第四章函數(shù)應(yīng)用§1函數(shù)與方程第1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在根底過關(guān)練題組一確定函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)1.以下圖像表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是()2.(2021安徽蕪湖普通高中高一上聯(lián)考)函數(shù)f(x)=x2x1C.(0,0)D.-3.函數(shù)f(x)=|log3x|,假設(shè)函數(shù)y=f(x)-m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)a,b,那么()A.a+b=1B.a+b=3mC.ab=1D.b=am4.對于函數(shù)f(x),假設(shè)f(-1)·f(3)<0,那么()A.方程f(x)=0一定有實(shí)數(shù)解B.方程f(x)=0一定無實(shí)數(shù)解C.方程f(x)=0一定有兩實(shí)數(shù)解D.方程f(x)=0可能無實(shí)數(shù)解5.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,假設(shè)f(1)>0,f(2)<0,那么f(x)在(1,2)上的零點(diǎn)()A.至多有一個(gè)B.有一個(gè)或兩個(gè)C.有且僅有一個(gè)D.一個(gè)也沒有6.假設(shè)32是函數(shù)f(x)=2x2-ax+3的一個(gè)零點(diǎn),那么f(x)的另一個(gè)零點(diǎn)為7.判斷以下函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請求出.(1)f(x)=x2+7x+6;(2)f(x)=1-log2(x+3);(3)f(x)=2x-1-3;(4)f(x)=x28.判斷函數(shù)f(x)=lnx+x2-3的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).題組二確定函數(shù)零點(diǎn)的范圍9.(2021陜西寶雞金臺(tái)高一上聯(lián)考)以下區(qū)間包含函數(shù)f(x)=x+log2x-5零點(diǎn)的是()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)10.函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是方程f(x)=0的兩個(gè)根,那么a,b,α,β的大小關(guān)系可能是()A.a<α<b<βB.α<a<β<bC.α<a<b<βD.a<α<β<b11.e是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)為b,那么以下不等式中成立的是()A.a<1<bB.a<b<1C.1<a<bD.b<1<a12.設(shè)x0是方程lnx+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,那么k=.

13.求證:方程5x2-7x-1=0的一個(gè)根在區(qū)間(-1,0)上,另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)上.題組三由函數(shù)零點(diǎn)確定參數(shù)的值或范圍14.(2021福建泉州高一上聯(lián)考)函數(shù)f(x)=x2+x+a(a<0)在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.-1<a<0B.-2<a<0≤a<0≤a≤015.(2021安徽名校高一上聯(lián)考)函數(shù)f(x)=log2x+x-3在區(qū)間(a,a+1)內(nèi)有零點(diǎn),那么正數(shù)a的取值范圍為()A.(1,2)B.(2,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)16.函數(shù)f(x)=-x2-2x+a(x<0),f(x-1)(A.(0,+∞)B.[-1,0)C.[-1,+∞)D.[-2,+∞)17.函數(shù)f(x)=x-13x+a的零點(diǎn)在區(qū)間(1,+∞)上,那么實(shí)數(shù)a18.函數(shù)f(x)=-3x2+2x-m+1.(1)當(dāng)m為何值時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)零點(diǎn)、無零點(diǎn);(2)假設(shè)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)處,求m的值.19.二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=3,f(x+1)=f(x)+2x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)令g(x)=f(|x|)+m(m∈R),假設(shè)函數(shù)g(x)有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20.函數(shù)f(x)=x2-3mx+n(m>0)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2.(1)求m、n的值;(2)假設(shè)不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,求k的取值范圍;(3)令g(x)=f(x)x,假設(shè)函數(shù)F(x)=g(2x)-r·2x在x∈[-1,1]上有零點(diǎn),能力提升練一、選擇題1.(2021河南新鄉(xiāng)高一上聯(lián)考,)函數(shù)f(x)=ex+2x-5的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(3,4)B.(2,3)C.(0,1)D.(1,2)2.()方程x+log3x=3的解為x0,假設(shè)x0∈(n,n+1),n∈N,那么n等于()3.(2021四川蓉城名校聯(lián)盟高一上期中聯(lián)考,)函數(shù)f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且滿足0<x1<1<x2<4,那么m的取值范圍是()A.