[學(xué)生(xuésheng)用書P67]1．以下結(jié)論中正確的選項是( )A．在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的極大值就是最大值B．在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的極小值就是最小值C．在區(qū)間[，]上，函數(shù)的最大值、最小值在x＝a和x＝b處取到abD．在區(qū)間[，]上，函數(shù)的極大(小)值有可能就是最大(小)值ab分析：選D.由函數(shù)最值的定義知，A、B、C均不正確，D正確．2．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為()2322A.9B.9323C.9D.8分析：選A.f(x)＝x－x3，∴f′(x)＝1－3x2.3當(dāng)x＝3時，f′(x)＝0；當(dāng)x∈3時，f′(x)>0；0，3當(dāng)x∈3，1時，′( )<0.3fx23f3＝9為極大值．又f(0)＝0，f(1)＝0，∴f(x)的最大值是f323＝.393．某企業(yè)花費一種產(chǎn)品，固定本錢為20000元，每花費一單位的產(chǎn)品，本錢增添x3100元，假定總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝－900＋400x，0≤x≤390，那么90090，x>390，當(dāng)總利潤最大時，每年花費產(chǎn)品的單位數(shù)是( )A．150B．200C．250D．300分析(jiěxī)：選D.∵總利潤x3－＋300x－20000，0≤x≤390，P(x)＝90090090－100x－20000，x>390，由P′(x)＝0，得x＝300，應(yīng)選D.4．以下列圖，某工廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊能夠利用原有的墻壁，其余三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌壁所用的資料最時，堆料場的長和寬分別為________．分析：要求資料最就是要求新砌的墻壁總長度最短，以下列圖，設(shè)場所寬為x米，那么512512512長為x米，所以新墻壁總長度L＝2x＋x(x>0)，那么L′＝2－x2.令L′＝0，得x＝±16.x>0，∴x＝16.當(dāng)x＝16時，L極小值＝min＝64，∴堆料場的長為512L16答案：32米，16米一、選擇題1．設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為( )A.3B.3V2VC.33V4VD．2324V32x，高為h，表面積為S，那么V＝4x·h，h＝3x2，表面積S＝2x＋4Vx＋－12VS′＝，得x＝3·x·，S′＝33x2，令V應(yīng)選C.33x204.2．函數(shù)(hánshù)()＝23－32－12x＋5在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值分別是fxxx()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－8分析：選A.f′(x)＝6x2－6xf′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.且－1?[0,3]，2∈[0,3]，又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，故f(x)在[0,3]上的最大值為f(0)＝5，最小值為f(2)＝－15，應(yīng)選A.3．函數(shù)f(x)＝x－2x在[0,4]上的最大值為()A．4B．－1C．1D．0分析：選D.∵f′(x)＝1－11x－1)．＝(xx又因為定義域為[0,4]，由f′( )＝0，得x＝1，x當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＜0；當(dāng)1＜x＜4時，f′(x)＞0，∴f(x)在x＝1處有極小值－1，又f(0)＝0，f(4)＝0，∴f(x)的最大值為0.4．若是圓柱軸截面的周長

l

為定值，那么體積的最大值為

(

)A.

l6

3π

B.

l3

3πl(wèi)31l3C.4πD.44πr，高為h，體積為V，那么4r＋2h＝l，∴＝l－4r，＝π2＝lπ2－π3l2rr0<r<hVrh224.那么V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或許r＝l，而r>0，6lr＝是其獨一(wéiyī)的極值點．6ll3當(dāng)r＝時，V獲取最大值，最大值為6π.65．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種按期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)估算，存款量與存款利率的平方成正比，比率系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為0.048，假定銀行汲取的存款能所有放貸出去．假定存款利率為x(x∈(0,0.048))，那么x為多少時，銀行可獲取最大利潤( )A．0.016C．0.024分析：選B.依題意：存款量是kx2，銀行應(yīng)支付的利息是kx3kx2，此中x∈(0,0.048)．所以銀行的利潤是ykx2－kx3(0<x<0.048)，因為ykx－3kx2，令y′＝0得xx＝0(舍去)，又當(dāng)0<x<0.032時，y′>0；當(dāng)0.032<x<0.048時，y′<0，所以當(dāng)x＝0.032時，y獲取最大值，即當(dāng)存款利率為0.032時，銀行可獲取最大收益．6．某花費廠家的年利潤

