第09講弧長及扇形的面積

諄【學(xué)刃n標(biāo)】

1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程.

2.會(huì)利用弧長和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.

重點(diǎn)：會(huì)利用弧長和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.

難點(diǎn)：理解弧長和扇形面積公式的探求過程并會(huì)應(yīng)用解決問題.

公【基礎(chǔ)知識】

一.弧長的計(jì)算

(1)圓周長公式：C=2TTR

(2)弧長公式：/=嚶(弧長為/,圓心角度數(shù)為小圓的半徑為R)

loU

①在弧長的計(jì)算公式中，正是表示1°的圓心角的倍數(shù)，”和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長.

③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用7T表示.

④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧

不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

二.扇形面積的計(jì)算

(1)圓面積公式：5=nr2

(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

(3)扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是,圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S南彩=道？1/?2或$崩形=(其中/為扇形的弧長)

(4)求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

(5)求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

W【考點(diǎn)剖析】

一.弧長的計(jì)算(共7小題)

1.(2021秋?招遠(yuǎn)市期末)如圖，點(diǎn)A、B、C是半徑為8的。。上的三點(diǎn).如果/ACB=

45°,那么前的長為（)

A.90°B.2nC.3TTD.4TT

【分析】根據(jù)圓周角定理可得出NAO8=90°,再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接04、OB.

VZACB=45°,

AZAOB=90°,

??Q=8,

90元x8

???忿的長是:---------=4TT.

180

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了弧長的計(jì)算以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式.

2.（2021秋?奉賢區(qū)期末）如圖，一把扇形的紙扇完全打開后，兩竹條外側(cè)。4和OB的夾

角為120°,04長為12cm,貼紙的部分CA長為6cm,則貼紙部分的周長為（）cm.

A.6n+12B.36n+12C.18n+12D.12n+12

【分析】先求出OC,再根據(jù)弧長公式計(jì)算應(yīng)）和砂的長，加上2AC即為貼紙部分的周

長.

【解答】解：TOA的長為12cm,貼紙部分的寬AC為6c團(tuán)，

??OC=OA-A(J=Gcm?

又0A和。8的夾角為120°,

1207TX6

?'?lCD==4TT,

180

，貼紙部分的周長為4ir+8n+2X6=12TT+12.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了弧長的計(jì)算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?瑞安市校級開學(xué)）已知圓的半徑為3,扇形的圓心角為120°,則扇形的弧長為

2n.

【分析】把己知數(shù)據(jù)代入弧長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：扇形的弧長=壬蜜=271,

loU

故答案為：2n.

【點(diǎn)評】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長公式：修黑是解題的關(guān)鍵.

loU

4.（2022春?奈曼旗期中）如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C在上，若/0c4=55°,AB

=6,則配1的長為劣.

【分析】先求出圓心角N8。。的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算弧長即可.

【解答】解：由題知，ZOCA=55°,48=6,

AZBOC=ZOCA+ZOAC=2ZOCA=l\Q°,

.gnnd110TTX611

?-FC=360=^60~=6-K，

11

故答案為：—n.

【點(diǎn)評】本題主要考查弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?二道區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，ZBCD=120°,

OB=2.則弧的長為（）

O

D

A

84

A.2,71B.3itC.-7iD.~JI

33

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù),

利用弧長公式計(jì)算即可.

【解答】解：：四邊形4BCD是的內(nèi)接四邊形，

8co=180°,

ZA=1800-ZBCD=180°-120°=60°,

由圓周角定理得，NBOZ）=2乙4=120°,

好3I八L1207TX24

?,?弧BD的長為-------=—TT,

1803

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理以及弧長的計(jì)算，掌握圓內(nèi)接

四邊形的對角互補(bǔ)、弧長公式是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?鐵西區(qū)開學(xué)）如果一個(gè)扇形的半徑是2,弧長是三，則此扇形的圖心角的度數(shù)為

2

45°.

【分析】根據(jù)/=卷，結(jié)合題意可得出扇形圓心角的度數(shù).

【解答】解：；扇形的弧長是三半徑為2,

.nnnx2

2180

解得："=45.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長公式：是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?東城區(qū)校級月考）如圖，。。的半徑為10c機(jī)，弦AB垂直平分半徑OC,垂足

為點(diǎn)D.

（1）弦A3的長為10x/3cffl

（2）求劣弧麴的長.

