-.z.繩、桿相關(guān)聯(lián)物體的速度求解江蘇省新沂市第一中學(xué)張統(tǒng)勛繩、桿等有長(zhǎng)度的物體，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果兩端點(diǎn)的速度方向不在繩、桿所在直線上，兩端的速度通常是不一樣的，但兩端點(diǎn)的速度是有聯(lián)系的，稱(chēng)之為"關(guān)聯(lián)〞速度。"關(guān)聯(lián)速度〞問(wèn)題特點(diǎn)：沿桿或繩方向的速度分量大小相等。繩或桿連體速度關(guān)系：①由于繩或桿具有不可伸縮的特點(diǎn)，則拉動(dòng)繩或桿的速度等于繩或桿拉物的速度。②在繩或桿連體中，物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向就是合速度的方向。③當(dāng)物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向與繩或桿成一定夾角時(shí)，可將合速度分解為沿繩或桿方向和垂直于繩或桿方向的兩個(gè)分速度。常用的解題思路和方法：先確定合運(yùn)動(dòng)的方向，即物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的方向，然后分析這個(gè)合運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的實(shí)際效果，即一方面使繩或桿伸縮的效果；另一方面使繩或桿轉(zhuǎn)動(dòng)的效果。以確定兩個(gè)分速度的方向，沿繩或桿方向的分速度和垂直繩或桿方向的分速度，而沿繩或桿方向的分速度大小一樣。一、繩相關(guān)聯(lián)問(wèn)題1．一繩一物題型⑴所拉的物體勻速運(yùn)動(dòng)【例1】如圖1所示,

人在岸上拉船，船的質(zhì)量為m，水的阻力恒為f，當(dāng)輕繩與水平面的夾角為θ時(shí)，船的速度為v，此時(shí)人的拉力大小為T(mén)，則此時(shí)A．人拉繩行走的速度為vcosθB．人拉繩行走的速度為v/cosθC．船的加速度為D．船的加速度為解析：船的速度產(chǎn)生了兩個(gè)效果:

一是滑輪與船間的繩縮短,

二是繩繞滑輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),

因此將船的速度進(jìn)展分解如下列圖,

人拉繩行走的速度v人=vcosθ,A對(duì),B錯(cuò)；繩對(duì)船的拉力等于人拉繩的力，即繩的拉力大小為T(mén)，與水平方向成θ角，因此Tcosθ-f＝ma，解得：，C正確，D錯(cuò)誤。答案：AC。點(diǎn)評(píng)：人拉繩行走的速度即繩的速度，易錯(cuò)誤地采用力的分解法則，將人拉繩行走的速度。即假設(shè)按圖3所示進(jìn)展分解，則水平分速度為船的速度，得人拉繩行走的速度為v/cosθ，會(huì)錯(cuò)選B選項(xiàng)。⑵勻速拉動(dòng)物體【例2】如圖4所示，在河岸上利用定滑輪拉繩索使小船靠岸，拉繩的速度為v，當(dāng)拉船頭的繩索與水平面的夾角為α?xí)r，船的速度是多少？解析：方法1——微元分析法取小量θ，如圖5所示，設(shè)角度變化θ所需的時(shí)間為Δt，取CD=CB，在Δt時(shí)間內(nèi)船的位移為AB，繩子端點(diǎn)C的位移大小為繩子縮短的長(zhǎng)度AD。由于θ→0°，所以∠BDA→90°。所以AD=ABcosα

①又AD=vΔt

②AB=v船Δt

③由上述三式可得：v船=v/cosα方法2——運(yùn)動(dòng)等效法因?yàn)槎ɑ営疫叺睦K子既要縮短又要偏轉(zhuǎn)，所以定滑輪右邊繩上的A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況可以等效為：先以滑輪為圓心，以AC為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)B，再沿BC直線運(yùn)動(dòng)到D。做圓周運(yùn)動(dòng)就有垂直繩子方向的線速度，做直線運(yùn)動(dòng)就有沿著繩子方向的速度，也就是說(shuō)船的速度(即繩上A點(diǎn)的速度)的兩個(gè)分速度方向是：一個(gè)沿繩縮短的方向，另一個(gè)垂直繩的方向。作矢量三角形如圖6所示，v船＝v/cosα。點(diǎn)撥：方法1利用幾何知識(shí)構(gòu)建三角形，找出在Δt時(shí)間內(nèi)繩與船的位移關(guān)系，進(jìn)而確定速度關(guān)系；方法2利用了實(shí)際運(yùn)動(dòng)為合運(yùn)動(dòng)，按效果對(duì)船的速度進(jìn)展分解。2．兩繩一物題型【例3】如圖7所示，兩繩通過(guò)等高的定滑輪共同對(duì)稱(chēng)地系住一個(gè)物體A，兩邊以v速度勻速地向下拉繩。當(dāng)兩根細(xì)繩與豎直方向的夾角都為60°時(shí)，物體A上升的速度多大？解析：以右邊繩子為研究對(duì)象，應(yīng)用繩連體模型的結(jié)論，當(dāng)繩端物體A在做既不沿繩方向，又不垂直于繩方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般要將繩物體A的真實(shí)運(yùn)動(dòng)分解到沿繩收縮方向和垂直于繩子方向的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)效果一是沿繩方向的直線運(yùn)動(dòng)，這使得繩變短，二是以定滑輪為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，這使得繩轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)小角度，即A的運(yùn)動(dòng)就是這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成。如圖8所示，有，則。點(diǎn)評(píng)：此題是一道繩連體的速度問(wèn)題，有局部學(xué)生認(rèn)為物體A參與兩邊繩子的分運(yùn)動(dòng)，物體A上升的速度為合速度，容易錯(cuò)解成，等同于力的合成與分解。3．一繩兩物題型⑴水平方向情況分析【例4】A、B兩物體通過(guò)一根跨過(guò)定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現(xiàn)物體A以v1的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩被拉成與水平面夾角分別是α、β時(shí)，如圖9所示。物體B的運(yùn)動(dòng)速度vB為〔繩始終有拉力〕A．

