關(guān)于數(shù)理方程第四章格林函數(shù)法03.03.20231第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.20232格林函數(shù)又稱為點(diǎn)源函數(shù)或影響函數(shù)。顧名思義，它表示一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和(或)初值條件下所產(chǎn)生的場或影響。由于任意分布的源所產(chǎn)生的場均可看成許許多多點(diǎn)源產(chǎn)生的場的疊加，因此格林函數(shù)一旦求出，就可算出任意源的場。格林函數(shù)法以統(tǒng)一的方式處理各類數(shù)學(xué)物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齊次方程又可以研究非齊次方程；既可以研究有界問題，又可以研究無界問題。它的內(nèi)容十分豐富，應(yīng)用極其廣泛。這一章，我們主要介紹用格林函數(shù)求解拉普拉斯方程的邊值問題。第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202334.1格林公式及其應(yīng)用4.1.1基本解對拉普拉斯方程,其球坐標(biāo)形式為：(4.1.1)求方程(4.1.1)的球?qū)ΨQ解(即與和無關(guān)的解),則有：

其通解為：為任意常數(shù))。若取,則得到特解,稱此解為三維Laplace方程的基本解,它在研究三維拉普拉斯方程中起著重要的作用.第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.20234對二維拉普拉斯方程,其極坐標(biāo)形式為:(4.1.2)求方程(4.1.2)的徑向?qū)ΨQ解(即與無關(guān)的解),則有：其通解為：為任意常數(shù))。若取,則得到特解,稱此解為二維Laplace方程的基本解.第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202354.1.2格林公式由高斯公式,則得到格林第一公式：令將以上兩公式相減，得到格林第二公式：調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202364.1.3調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式由Green公式可導(dǎo)出調(diào)和函數(shù)的積分表示。由于函數(shù)：除在點(diǎn)外處處滿足三維Laplace方程，于是有定理：若函數(shù)在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在內(nèi)調(diào)和，則調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值可以通過積分表達(dá)式用這個(gè)函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來表示。第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.20237

若函數(shù)在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在內(nèi)滿足Poisson方程，則同樣有4.1.4調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.

設(shè)是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中的外法線方向。是證明只要在Green公式中取即證。注：此性質(zhì)表明調(diào)和函數(shù)的法向?qū)?shù)沿區(qū)域邊界的積分為零。對穩(wěn)定的溫度場，流入和流出物體界面的熱量相等，否則就不能保持熱的動態(tài)平衡，而使溫度場不穩(wěn)定。第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.20238

思考：Laplace方程N(yùn)eumann問題有解的必要條件是什么？性質(zhì)2(平均值定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)調(diào)和，是內(nèi)任意一點(diǎn)，若是以為中心，a為半徑的球面，此球完全落在區(qū)域的內(nèi)部，則有證明：由調(diào)和函數(shù)的積分表示：及由性質(zhì)1，有第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.20239上式稱為調(diào)和函數(shù)的球面平均值公式。又因?yàn)?，在上有，所以性質(zhì)3(極值原理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)調(diào)和，它在上連續(xù)且不為常數(shù)，則它的最大值與最小值只能在邊界上達(dá)到。推論1

設(shè)在內(nèi)有在上連續(xù)且在邊界上有，則在內(nèi)有推論2Dirichlet問題的解是唯一的。第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202310第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202311第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.2023124.2格林函數(shù)由于調(diào)和函數(shù)有積分表示:又因?yàn)镈irichlet邊值問題的解唯一,故希望將此問題的解用積分表示出來。但由于在積分表達(dá)示中，u在邊界上的值雖然已知,而在邊界上的值卻不知道.那么,能否作為邊界條件加上的值呢？因?yàn)?此時(shí)的解已經(jīng)是唯一的了.那么只有想辦法去掉為此，引入格林函數(shù)的概念。顯然這是行不通的，(4.2.1)第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202313格林函數(shù)的物理背景原點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量，點(diǎn)電荷密度處點(diǎn)電位即處點(diǎn)電荷電量點(diǎn)電荷密度處點(diǎn)電位第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.2023144.2.1格林函數(shù)的定義設(shè)在內(nèi)有在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由格林第二公式有(4.2.2)將（4.2.1）和(4.2.2)兩式加起來：(4.2.3)選擇調(diào)和函數(shù)v滿足,于是有：(4.2.4)第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202315記(4.2.5)則有(4.2.6)稱

為Laplace方程的格林函數(shù)。若上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)Dirichlet問題且在

上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在時(shí)，解可以表示為在(4.2.7)存在第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202316對Poisson方程的Dirichlet問題