-75,-54B.(-∞,-1)∪C.-3,-4.(2021廣東廣州越秀高一上期末,)函數(shù)f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+a,假設(shè)gA.(-1,0)B.[-1,0)C.(0,1)D.(0,1]5.()對于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)x0,使函數(shù)f(x)的圖像在(-∞,x0)和(x0,+∞)上與x軸都有交點(diǎn),那么稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)“界點(diǎn)〞.以下四個(gè)函數(shù)中,不存在“界點(diǎn)〞的是()A.f(x)=x3B.f(x)=x2+bx-2(b∈R)C.f(x)=1-|x-2|D.f(x)=2x-x26.(2021河南商丘九校高一上聯(lián)考,)函數(shù)f(x)=(x2-1)x2-47.(2021河南平頂山六校聯(lián)盟高一上期末,)假設(shè)冪函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)(3,3),那么函數(shù)y=f(x)+2-x的零點(diǎn)為()8.()假設(shè)函數(shù)f(x)=x+ax(a∈R)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn),那么a的值可能是()9.()函數(shù)f(x)=|x+1|,x≤0,log2x,x>0.假設(shè)f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3A.(-2,0]B.(-1,0)C.(-1,0]D.(-2,0)二、填空題10.()假設(shè)函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

11.()函數(shù)f(x)=|x+2|-12.(2021北京交大附中高一上期中,)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x.假設(shè)關(guān)于x的方程f(x)-m=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

13.()定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=log12(x+1),0≤x<1,1-|x-3|,x≥1,假設(shè)關(guān)于x三、解答題14.()定義在[0,2]上的函數(shù)f(x)=x2-2ax+1.(1)假設(shè)f(x)的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式;(2)假設(shè)f(x)在其定義域上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.15.()函數(shù)f(x)=x|x-a|+bx.(1)假設(shè)a=3,且f(x)是R上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)b的取值范圍;(2)假設(shè)b=-1,且對任意a∈(-1,2),關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)總有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.答案全解全析第四章函數(shù)應(yīng)用§1函數(shù)與方程第1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在根底過關(guān)練1.A除A選項(xiàng)外,其他選項(xiàng)的函數(shù)圖像均與x軸有交點(diǎn),即有零點(diǎn),應(yīng)選A.2.A由f(x)=0,得x2x+1=0,解得∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是0.3.C∵函數(shù)y=f(x)-m有兩個(gè)不同的零點(diǎn)a,b,∴a≠b且f(a)=f(b).∵f(x)=|log3x|,∴l(xiāng)og3a+log3b=0,即log3a+log3b=log3(ab)=0,∴ab=1,應(yīng)選C.4.D因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像在(-1,3)上未必連續(xù),所以盡管f(-1)·f(3)<0,但函數(shù)y=f(x)在(-1,3)上未必有零點(diǎn),即方程f(x)=0可能無實(shí)數(shù)解.5.C假設(shè)a=0,那么b≠0,f(x)=bx+c是一次函數(shù),由f(1)·f(2)<0得零點(diǎn)只有一個(gè);假設(shè)a≠0,那么f(x)=ax2+bx+c為二次函數(shù),假設(shè)f(x)在(1,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),那么必有f(1)·f(2)>0,與矛盾.應(yīng)選C.6.答案1解析由f32=2×94-32a+3=0得a=5,那么f(x)=2x2-5x+3.令f(x)=0,即2x2-5x+3=0,解得x1=32,x2=1,所以f(x7.解析(1)存在.令f(x)=0,即x2+7x+6=0,解得x=-1或x=-6,所以函數(shù)的零點(diǎn)是-1,-6.(2)存在.令f(x)=0,即1-log2(x+3)=0,解得x=-1,所以函數(shù)的零點(diǎn)是-1.(3)存在.令f(x)=0,即2x-1-3=0,解得x=log26,所以函數(shù)的零點(diǎn)是log26.(4)存在.令f(x)=0,即x2+4x-12x-2=0,解得x=-6或8.解析解法一:令lnx+x2-3=0,那么lnx=3-x2,所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=lnx與y=3-x2的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).在同一平面直角坐標(biāo)系中,作出兩函數(shù)的圖像(如圖).