【分析】（I）先利用垂徑定理得出AB=2BD,/。。8=90°,OD=5,進(jìn)而根據(jù)勾股

定理求出8D,即可得出結(jié)論；

（2）先利用銳角三角函數(shù)求出/80〃=6（）°,最后利用扇形的弧長公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖，。。半徑為lOcvn,

：.OB=OC=\0,

?.?弦A8垂直平分半徑。C,

：.AB=2BD,NODB=90",0。=20c=5,

在RtZXBO。中，根據(jù)勾股定理得，BD=>jOB2-OD2=5^/3，

.,.AB=2BD=10V3cw；

故答案為：10百C7〃；

（2）由（1）知,8=5,

在RtZ\BOC中，COSZBOD=§4=1

UD2

：.ZBOD=60°,

OC±AB,

：.ZAOB=2ZBOD=\20°,

.nnr120TTX1020TT

=180=—180—=~3~C，n'

【點(diǎn)評】此題主要考查了垂徑定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，弧長公式，求出是解

本題的關(guān)鍵.

二.扇形面積的計(jì)算（共7小題）

8.（2021秋?汝州市期末）半徑為6的圓中，一個(gè)扇形的圓心角為60°,則該扇形的面積

為（）

A.6TTB.3nC.2nD.n

【分析】根據(jù)扇形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：5=熏=粵槳=6n.

oouooU

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是解

決本題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?畢節(jié)市期末）一個(gè)圓中有三個(gè)扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占總面積的百

分比如圖所示，那么扇形丙的圓心角是（)

乙、

20%

A.30°B.108°C.110°D.120°

【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義可得，扇形丙的圓心角占360°的30%,計(jì)算即可得答

案.

【解答】解：360°X（1-50%-20%）

=360°X30%

=108°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查認(rèn)識平面圖形，掌握扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義是正確解答的前提.

10.（2021秋?西鄉(xiāng)縣期末）一個(gè)扇形的圓心角是135°,半徑為4,則這個(gè)扇形的面積為

（）

32

A.-nB.—irC.4HD.6ir

23

【分析】利用扇形的面積公式求解即可.

【解答】解：扇形的面積=玲黑

ooU

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積.

11.（2021秋?包頭期末）鐘面上的分針長為2CTM,從8點(diǎn)到8點(diǎn)15,經(jīng)過了15分鐘，分

針在鐘面上掃過的面積是TT（結(jié)果保留TT）

【分析】首先要明確分針1小時(shí)（60分鐘）轉(zhuǎn)1周，掃過的面積是一個(gè)圓的面積，15分

1

鐘分針掃過的面積是圓面積的-，根據(jù)圓的面積公式S=m2,把數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行解答.

4

【解答】解：依題意，得

—xnX22=n（cn?）；

60

故答案為：n.

【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積的計(jì)算和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).此題解答關(guān)鍵是明確分針的尖端30

分鐘走的路程是圓周長的一半，掃過的面積是圓面積的一半，然后根據(jù)圓的周長和面積

公式解決問題

12.（2022春?巢湖市校級期中）如圖，CD是RlZSABC斜邊A8上的高線，以AD、BD、

A8分別作半圓，如果只已知一條線段的長度即可求出圖中的陰影部分面積，則這條線段

可以是（）

ADC.ABD.BC

【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法得出S瞰部分=如，再根據(jù)射影定理得到

CD^^AD'BD即可得出答案.

【解答】解:S陰影部分=s大半圓-S小半圓1-S小半四2

1/IB91AD91BD9

=~TTX()—irX()—TlX(------)一

222222

=%x(AB2-AD1-BD2)

o

=%X[CAD+BD')2-AD2-BD2]

o

=±rX(2AD*BD)

\'CD是Rt/\ABC斜邊AB上的高線,

.,.CD^^AD-BD,

.?.只要已知CD的長即可,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握扇形面積的計(jì)算

方法以及射影定理是解決問題的關(guān)鍵.

13.（2022春?渝北區(qū)月考）等腰直角三角形AOB中，OA=OB=2,以點(diǎn)。為圓心，OA

則圖中陰影部分的面積為（）（結(jié)果保留n）

'B

A.4ir-2B.ITC.it~2D.2

【分析】根據(jù)S陰步部分MSJWAOB-S^AOB,利用扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)

算即可.

【解答】解：S陰影部分=5儂形-SAAOB

907rx2?-^x2X2

360

=TT-2,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法是正確解答

的關(guān)鍵.

