關(guān)于坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象第1頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§1坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象表象：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱(chēng)為表象。坐標(biāo)表象的波函數(shù)給出t時(shí)刻到粒子處于之間的幾率滿足Schrodinger對(duì)不顯含時(shí)間t，則可以分離變量x與t第2頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)上述定態(tài)方程的解為并設(shè)是正交歸一的，即則含時(shí)Schrodinger方程的一般解為Cn為迭加常數(shù)，由初始條件決定。若則動(dòng)量表象動(dòng)量算符其相應(yīng)的本征態(tài)為P,本征函數(shù)為第3頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三構(gòu)成正交完備集，體系的波函數(shù)可以用展開(kāi)，即兩邊同乘給出t時(shí)刻粒子的動(dòng)量在之間的幾率，或是粒子的動(dòng)量的幾率密度。第4頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三滿足的方程兩邊同乘“P”表象中的運(yùn)動(dòng)方程特例：當(dāng)V不顯含時(shí)間t時(shí)第5頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1在P表象中計(jì)算一維諧振子的定態(tài)能量和波函數(shù)解定態(tài)方程第6頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§2本征值為分立的力學(xué)量表象1.力學(xué)量F表象的波函數(shù)：設(shè)力學(xué)量取本征值,相應(yīng)的本征函數(shù)為，即若滿足正交歸一性，則構(gòu)成完備系。“x”表象波函數(shù)可表示為：同樣，由歸一，得到，表示t時(shí)刻粒子力學(xué)量取值為的幾率，作為變量的函數(shù)，即表象中的波函數(shù)?？紤]到波函數(shù)可以看成函數(shù)空間中的矢量，可以用矩陣表示方法來(lái)表示F表象中的波函數(shù)第7頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三波函數(shù)歸一化：是的厄米共軛矩陣2.任一算符在F表象中的表示：算符在F表象中為一方陣第8頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.算符在自身表象中基：其本征函數(shù)在自身表象中即對(duì)角的第9頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.波函數(shù)的內(nèi)積：“x”中內(nèi)積：“F”第10頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.“F”中的Schrodinger方程同樣，對(duì)定態(tài)Schrodinger方程，V不顯含t，則該方程有非零解第11頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三6.平均值：說(shuō)明：對(duì)三維運(yùn)動(dòng)，要選擇三個(gè)相互對(duì)易的力學(xué)量完全集，如的共同本征函數(shù)完備集作為表象的基。如設(shè)的本征值都是分離的，分別為其量子數(shù)分別為，它們的共同本征函數(shù)記為，則可選定一排序方法，并依次記為1，2，…，如記，則得到表象中相應(yīng)的表示。求：李子的定態(tài)能量和波函數(shù)。已知t=0的波函數(shù)為求任意t時(shí)刻的波函數(shù)例：設(shè)Q表象的基為，某粒子的HamiltonianH在Q表象中的矩陣為第12頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：本征函數(shù)第13頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第14頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一般解第15頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§3表象變換本節(jié)討論本征值為分立的力學(xué)量表象之間的波函數(shù)變換與算符變換，為方便計(jì)，我們考慮一維的情況，但這并不失一般性。設(shè)表象“A”中其基為算符則在“B”中，波函數(shù)和算符L如何表示？現(xiàn)有另一表象“B”，基為顯然，任意波函數(shù)記則或S矩陣的性質(zhì)：S是幺正的第16頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2