【基礎(chǔ)】9.4向量應(yīng)用-1課時(shí)練習(xí)一．填空題1．設(shè)點(diǎn)是的外心，，則_______.2．在矩形中，，，邊（包含點(diǎn)．）的動(dòng)點(diǎn)與延長線上（包含點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是___________.3．已知和分別為的外心和重心，且，若，則面積的最大值為___________4．如圖，在中，已知，為邊的中點(diǎn)．若，垂足為，則的值為__．5．一條從西向東的小河的河寬為3.5海里，水的流速為3海里/小時(shí)，如果輪船希望用10分鐘的時(shí)間從河的南岸垂直到達(dá)北岸，輪船的速度應(yīng)為______；6．已知平面向量夾角為，且平面向量滿足記為（）的最小值，則的最大值是__________．7．已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，點(diǎn)P滿足，則____________.8．兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．9．已知向量，，，若且，則的最小值是______．10．

若點(diǎn)O在內(nèi)，且滿足，設(shè)為的面積，為的面積，則＝________.11．中，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為____________12．有一兩岸平行的河流，水速為1，小船的速度為，為使所走的路程最短，小船應(yīng)朝與水流方向成__________度角的方向行駛．13．一條河的兩岸平行，河的寬度為560m，一艘船從一岸出發(fā)到河對岸，已知船的靜水速度，水流速度，則行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是__________（精確到）．14．關(guān)于任意平面向量可實(shí)施以下6種變換，包括2種變換和4種變換模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；：模變?yōu)樵瓉淼谋叮瑫r(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；模變?yōu)樵瓉淼谋?，同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記集合，若每次從集合中隨機(jī)抽取一種變換，每次抽取彼此相互獨(dú)立，經(jīng)過次抽取，依次將第次抽取的變換記為，即可得到一個(gè)維有序變換序列，記為，則以下判斷中正確的序號是__________.①單位向量經(jīng)過奇數(shù)次變換后所得向量與向量同向的概率為；②單位向量經(jīng)過偶數(shù)次變換后所得向量與向量同向的概率為；③若單位向量經(jīng)過變換后得到向量，則中有且只有2個(gè)變換；④單位向量經(jīng)過變換后得到向量的概率為.15．正方形邊長為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為__________．

參考答案與試題解析1．【答案】【解析】由三角形外心的性質(zhì)，再結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算，轉(zhuǎn)化成跟兩組基底向量相關(guān)的向量來進(jìn)行求解【詳解】設(shè)為平面內(nèi)的一組基底.如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則.又∵，∴.【點(diǎn)睛】考生需熟悉三角形外心一些基本特點(diǎn)。三角形外心為外接圓的圓心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．外心為各邊中垂線的交點(diǎn)。在運(yùn)用向量基底解決幾何問題時(shí)，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)將任何一組向量轉(zhuǎn)化成跟基底向量有關(guān)的向量進(jìn)行表示2．【答案】.【解析】如圖所示，設(shè)，.，，.，，則，當(dāng)時(shí)，則取得最小值.又，，的最大值為.則的取值范圍是.故答案為：.3．【答案】【解析】分析：根據(jù)重心和外心滿足的幾何性質(zhì)，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，然后求三角形的面積的最值．詳解：因?yàn)椋侨切蔚耐庑暮椭匦?，設(shè)為的中點(diǎn)，．①，，將上式代入①式得，，所以，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上．故當(dāng)時(shí)，面積的最大為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.4．【答案】【解析】詳解：，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點(diǎn)睛：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用．本題中存在垂直關(guān)系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關(guān)系，得到，所以本題轉(zhuǎn)化為求長度，利用余弦定理和面積公式求解即可．5．【答案】15海里/小時(shí)【解析】分析：先求出船的實(shí)際速度，再利用勾股定理得到輪船的速度.詳解：設(shè)船的實(shí)際速度為，船速，水的流速，則海里/小時(shí)，∴海里/小時(shí).故答案為：15海里/小時(shí)6．【答案】【解析】設(shè)，，，則，，依題意可知，，，，故點(diǎn)在△的外接圓，為點(diǎn)到直線的距離，顯然，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，有最大值.故答案為：.7．【答案】1:6【解析】由題意首先利用幾何關(guān)系確定點(diǎn)P的位置，然后利用三角形的性質(zhì)即可確定的值.【詳解】設(shè)AB的中點(diǎn)是E,∵O是三角形ABC的重心,動(dòng)點(diǎn)P滿足，，，，∴P在AB邊的中線上，是中線上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則，故.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算法則，平面向量的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8．【答案】【解析】分析：物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0，然后可算出答案.詳解：物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0所以，所以故答案為：9．【答案】【解析】，，，

故可設(shè)則，，,,,即點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，，，即求圓M上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方的最小值減1即可，設(shè)圓心M到的距離為，則，則的最小值為，故答案為：10．【答案】【解析】由，可得：延長OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=4OB，OF=3OC，如圖所示：∵2+3+4=，∴，即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面積相等，不妨令它們的面積均為1，則△AOB的面積為，△BOC的面積為，△AOC的面積為，故三角形△AOB，△BOC，△AOC的面積之比依次為：：：=3：2：4，.故答案為：．點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是三角形面積公式，三角形重心的性質(zhì)，平面向量在幾何中的應(yīng)用，注意重要結(jié)論：點(diǎn)O在內(nèi)，且滿足，則三角形△AOB，△BOC，△AOC的面積之比依次為：.

11．【答案】【解析】以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得y=（x﹣3），當(dāng)該直線與直線BC相交時(shí)，||取得最大值．【詳解】∵中，，，∴∴b=10，∴B=90°；以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，如圖所示，∵AB=5，AC=10，∠BAC=60°，∴A（0，0），B（5，0），C（5，5），設(shè)點(diǎn)P為（x，y），0≤x≤5，0≤y≤，∵=﹣λ，∴（x，y）=（5，0）﹣λ（5，5）=（3﹣2λ，﹣2λ），∴，∴y=（x﹣3），①直線BC的方程為x=5，②，聯(lián)立①②，得，此時(shí)||最大，∴|AP|==．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用問題，建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，是中檔題．12．【答案】135【解析】由平面向量的知識進(jìn)行正交分解，然后求出結(jié)果【詳解】如下圖為使小船所走路程最短，+應(yīng)與岸垂直，則故小船應(yīng)朝與水流方向成135度角的方向行駛【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的正交分解，向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題13．【答案】6【解析】先確定船的方向，再求出船的速度和時(shí)間.【詳解】因?yàn)樾谐套疃蹋源瑧?yīng)該朝上游的方向行駛，所以船的速度為km/h,所以所用時(shí)間是.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14．【答案】①②③【解析】15．【答案】【解析】分析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)