閉間二函的值二次函數(shù)是最簡單的非線性函數(shù)之一，自身性質(zhì)活躍，同時經(jīng)常作為其他函數(shù)的載體。二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，是初中二次函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)和發(fā)展，隨著區(qū)間的確定或變化，以及在系數(shù)中增添參變數(shù)，使其又成為高考數(shù)學中的熱點。一定次函數(shù)在定區(qū)間上的最值二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1.函

在區(qū)間

上的最大值是，最小值是______解：函數(shù)

是定義在區(qū)間

上的二次函數(shù)，其對稱軸方程是頂坐標為22，且其圖象開口向下，顯然其頂點橫坐標在］上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為，最小值為。圖例2.已

，求函數(shù)

的最值。解：由已知

，可得

，即函數(shù)

是定義在區(qū)間

上的二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得，其稱軸方程，且圖象開口向上。顯然其頂點橫坐標不在區(qū)間

，頂點坐內(nèi)，如圖2所。函數(shù)

的最小值為，最大值為。圖解后反思：已知二次函數(shù)（妨設(shè)）它的圖象是頂點為

對軸為

開口向上的拋物線由數(shù)形結(jié)合可得在上是

時，的最大值或最小值：（1）時中的較大者。（2當

的最小值是

的最大值若則若則

，由的最小值是，由的最大值是

在在

上是增函數(shù)，最大值是上是減函數(shù)，最小值是二動次函數(shù)在定區(qū)間上的最值二次函數(shù)隨著參數(shù)的化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例3.已解知

，且，函數(shù)是函數(shù)

的最值。是定義在區(qū)間

上的二次函數(shù)，將

配方得：二次函數(shù)頂點坐標為

的對稱軸方程是，圖象開口向上由

可得

，顯然其頂點橫坐標在區(qū)間

的左側(cè)或左端點上。函數(shù)的最小值是

，最大值是。圖例4.已二次函數(shù)的值。

在區(qū)間

上的最大值為5實a

解：將二次函數(shù)配方得點坐標為上。

，其對稱軸方程為，頂，圖象開口方向由決。很明顯，其頂橫坐標在區(qū)間若即解得故

，函數(shù)圖象開口向下，如圖示，當

時，函數(shù)取得最大值若即解得故

圖時，函數(shù)圖象開口向上，如圖示，當

時，函數(shù)取得最大值5綜上討論，函數(shù)

在區(qū)間

圖上取得最大值，解后反思：例，二次函數(shù)的對稱軸是隨參數(shù)變的，但圖象開口方向是固定的；例4中，二次函數(shù)的對稱軸是固定的，圖象開口方向是隨參數(shù)a變的。三定次函數(shù)在動區(qū)間上的最值二次函數(shù)是確定的但的定義區(qū)間是隨參數(shù)t而化的我稱這種情況“定函數(shù)在動區(qū)間上的最值”。例5.如函數(shù)

定義在區(qū)間

上，求

的最小值。解：函數(shù)口向上。

，其對稱軸方程為

，頂點坐標為（，），圖象開

如圖6所，若頂點橫坐標區(qū)間最小值。

左側(cè)時，有。

時，函數(shù)取得圖如圖示點坐標在區(qū)間

上時

時，函數(shù)取得最小值。圖如圖示頂橫坐標在區(qū)間

右側(cè)時

時，函數(shù)取得最小值綜上討論，圖例6.設(shè)數(shù)的最小值的解析式。

的定義域為

對意

求數(shù)解：將二次函數(shù)配方得：

其對稱軸方程為若頂點橫坐標在區(qū)間

，頂點坐標為左側(cè)，則

，圖象開口向上，即。

時，函數(shù)取得最小值若頂點橫坐標在區(qū)間

上，則

，即。

時，函數(shù)取得最小值若頂點橫坐標在區(qū)間取得最小值綜上討論，得

右側(cè)，則，。

時，函數(shù)四動次函數(shù)在動區(qū)間上的最值二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱這種情況是“動二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值”。例7.已知求參數(shù)的。解：將

，且當代入中得

時，

的最小值為4則S是x的二次函數(shù)，其定義域為標為，圖象開口向上。若，即則當時，此時，，或若，即則當時，此時，，或（

舍去）

，對稱軸方程為，點坐綜上討論，參變數(shù)取值為

，或

，或例已知

，且當

時，

的最小值為1，求參變數(shù)a的值。

解：將

代入中，得則是x的二次函數(shù)，其定義域為坐標為，圖象開口向上。若，即則當時，此時，若，即則當時，此時，，或（因

舍去）

，對稱軸方程為，頂點綜上討論，解后反思：例7中二次函數(shù)的對稱軸是變化的；例8中，二次函數(shù)的對稱軸是固定的。另外，若函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸均不確定，且動區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏的方法。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只可能在區(qū)間端點、頂點處取得，不妨令之為最值，驗證參數(shù)的資格，進行取舍。年級

高中