14.(2021秋?開化縣期末)如圖，已知AB是。。直徑，且A8=8.C,。是00上的點(diǎn)，

OC//BD,交于點(diǎn)E,連結(jié)BC,NCBO=30°.

(1)求/CO4的度數(shù).

(2)求出CE的長度.

(3)求出圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留n).

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/。。8=/(?8。=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得

到/。。8=/。8。=30°,即可求得NCO4=60°；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/AEO=NAOB=90°,由NAOC=60°,求得/A=30°,

即可得至I」OE=^OA=1OC,即可求得CE=|(?C=2；

(3)根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)-JOC//BD,

：.ZOCB=ZCBD=30°,

'：OC=OB,

，NOC8=/O8C=30°,

ZCOA=ZOCB+ZOBC=60°；

(2)是。。直徑，

AZADB=90a,

'：OC//BD,

：.ZAEO=ZADB=90°,

VZAOC=60°,

：.ZOAE=30°,

???OE=2OA,

.,.CE=^OC=|x4=2；

(3)連接OQ,

ZCBD=ZOBC=3Q°,

AZBOD=60°,

OB=OD,

???△8O￡＞是等邊三角形，

?c_oc607rx421.\3.8.質(zhì)

??S陰影=S扇形8O￡)-S&BOD=-ZT77------5X4X-yX4=?n-4,3?

OOU4乙J

【點(diǎn)評】本題考查/扇形的面積的計(jì)算，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

—【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共6小題）

1.（2022?費(fèi)縣一模）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如

示意圖，AC,8。分別與。0相切于點(diǎn)C,D,延長4C,BD交于點(diǎn)P.若/P=120°,

。。的半徑為5c/n,則圖中弧CD的長為cm.（結(jié)果保留ir）（）

【分析】連接OC,OD,求出圓心角NCOO的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式求出弧長即可.

【解答】解：連接。C,OD,

VAC.8。分別與。。相切于點(diǎn)C、D,

???NOCP=NODP=90°,

由四邊形內(nèi)角和為360°可得，

ZCOD=3600-ZOCP-ZODP-ZCPD=360°-90“-90°-120°=60°,

,xx60XTTX55

..CD=——=印，

1803

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?海曙區(qū)校級開學(xué)）如圖，在菱形A8CQ中，ZA=60°,AB=2.以點(diǎn)A為圓心,

AB為半徑作前，向菱形內(nèi)部作反:，使我=瓦），則圖中陰影部分的面積為（）

A.——B.3巡一萼C.20一亭D.y/3-^r

32§3J

【分析】首先判斷出△A8。是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=8O=2,然

后根據(jù)S陰影=S笑彩-S場形8Ao-S弓彩BEC求出陰影部分的面即可.

【解答】解：如圖所示：連接8力，

???四邊形/WCO是菱形,

：.AB^AD,

VZBAD=60°,

...△A83是等邊三角形,

：.AB=BD^2,

?泛607TX22,60TTX22-叵X2)

s陰影=S菱形-S扇形84。-S弓形6EC=2x=x2-

3603602

=3遍一箏

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，明確S陰影=S菱形-S扇形84D-S弓形

?c是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?上城區(qū)二模)已知半徑為6的扇形的面積為12e則扇形的弧長為()

A.4B.2C.4ITD.2n

【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式即可求出答案.

【解答】解：設(shè)扇形的弧長為/,由扇形面積公式可得，

1

-IR=12u,

2

解得/=4K,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算公式是正確解答的關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知8(2,0),四邊形A5C。和AE9G都是正方形，點(diǎn)

A、D、E共線，點(diǎn)G、4、B在x軸上，點(diǎn)C,E,尸在以O(shè)為圓心。。為半徑的圓上，

57r

C.—D.5ir

2

【分析】設(shè)點(diǎn)4(%0),則A8=2-〃，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=A8=2-①根據(jù)

勾股定理在中，可得OC2=O82+8C2=22+(2-a)2=8-4?+?2,由圓的性質(zhì)

可得OE=OC,在RtAOAE中，AE=AG^2a,根據(jù)勾股定理可得即

可算出a的值，即可算出0C=422+12的長度,可證明△OBC絲△EGO中，可得NCOB+

NFOG=90°,即/FOC=90°,由弧長公式忿=微計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)A(a,0),則AB=2-a,

