第五章四邊形第24課時

正方形教材梳理篇教材人教：八下P58-P60華師：八下P119-P121北師：九上P20-P25知識梳理1考點突破2福建5年中考題聚焦3知識梳理1·知識點1正方形的定義和性質(zhì)·知識點2正方形的判定·知識點3菱形、矩形、正方形、平行四邊形之間的關(guān)系定義四條邊相等，且四個角相等的四邊形是正方形.性質(zhì)(1)正方形既是矩形，又是菱形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)．(2)四條邊相等．(3)對角線互相①_________且相等，每一條對角線平分一組對角．知識點1正方形的定義和性質(zhì)垂直平分性質(zhì)(4)正方形是中心對稱圖形，其對稱中心是②_______________；也是軸對稱圖形，其對稱軸是對角線所在直線和各邊的③___________，共有④________條．(5)正方形的面積等于其邊長的平方或?qū)蔷€長的平方的⑤______.對角線的交點垂直平分線4一半知識點2正方形的判定判定知識點3菱形、矩形、正方形、平行四邊形之間的關(guān)系·考點1正方形的性質(zhì)·考點2正方形的判定考點突破2·考點3正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例1【2021·龍巖模擬·4分】如圖1，在正方形ABCD中，E為CD邊的中點，連接AE，對角線BD交AE于點F，已知EF＝1，則線段AE的長度為(

)A．2B．3C．4D．5考點1正方形的性質(zhì)B例2【2021·廈門模擬·4分】如圖2，正方形ABCD的邊長為5，點O是中心，點M在邊AB上，連接OB，OM，過O作ON⊥OM，交邊BC于點N.若BM＝2，則BN的長是_____．3例3【2021·廈門模擬·4分】如圖3，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，AE＝BF.求證：CE＝DF.例4如圖4，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；考點2正方形的判定證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等邊三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．(2)若∠AED＝2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．考點3正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例5四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG.(1)如圖5，求證：矩形DEFG是正方形；證明：如答圖1，過點E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP，∠QEC＝∠PEC＝45°，∴∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED.解：∠EFC＝130°或40°.(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【點撥】①如答圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時，∠DEC＝45°＋40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，又∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°.②如答圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，綜上所述，∠EFC＝130°或40°.0102福建5年中考聚焦3031．【2019·福建·4分】如圖，邊長為2的正方形ABCD的中心與半徑為2的⊙O的圓心重合，E，F(xiàn)分別是AD，BA的延長線與⊙O的交點，則圖中陰影部分的面積是________．(結(jié)果保留π)π－1【點撥】2．【2021·福建·12分】如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB上的兩個三等分點，點A關(guān)于DE的對稱點為A′，AA′的延長線交BC于點G.(1)求證：DE∥A′F；證明：如圖，設(shè)AG與DE的交點為O.∵點A關(guān)于DE的對稱點為A′，∴AO＝A′O，AA′⊥DE.∵E，F(xiàn)為邊AB上的兩個三等分點，∴AE＝EF＝BF，∴EO是△AA′F的中位線，∴EO∥A′F，即DE∥A′F.(2)求∠GA′B的大?。唤猓喝鐖D，連接GF，∵AA′⊥DE，四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，AD＝BA，∴∠ADE＋∠DEA＝90°＝∠DEA＋∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，即∠ADE＝∠BAG.(3)求證：A′C＝2A′B.3．【2021·寧德質(zhì)檢·12分】如圖，點E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線AC上，∠EBF＝45°.(1)當(dāng)BE＝BF時，求證：AE＝CF；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠BCF＝45°.∵BE＝

BF，∴∠BE