上海海事大學(xué)2012---2013學(xué)年第2學(xué)期研究生數(shù)值分析課程考試試卷A(答案)學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：1.利用Seidel迭代法求解Ax=b時(shí)，其迭代矩陣是B—(D-L)-1U)；S7.6.1.當(dāng)系數(shù)矩陣學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：1.利用Seidel迭代法求解Ax=b時(shí)，其迭代矩陣是B—(D-L)-1U)；S7.6.1.當(dāng)系數(shù)矩陣A滿足嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)時(shí),Seidel迭代法收斂 。反幕法是求可逆矩陣按模最小特征值和特征向量的計(jì)算方法.QR法是計(jì)算非奇異矩陣的所有特征值和特征向量的計(jì)算方法利用Jacobi迭代法求解Ax=b時(shí)，其迭代矩陣是B—D-1(L+U)；J當(dāng)系數(shù)矩陣A滿足嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)時(shí)，Jacobi迭代法收斂2.對(duì)于求解Ax=b，如果右端有5b的擾動(dòng)存在而引起解的誤差為5x，則3.相對(duì)誤差 <幕法是求矩陣按模最大特征值和特征向量的計(jì)算方法.Jacobi法是計(jì)算實(shí)對(duì)稱矩陣的所有特征值和特征向量的計(jì)算方法Cond(A),六.設(shè)方程組Ax=b有唯一解x*,其等價(jià)變形構(gòu)造的迭代格式為x(k+i)二Bx(k)+f,如矩陣譜半徑p(B)>1，但B有一個(gè)特征值滿足|九|<1,求證：存在初始向量x(0),'(xJ收斂于x*。使得迭代產(chǎn)生的序列(7分)證明：由x(k+1)—Bx(k)+f，x(k+1)-x*—B(x(k)-x*)—x*—Bx*+fBk+1(x(0)-x*)對(duì)于B的一個(gè)特征值滿足|九|<1，特征向量設(shè)為y，By—九y,Bk+1y—九+1y,*)—Bk+1y—九k+1y故取初始向量x(0)—x*+y，有x(k+1)-x*—Bk+1'x(0)-xX(k+1)-x*—|兀+1y—兀+1||y||T0,kTg，所以：(x「收斂于x*八■給定函數(shù)函數(shù)f(x)，對(duì)于一切x，存在f，(x)，且0<m<f，(x)<M，2證明對(duì)于范圍0<九<內(nèi)的任意定數(shù)九，迭代過(guò)程x—x-九f(x)均收斂于M k+1 k k

f(x)=0的根。7分)解:，f'(x)>0，單調(diào)，根存在條件下必唯一。迭代函數(shù)0(x)1=|xf(x)=0的根。7分)解:，f'(x)>0，單調(diào)，根存在條件下必唯一。迭代函數(shù)0(x)1=|x-昴(x)|貯x)|=1-昴'(x)|<1(需要滿足的話),2有條件0<九< ，0<m<f(x)<M可得-1<1-九M<1-Xf'(x)<1-Xm故：0'(x)\<L<1,L=max(|1_Zm|,|1-ZM|)所以x—x*<Lx—x*<Lkx—x*T0,kT■ k—1g所以limx=x*kT8k十-初值問(wèn)題｛yy=驚的解為y(x)=2ax2+bx，y”+1是由Euler法得出的數(shù)x=0值解 證明：整體誤差y(x)-y=—ahx，并說(shuō)明其收斂性。(7分)””2”x—0解軍：對(duì)任意固定值x>0,取-= ，所以x=”h，由Euler法””y=y +h(ax +b) =y +h(ax +b)+h(ax +b)=y +ha(x +x )+2hb” ”-1 ”—1 ”-2 ”一2 ”—1 ”-2 ”—1 ”一2y=y+ha(x+x++x+x)+nhb=””_ah2+nhb=n 0 n—1 n—2 1 0 2/、 1 7 ,n(n一1)7 ]7、n7 17所以y(x)一y=ax2+bx一( ah2+nhb)=ah2=ahx，n n2n n 2 2 2 ”對(duì)任意固定點(diǎn)y(x)-y=-ahx=-ahxT0,hT0，的所以收斂。n n2n2解:因?yàn)椋鹹'=f(x,刃，所以y (x))dx=S ”+1 nxx=a ”fx”+1x

”— —3f(x,y(x))dx=-[f(x,y(x))+f(x,y(x ))]——f''(^,y(g))略去余項(xiàng)得2”” ”+1 ”+1 12””h=y+下[(f(x,y)+f(x2nny1n+1 n,yn+1n+1)]。Tn+1=y(x)-y=y(x)+hy'(x)+￡y"(x)+Tn+1n+1 n+1 nn2n6nh—[y+-[(f(x,y)+f(x,y)]]+O(h4)n2nn n+1n+1