根據(jù)題意可得，

BC=AB=2-af

在RtZkOBC中，

OC2=OB2+BC2=22+(2-。)2=8-4〃+/

■:OE=OC,

在RtZ\OAE中，AE=AG=2a,

.\OE2=OA2+A￡2,

，8-4〃+〃2=〃2+(2〃)2,

解得：4=1,a=-2(舍去)，

???點(diǎn)A(1,0),AB=\f

???OC=02+12=6,

在△O3C和△EG。中，

OB=FG=2

乙EGO=Z.0BC=90。，

G。=BC=1

△OBC寶/\EGO(SAS),

:?/EOG=/OCB,

■:/COB+/OCB=9G,

???NC08+N尸OG=90°,

：.ZFOC=90°，

907rx店底

.?.弧也的長=瑞=-------------=-----TT

1802

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了弧長的計(jì)算，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握弧

長的計(jì)算，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2022?蓬安縣模擬）如圖，在半徑為4的扇形。43中，NAOB=90°,點(diǎn)。是A8上

一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是OC的中點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交OB于點(diǎn)區(qū)則圖中陰影部分面積的最小

值為（）

C

B

A

D

E

O

A.4n-4B.4TT_磐C.2ir-4D.2TT-軍

33

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以畫出相應(yīng)的輔助線，0A=4,/49E=90。，則當(dāng)0E取

得最大值時(shí)，陰影部分的面積取得最小值，則當(dāng)AE和半徑為2的小圓。相切時(shí)，0E最

大，然后計(jì)算即可.

【解答】解：：點(diǎn)。是0C的中點(diǎn)，0C=4,

：.0D=2,OA=4,

點(diǎn)。在以點(diǎn)0為圓心2為半徑的圓弧上，

...當(dāng)AE'與小圓。相切時(shí)，最大，此時(shí)。C'與小圓。交于點(diǎn)。'，

：O4=4,NAOE=90°,

...當(dāng)OE最大時(shí)，陰影部分取得最小值，

VZAD'0=90°,OD'=2,OA=4,

：.OA=2OD',

：.ZOAD'=30°,

：.tanZOAE'=縹=空,

0A4

即tan30。=唱

4

解得O￡'=挈，

4V5.

907TX4*o*----x4oF5

圖中陰影部分面積的最小值為：三竺三——3一=4n—早，

36023

故選：B.

A

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是分析出何時(shí)陰影

部分面積最小.

6.（2022?達(dá)拉特旗一模）如圖，在△ABC中，AB^AC,以AB為直徑的。。分別與5C,

AC交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。FLAG垂足為點(diǎn)F,若。。的半徑為20，ZCDF=

15°,則陰影部分的面積為（）

B------Pc

A.16TC-12^/3B.16TT-2473C.20n-1273D.4ir-373

【分析】連接AD,OE,先通過直徑所對是圓周角是直角，證出NCQP=ND4C,從而

得出N84C=2ND4C=30°,再通過S陰影=S扇形0AE-Sa40上計(jì)算即可.

【解答】解：連接A￡>,OE,作。乩LAE于4，

BDc

VAB為直徑，

.??NAO8=NAOC=90",

AZADF+ZCDF=90°,

VDF1AC,

AZAFD=90°,

ZADF^ZDAF=90°,

:?/CDF=/DAC,

VZCDF=15°,

：.ZDAC=]5°,

'：AB=AC,AD±BC,

???N84C=2ND4c=30°,

?：OA=OE,

???NOAE=NO￡4=30°,

/.ZAO￡=120°,

在RtZXAO〃中，OA=2y/3>

：.OH=^xOA=y/3,AH=cos30°XOA=3,

：.AE=2AH=6f

?,?S陰影=S扇形OAE-SAAOE=12°3）---x6xy/3=4ir-3\[3-

36U52

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及扇形的面積計(jì)算等知識，求

出扇形的圓心角度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

填空題（共8小題）

7.（2022?呼蘭區(qū)一模）一個(gè)扇形的面積為3m它所對的弧長為2TOTO,則這個(gè)扇形的半徑

為3cm.

【分析】應(yīng)用扇形面積計(jì)算公式S=；rb進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：設(shè)扇形的半徑為「，

S=]r],

32n=1Xc2nr,

解得：r=3.

故答案為3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行求解是解

決本題的關(guān)鍵.

rr

8.（2022?南平模擬）在半徑為3的圓中，圓心角為20°的扇形面積是二.