B．

C．

D．解析：A、B兩物體通過(guò)繩相連接，且兩物體都是運(yùn)動(dòng)的，物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度是合速度，物體的速度都產(chǎn)生了沿繩方向和垂直于繩方向兩個(gè)作用效果。設(shè)物體B的運(yùn)動(dòng)速度為vB，此速度為物體B合運(yùn)動(dòng)的速度，根據(jù)它的實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果，兩分運(yùn)動(dòng)分別為：沿繩收縮方向的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為v繩B；垂直繩方向的圓周運(yùn)動(dòng)，速度分解如圖10所示，則有vB＝①物體A的合運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的速度為v1，它也產(chǎn)生兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)效果，分別是：沿繩伸長(zhǎng)方向的分運(yùn)動(dòng)，設(shè)其速度為v繩A；垂直繩方向的圓周運(yùn)動(dòng)，它的速度分解如圖11所示，則有v繩A=v1cosα

②由于對(duì)應(yīng)同一根繩，其長(zhǎng)度不變，故v繩B=v繩A③根據(jù)三式解得：vB＝。選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤D正確。答案：D點(diǎn)評(píng)：此題涉及多個(gè)物體的速度分解，應(yīng)用隔離法將每個(gè)物體的速度進(jìn)展分解，再通過(guò)關(guān)聯(lián)速度進(jìn)展求解。⑵豎直方向情況分析【例5】如圖12所示，豎直平面內(nèi)放置一直角桿AOB，桿的水平局部粗糙，豎直局部光滑，兩局部各有質(zhì)量相等的小球A和B套在桿上，A、B間用輕繩相連，以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是A．假設(shè)用水平拉力向右緩慢地拉A，則拉動(dòng)過(guò)程中A受到的摩擦力不變B．假設(shè)以一較明顯的速度向右勻速地拉A，則拉動(dòng)過(guò)程中A受到的摩擦力不變C．假設(shè)以一較明顯的速度向右勻速地拉A，則過(guò)程中A受到的摩擦力比靜止時(shí)的摩擦力要大D．假設(shè)以一較明顯的速度向下勻速地拉B，則過(guò)程中A受到的摩擦力與靜止時(shí)的摩擦力相等解析：當(dāng)A滑動(dòng)時(shí)，A受到的摩擦力是滑動(dòng)摩擦力，在動(dòng)摩擦因數(shù)不變的情況下，其大小只與正壓力有關(guān)。假設(shè)用水平拉力向右緩慢地拉A，兩小球都處于平衡狀態(tài)，選取兩球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)在豎直方向上受到總重力和水平桿對(duì)A球豎直向上的支持力N的作用，二力平衡，所以，可見(jiàn)，支持力N不變，又因?yàn)锳受到的摩擦力，所以不變，選項(xiàng)A正確。假設(shè)用水平拉力向右以一較明顯的速度向右勻速地拉A，則兩球?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)的速度可以看作合速度，它們均可以分解為沿繩方向的分速度和垂直繩方向的分速度，并且兩球沿繩方向的分速度大小相等，設(shè)A球勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，輕繩AB與水平桿間的夾角為，如圖13所示，則，，，所以，可見(jiàn)，當(dāng)A球向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，變大，也變大，即B球在豎直方向上做加速運(yùn)動(dòng)，所以輕繩對(duì)B球拉力的豎直向上的分量大于GB，根據(jù)牛頓第三定律，輕繩對(duì)A球豎直向下的拉力分量也大于GB，所以N=GA＋GB，A受到的摩擦力>，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；假設(shè)以一較明顯的速度向下勻速地拉B，則由兩球組成的系統(tǒng)在豎直方向上受力平衡，則水平桿對(duì)A球的彈力N=GA＋GB＋F，其中F為拉力，可見(jiàn)N比靜止時(shí)要大，所以該過(guò)程中A受到的摩擦力經(jīng)靜止時(shí)大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案：AC點(diǎn)評(píng)：豎直方向的物體分析，涉及到超、失重情況，分析時(shí)應(yīng)加以注意，否則易出現(xiàn)錯(cuò)誤。二、桿相關(guān)聯(lián)問(wèn)題【例6】如圖14所示，一根長(zhǎng)直輕桿AB在墻角沿豎直墻和水平地面滑動(dòng)，當(dāng)AB桿和墻的夾角為θ時(shí)，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面的速度大小為v2。則v1、v2的關(guān)系是()A．v1＝v2

B．v1＝v2cosθC．v1＝v2tanθ

D．v1＝v2sinθ解析：如圖15所示，輕桿A端下滑速度v1可分解為沿桿方向的速度v1′和垂直