樣后，再級聯(lián)一個(gè)零階保持系統(tǒng)。0110延時(shí)T18而所以

為了從能恢復(fù)，就要求零階保持后再級聯(lián)一個(gè)系統(tǒng)。使得19若則00100以表示理想低通濾波器的特性，則:20內(nèi)插：由樣本值重建某一函數(shù)的過程。一.理想內(nèi)插:若為理想低通的單位沖激響應(yīng)，則

7.2利用內(nèi)插從樣本重建信號(hào)ReconstructionofaSignalfromItsSamplesUsingInterpolation21

理想內(nèi)插以理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)作為內(nèi)插函數(shù)當(dāng)時(shí)22這種內(nèi)插稱為時(shí)域中的帶限內(nèi)插。23二.零階保持內(nèi)插:

零階保持內(nèi)插的內(nèi)插函數(shù)是零階保持系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。242526三.一階保持內(nèi)插(線性內(nèi)插)：1000線性內(nèi)插時(shí)，其內(nèi)插函數(shù)是三角形脈沖。27一階保持內(nèi)插的結(jié)果（采樣間隔為T/4）28一階保持內(nèi)插的結(jié)果（采樣間隔為T/4）29

如果采樣時(shí)，不滿足采樣定理的要求，就一定會(huì)在的頻譜周期延拓時(shí)出現(xiàn)頻譜混疊的現(xiàn)象。TheEffectof

Undersampling:Aliasing7.3

欠采樣的效果—頻譜混疊

此時(shí)，即使通過理想內(nèi)插也得不到原信號(hào)。但是無論怎樣，恢復(fù)所得的信號(hào)與原信號(hào)在采樣點(diǎn)上將具有相同的值。一.欠采樣與頻譜混疊:30例:

的頻譜

0當(dāng)時(shí),產(chǎn)生頻譜混疊。0恢復(fù)的信號(hào)為031顯然當(dāng)時(shí)有

如果，則在上述情況下:表明恢復(fù)的信號(hào)不僅頻率改變而且相位倒置(反相)382：相關(guān)的說明以及圖7-15與圖7-1632

工程應(yīng)用時(shí)，如果采樣頻率將不足以從樣本恢復(fù)原信號(hào)。例如