-2-

【分析】應(yīng)用扇形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

3

【解生】解-S--7-207rx3-

[腫口J肝..一360—360-2'

故答案為：—.

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解

決本題的關(guān)鍵.

9.（2022?虎丘區(qū)校級模擬）如圖，等腰三角形ABC中，N4=90°,BC=2.分別以點(diǎn)B、

點(diǎn)C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點(diǎn)D、E、F,則圖中

陰影部分的面積為1-；,

D

B

【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出A8,AC的長，再計(jì)算出△A8C的面積,

根據(jù)N8+/C=90°,兩個(gè)扇形的半徑相等，即可算出扇形的面積，再根據(jù)陰影部分的

面積等于三角形的面積減去扇形的面積，計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：：AB=AC,乙4=90°,

：.BC2=AB2+AC2,

??AB=AC-

11

S^ABC=2AB,AC=2Xy/2Xy/2=1，

'.,/A+/C=90°,BE=CE=^BC=1，

.?mrr2907rxI2n

115fii=360'=_^60-=4，

SBI=5AABC-S扇=1-中

【點(diǎn)評】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算及根據(jù)題意應(yīng)用面

積差求陰影部分的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

10.（2022?莆田模擬）如圖，方格紙中2個(gè)小正方形的邊長均為1,圖中陰影部分均為扇

7T

形，則這兩個(gè)小扇形的面積之和為二（結(jié)果保留TT）.

-5-

【分析】由平行線的性質(zhì)可得，Z1=Z2,因?yàn)閮蓚€(gè)扇形的半徑相等，即可算出兩個(gè)扇

形的圓心角的和為Nl+N3=90°,根據(jù)扇形面積計(jì)算公式即可得出答案.

【解答】解：如圖,

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,

Z1=Z2,

?.,N2+/3=90°,

.,.Zl+Z3=90°,

.nirr2_907rxi2n

,^=360=360=4-

故答案為：—.

【點(diǎn)評】本題上要考查廣扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解

決本題的關(guān)鍵.

11.（2022春?南崗區(qū)校級月考）已知扇形的弧長為4m直徑為16,則此扇形的圓心角為

90°.

【分析】設(shè)此扇形的圓心角為,代入弧長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：設(shè)此扇形的圓心角為x°,

由題意得，---=4TT,

180

解得，x=90,

故答案為：90°.

【點(diǎn)評】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長公式/=概是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?福州模擬）在半徑為6的圓中，150°的圓心角所對的弧長是5n

【分析】利用弧長公式計(jì)算即可.

【解答】解：弧長=卑警=5①

loU

故答案為：5n.

【點(diǎn)評】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式/=篙，屬于中考常考題型.

13.（2022春?沐陽縣期中）如圖所示，分別以〃邊形的頂點(diǎn)為圓心，以3cm為半徑畫圓,

則圖中陰影部分的面積之和為

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積之和等于以3cm為半徑的圓的面枳.

【解答】解：由圖可得，

陰影部分所對的圓心角之和為360°,

，圖中陰影部分的面積之和為：nX32=9n(cm2),

故答案為：9ncm2.

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算、多邊形內(nèi)角與外角，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)陰影部

分的面積之和等于以3a”為半徑的圓的面積.

14.(2022?九龍坡區(qū)模擬)如圖，扇形A08中，NAOB=90°,OA=2,連接AB,以點(diǎn)8

為圓心，以。8的長為半徑作弧，交弧A8于點(diǎn)C,交弦AB于點(diǎn)￡>,則圖中陰影部分的

面積為.

5

【分析】利用扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法，根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系

進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接OC、BC,則△O8C是等邊三角形，

??S陽影部分=5凸△08。-S扇形05。

—2S扇形OBC-S^OBC-S而形OBD

c607rx2245TTX22

二2Xf——X2Xy/3一

360

5“一6百

6

STT—6^3

故答案為:

6

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理、扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積、三角形面積的計(jì)算方

法是正確解答的前提.

三.解答題(共6小題)

15.(2022春?長興縣月考)如圖，已知扇形408的圓心角為120°,半徑。4為6CTM.求

扇形AO8的弧長和面積.

【分析】根據(jù)扇形的弧長公式和扇形的面積公式求解即可.

【解答】解：扇形A08的弧長=等喧=4冗(cm)；

loU

扇形A08的扇形面積=與罌￡=12皿(cm2).

ooU

【點(diǎn)評】本題考查了考查了扇形的弧長和面積的計(jì)算，熟練掌握扇形的弧長和面積是解

題的關(guān)鍵.