y(單位：萬元

)與年產(chǎn)量

x(單位：萬件

)的函數(shù)關(guān)系式為

y＝13－3x＋81x－234，那么使該花費廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為

(

)A．13萬件B．11萬件C．9萬件D．7萬件分析：選C.y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，x＝－9(舍去)．當(dāng)0<x<9時，y′>0，函數(shù)f(x)單一遞加；當(dāng)x>9時，y′<0，函數(shù)f(x)單一遞減．故當(dāng)x＝9時，y取最大值．二、填空題7．某商品一件的本錢為30元，在某段時間是內(nèi)，假定以每件x元銷售，可賣出(200－x)件，當(dāng)每件商品的訂價為________元時，利潤最大．分析(jiěxī)：利潤為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x230，由S′(x)＝0得x＝115，這時利潤抵達(dá)最大．答案：1158．某企業(yè)租地建庫房，每個月土地占用費y1與庫房到車站的間隔成反比，而每個月庫存貨物的運費y2與到車站的間隔成正比，若是在間隔車站10千米處建庫房，這兩項花費y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項花費之和最小，庫房應(yīng)建在離車站________千米處．k1分析：依題意可設(shè)每個月土地占用費y1＝x，每個月庫存貨物的運費y2＝k2x，此中x是倉k14庫到車站的間隔，于是由2＝10，得k1＝20；8＝10k2，得k2＝5.204x所以兩項花費之和為y＝x＋5，204y′＝－x2＋5＝0，令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，此點即為最小值點．故當(dāng)庫房建在離車站5千米處時，兩項花費之和最?。鸢福?9．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，假定所制作容器的底面的一邊比高長

0.5m

，那么當(dāng)高為

______米時，容器的容積最大．分析：由題意直接列出函數(shù)表達(dá)式，再用導(dǎo)數(shù)求最值，設(shè)高為

x米，那么

V＝x(x＋0.5)(3.2

－2x)，V′＝－

6x2x＋1.6

＝0，解15x2－11x－4＝0，4得x＝1，x＝－15(舍去)．答案(dáàn)：1三、解答題10．求以下函數(shù)的最值：(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；1(2)f(x)＝2x＋sinx，x∈[0,2π]．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)3(x－1)2＋3.f′(x)在[－1,1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)．故x＝－1時，f(x)最小值＝－12；x＝1時，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值為－12，最大值為2.1(2)f′(x)＝2＋cosx.令f′( )＝0，解得x2x4＝π或許＝π.x33當(dāng)x變化時，f′( )，()的變化狀況以下表：xfx222444x00，3π3π3π，3π3π3π，2π)2π′( )＋0－0＋fxf(x)0↗π3↘23↗π3＋23π－2所以，當(dāng)x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝0；當(dāng)x＝2π時，f(x)有最大值f(2π)＝π.11．(2021年高考卷節(jié)選)函數(shù)f(x)＝x，(x)＝lnx，∈R.gaa(1)設(shè)函數(shù)(x)＝(x)－()，當(dāng)(x)存在最小值時，求其最小值(a)的分析式；hfgxhφ(2)對(1)中的φ(a)，證明(zhèngmíng)：當(dāng)a∈(0，＋∞)時，φ(a)≤1.解：(1)h(x)＝x－alnx(x>0)，ax－2a∴h′(x)＝2x－x＝2x.①當(dāng)a>0時，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，∴當(dāng)0<x<4a2時，那么h′(x)<0，那么h(x)在(0,4a2)上遞減；當(dāng)x>4a2時，h′(x)>0，那么h(x)在(4a2，＋∞)上遞加．∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的獨一極值點，且是極小值點，進(jìn)而也是h(x)的最小值點．h(x)的最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln(4a2)＝2a[1－ln(2a)]．x－2a②當(dāng)a≤0時，h′(x)＝>0，那么h(x)在(0，＋∞)上遞加，無最小值．2x綜上知，h(x)的最小值φ(a)的分析式為φ(a)＝2a[1－ln(2a)](a>0)．(2)由(1)知φ(a)＝2a[1－ln(2a)]，那么φ′(a)＝－2ln(2a)，令φ′(a)＝0，解1得a＝2.當(dāng)0<<1時，φ′( )>0，∴( )在0，1上遞加；a2aφa211當(dāng)a>2時，φ′(a)<0，∴φ(a)在，＋∞上遞減．211φ(a)在a＝2處獲取極大值φ2＝1，∵φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一個極值點，1∴φ2＝1也是φ(a)的最大值，∴當(dāng)a∈(0，＋∞)時，總有φ(a)≤1.12.某單位用木材制作以下(rúxià)圖的框架，框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形；要求框架圍成的總面積為8m2，問x、y分別為多少(準(zhǔn)確到0.001m)時用料最？解：依題意，有xy＋1·x·x＝8，22x28－48x所以y＝x＝x－4(0<