上存在具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解，則解可以如果在表示為由此可見,求解Dirichlet問題,關(guān)鍵是求Green函數(shù)(4.2.5),其中v滿足一個(gè)特殊的Dirichlet問題：(4.2.8)稱由函數(shù)v確定的格林函數(shù)為第一邊值問題的格林函數(shù)。第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.2023174.2.2格林函數(shù)的性質(zhì)1.格林函數(shù)在除去點(diǎn)外處處滿足Laplace方程，當(dāng)時(shí)，其階數(shù)與相同。2.在邊界上，格林函數(shù)恒等于零：3.在區(qū)域內(nèi)成立不等式：（用極值原理證明）4.（由格林第二公式證明）5.第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.2023184.3格林函數(shù)的應(yīng)用用鏡象法求特殊區(qū)域上的函數(shù)。4.3.1上半空間內(nèi)的Green函數(shù)及Dirichlet問題求解上半空間內(nèi)的Dirichlet問題先求上半空間內(nèi)的Green函數(shù)（4.3.1），即求解問題第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202319

在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于邊界的象點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)放置適當(dāng)?shù)碾姾?，這兩個(gè)電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個(gè)電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202320于是，半空間上的格林函數(shù)為(4.3.2)從而，問題(4.3.1)的解可表示為:由于平面z=0上的外法線方向即oz軸的負(fù)向,所以即所以，問題(4.3.1)的解為:第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202321例2求解下列定解問題解：第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.2023224.3.2球域上的Green函數(shù)及Dirichlet問題

其中，（4.3.3），即求解問題求解球域上的Dirichlet問題是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為球心，R為半徑的球域。先求球域上的Green函數(shù)第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202323第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202324球內(nèi)的格林函數(shù)

M0點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量，M1點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202325第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202326從而，問題(4.3.3)的解可表示為：因其中是與的夾角，于是：（4.3.4）此公式稱為球域上的泊松積分公式。如果用球坐標(biāo)表示，則有（4.3.5）其中是點(diǎn)的球坐標(biāo)，是上動點(diǎn)的坐標(biāo)，第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202327是與的夾角。由于

所以(4.3.6)第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202328例1.設(shè)有一半徑為R的均勻球，上半球面的溫度保持為。求球內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布。下半球面的溫度保持為解：考慮定解問題由球域上的泊松積分公式(4.3.5)，得第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202329由于此積分的計(jì)算很困難，下面我們只考慮一些特殊位置的溫度分布。比如，求溫度在球的鉛垂直徑（直徑的上半部）和（直徑的下半部分）上的分布。當(dāng)時(shí)，(見(4.3.6)式)，故有：第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202330當(dāng)時(shí)，,故有在以上兩個(gè)公式中，當(dāng)時(shí)，球的溫度為.第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.2023314.3.3四分之一空間的格林函數(shù)

第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.2023324.4試探法及Poisson方程的求解4.4.1試探法

對某些定解問題,根據(jù)問題的物理意義和幾何特征，可假設(shè)解具有某種特殊形式，將這種形式的解代入方程進(jìn)行試探直至求出特解。這種方法稱為試探法。第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202333例1.設(shè)有一半徑為R的無限均勻圓柱體,已知圓柱內(nèi)無熱源,圓柱面上的溫度分布為,試求圓柱內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布.解：因柱面上溫度與z無關(guān),則域內(nèi)溫度也應(yīng)與z無關(guān),故原問題可簡化為求解圓域上Laplace方程的第一邊值問題,采用極坐標(biāo),我們考慮問題:由(4.4.2),設(shè)(4.4.1)得,代入,再由(4.4.2)得由的任意性得:第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202334例2求圓柱域內(nèi)的電位u,使在柱面上有給定的電場強(qiáng)度的法向分量,即解:由邊界條件知，問題可化為平面問題：由邊界條件(4.4.4),設(shè),顯然滿足方程(4.4.3)及條件(4.4.4)，于是問題的解為：第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202335例3

求由兩同心球面導(dǎo)體和構(gòu)成的電容器內(nèi)的電位，使內(nèi)球面保持常電位外球面接地。解:采用球坐標(biāo)，考慮定解問題

由邊界條件知，球內(nèi)電位的分布僅與r有關(guān)，即電位函數(shù)是球?qū)ΨQ的，而電位與r成反比，故可設(shè)第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202336顯然滿足(4.4.5),這是因?yàn)?是三維Laplace方程的基本解。由(4.4.6)于是(4.4.5)(4.4.6)的解為：第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四03.03.202337如果知道Poisson方程的一個(gè)特解，則通過函數(shù)代換，4.4.2Poisson方程