16.(2022?費(fèi)縣一模)如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，弦AE的延長線與過點(diǎn)

C的切線互相垂直，垂足為￡>,NCAO=36°,連接8c.

(1)求NB的度數(shù)；

(2)若48=3,求反:的長.

【分析】(1)連接0C,根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角定義求出NCO8,再利用等腰

三角形的性質(zhì)求出NB即可；

(2)連接0E,根據(jù)圓周角定理求出NCOE的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)連接OC

???。。是OO的切線，

???OC上CD,

VAE1CD,

JOC//AE,

：.ZCAD=ZOCA,

\,OA=OC.

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZCOB=2ZCAD=36aX2=72°,

?：OB=OC,

：.ZB=(180°-NCOB)+2=(180°-72°)+2=54°；

(2)連接OE,

??.O。的直徑48=3,

???OA=1.5,

VZCOE=2ZCAE=2X36a=72°,

.q72X7TX1.53

?'EC=-180-=5n'

【點(diǎn)評】本題主要考查弧長的計(jì)算，熟練掌握圓周角定理和弧長公式是解題的關(guān)鍵.

17.(2022?石家莊模擬)如圖，RtZVIBC中NACB=90°，AC=4,KBOAC,以邊AC

為直徑的。。交斜邊A3于。，AO=2,點(diǎn)E為AC左側(cè)半圓上一點(diǎn)，連接AE,DE,CD.

(1)求NAEO的度數(shù).

(2)求Q8的長.

(3)求圖中陰影部分的面積.

A

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和直角三角函數(shù)即可求得NAEZ）=30°；

（2）解直角三角形求得A8=8,進(jìn)而即可求得08=6；

（3）利用S用影=5廚影oc"-SAOCO求得即可.

【解答】解：（1）；AC為直徑,

/.ZA￡>C=90°,

\'AD=2,AC=4,

.?.sinNACO=4?=：,

AC2

：.ZACD=30°,

ZAED=ZACD=30°；

(2)VZADC=90°,ZACD=30°,

：.ZCAB=60°,

在RtZMBC中，COS/C48=4?,即COS60°=g

ABAB

：.AB=3,

：.DB=AB-AD=S-2=6,

(3)連接?！?,

VOC=ODfZACD=30°,

：.ZODC=ZACD=30°,

：.ZOCD=\20°,

VAD=2,AC=4,

???CD=y/AC2-AD2=2^/3，

11111

???S^OCD=5s△4co=5X5AD,CD=x—x2x2>/3=里,

120TTX22

:?S陰影=s1形OCQ-S^OCD=360-

A

【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，圓周角定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

18.（2022春?亭湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，ZC=90°,以點(diǎn)C為圓心，CA長

為半徑的圓交4B于點(diǎn)D.

（1）若NB=28°,求益的度數(shù)；

（2）若。是AB的中點(diǎn)，AB=4,求陰影部分的面積；

（3）若AC=2避，求的值.

【分析】（1）連接S,如圖，利用互余計(jì)算出NB4C=62°,然后計(jì)算出/4C。的度

數(shù)，則根據(jù)圓心角定理得到打的度數(shù)；

⑵利用斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=AD=BD=抑=2,再判斷△ACO為等邊三角形,

則418=60。，利用扇形的面積公式，根據(jù)陰影部分的面積=S用;進(jìn)行計(jì)

算；

（3）根據(jù)垂徑定理得到AH=OH=y。，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AC2=A”?A8,

然后把AC=2百代入計(jì)算可得到AD-AB的值.

【解答】解：（1）連接CD如圖，

VZACB=90°,NB=28°,

：.ZBAC=90°-28°=62°,

'：CA=CD,

...NCZM=/C4O=62°,

-0=180°-62°-62°=56°,

而的度數(shù)為56°；

(2)過點(diǎn)C作于點(diǎn)H,

?.?。是A8的中點(diǎn)，N4CB=90°,

二CD=AD=BD=匆=2，

'：CD=CA,

：./XAC。為等邊三角形，

：.ZACD=6O°,CH=C￡>?sin60°=百，

2

?二陰影部分的面積=S扇形ACQ-S&ACD=2X2X=馬T—第;

OOUc?O

(3)過點(diǎn)C作CH_LA。于”,

VZACB=90°,CH上AB,

???ZACB=ZAHC,

VZA=ZA,

：.A