當(dāng)y=y(x)時(shí)nnT=hy'(x)+￡y"(x)+^y"(x)-hf(x,y)+O(h4)n+ 2n2n6n2 n+n+n+1f(x ,y)=f(x,y(x))+f'(x ,匚)(y-y(n+1n+ n+ n+ yn+ n+ n+ n+h2y'(x)-f'(x ，匚)T=y，(x)+hy"(x)+—ym(x)+O(h3)-f'(x，匚)Tn+1 yn+1n+1n+1 n n 2 n yn+1n+1n+1h3-12y(x) h3T=n+112 - +O(h4)=-一y"(x)T=n+1h121-2f(x，匚丿2yn+1n+1因?yàn)椋?dāng)=f（x,因?yàn)?，?dāng)=f（x,匚）＜1時(shí),n+1 n+1h3 )-y(x)12 nT~h~. —2yn+1n+1所以是二階精度。因?yàn)椋簓=y+-(九y+九y)n+1 n2=-h-ym(x)[1+hf'(x,匚)+(hf\x,匚))2+]1-2f'(x，匚)122y n+1 n+1 2yn+1 n+1n+1 n因Re（九）＜0,所以1+h九因Re（九）＜0,所以n+1 訐 h1——人2故梯形公式是無(wú)條件絕對(duì)穩(wěn)定的。九■試用f（x）關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)（xl-1和｛x1的插值多項(xiàng)式g（x）和h（x）構(gòu)造出關(guān)于TOC\o"1-5"\h\zii=1 ii=2節(jié)點(diǎn)｛xl的不超過(guò)n-1次的多項(xiàng)式。（7分）ii=1解：因?yàn)間(x)=f(x),i=1,n-1，h(x)=f(x),i=2,n，且都為不超過(guò)n-2次的多項(xiàng)i i i i式，故q(x)二g(x)+A(h(x)-g(x))(x-X])，所以為不超n-1次多項(xiàng)式q(x)=g(x)+A(h(x)-g(x))(x-x)=f(x),i=1,n-1i i i ii1 i有q(x)=f(x)得到A= n n=n丿n行」 (h(x)-g(x))(x-x) (x-x)n n n1 n1

所以所以q(x)= g(x)+(h(x)—g(x)) (xx1)=:xxn[ g(x) +(xx1)f(x)(x —x) (x —x) (x—x)n1 1n n1三.假設(shè)已知矩陣A的某個(gè)特征值九的近似值廠，即有—i ij豐i。試分析用什么方法可以修正特征值九的近似值廠，并得到相應(yīng)于特ii征值九的特征向量。i(6分)解：設(shè)B二A-廠I,故九-兀征值九的特征向量。i(6分)解：設(shè)B二A-廠I,故九-兀是B的按模最小特征值。由反幕法可得:i iiVx(0)^0，作x(k+1)=B一1x(k),即卩Bx(k+1)=x(k)得(k)'，則對(duì)充分大的k,x(k)沁ui(x(k+1))(u即為特征值九對(duì)應(yīng)的特征向量)且：九Q兀+ 4i i ii(x(k))4hh八■證明用單步法打+1—兒+ 2，打+2f{Xn』”))求解初值問(wèn)題(y'二—2ax{y二sx=0 ，可以給出準(zhǔn)確解。(7分)h解：因：y=y+h(—2a)(x+)=y—2ahx—ah2n+1 n n2 n n又由taylor展開得：y(x)=y(x)+hy'(x)+1h2y"(g)=y(x)—2ahx—ah2n+1 n n2 n n由此：e=y(x)—y=e，故當(dāng)y=y(0)=s時(shí)，該法可得準(zhǔn)確解。n+1 n+1 n+1 n 0九給定x,xG[a,b],x<x,f(x)在區(qū)間[a,b]上有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明:0101(x—x)(x—2x+x) (x—x)(x—x)f(x)=— 1 0 -f(x)+ 0 」f(x)+(x—x)2 0 (x—x) ■1001這里：R(x)=—f⑹(g)(x—x)2(x—x)x<g<x60101f(x1)+R(x)1010分)解：以(x0,f(x0))，(x1，f(x1))作為插值條件作p1(x)則：所求插值多項(xiàng)式為p(x)=p(x)+A(x一x)(x一x)=f(x)+f[x,x](x一x)+A(x一x)(x一x)101001001所以：p'(x0)-f[x0,x1]+A(x0-x1)二八%)4f'(x)一f[X,X]TOC\o"1-5"\h\zA= 0 0iX一X01所以p(x)=f(X)+f[X,x](x—x)+丄乞 "?！? 0 1 0 X一X01且；R(x)=K(x)(x-X)2(x-X)= f