由圖像知,函數(shù)y=3-x2與y=lnx的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),從而lnx+x2-3=0只有一個(gè)根,即函數(shù)f(x)=lnx+x2-3有一個(gè)零點(diǎn).解法二:∵f(1)=ln1+12-3=-2<0,f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,∴f(1)·f(2)<0,又f(x)=lnx+x2-3的圖像在(1,2)上是不間斷的,∴f(x)在(1,2)上必有零點(diǎn),又f(x)在(0,+∞)上是遞增的,∴函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè).9.Cf(1)=1+log21-5=-4<0,f(2)=2+log22-5=-2<0,f(3)=3+log23-5=log234<0,f(4)=4+log24-5=1>0f(5)=5+log25-5=log25>0.∵f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,并且是連續(xù)函數(shù),∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上存在零點(diǎn).應(yīng)選C.10.C由題意得,f(a)=f(b)<0,而f(α)=f(β)=0,借助圖像(圖略)可知,a,b,α,β的大小關(guān)系有可能是α<a<b<β,應(yīng)選C.11.A令f(x)=0,即ex+x-2=0,那么ex=2-x.令g(x)=0,即lnx+x-2=0,那么lnx=2-x,設(shè)y1=ex,y2=lnx,y3=2-x.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1=ex,y2=lnx,y3=2-x的圖像,如下圖:∵函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)為b,∴y1=ex與y3=2-x圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,y2=lnx與y3=2-x圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b,由圖像知a<1<b,應(yīng)選A.12.答案2解析令f(x)=lnx+x-4,那么f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.∵f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,f(x)=lnx+x-4的圖像是連續(xù)曲線,∴f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),∴k=2.13.證明由Δ=69>0,得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)f(x)=5x2-7x-1,那么f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.∵f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-1的圖像在R上是連續(xù)不斷的,∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分別有零點(diǎn),即方程5x2-7x-1=0的一個(gè)根在區(qū)間(-1,0)上,另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)上.14.B∵函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x=-12<0,且f(0)=a<0,∴要使函數(shù)f(x)=x2+x+a(a<0)在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn),那么需使f(1)=2+a>0,即a>-2,∴-2<a<0.應(yīng)選B15.A由題得f(2)=log22+2-3=0,且函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以a<2<a+1,解得1<a<2.16.C作出函數(shù)f(x)和y=x的大致圖像如圖.可知點(diǎn)A(-1,1+a),點(diǎn)C(0,1+a)在函數(shù)圖像上,而點(diǎn)B(0,a)不在函數(shù)圖像上.結(jié)合圖像可知,當(dāng)a≥-1時(shí),函數(shù)y=f(x)-x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn).應(yīng)選C.17.答案-∞,-解析易知函數(shù)f(x)=x-13x+a又∵函數(shù)f(x)=x-13x+a的零點(diǎn)在區(qū)間(1,+∞)上,且f(x)∴f(1)=23+a<0,∴a<-218.解析(1)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)零點(diǎn)、無零點(diǎn),對應(yīng)方程-3x2+2x-m+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無實(shí)數(shù)根.由Δ>0,即4+12(1-m)>0,可得m<43由Δ=0,可得m=43由Δ<0,可得m>43故當(dāng)m<43時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)m=43時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)m>43時(shí),函數(shù)無零點(diǎn)(2)由題意知0是對應(yīng)方程的根,故有1-m=0,解得m=1.19.解析(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=ax2+bx+3,∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a+b+3,f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3.∵f(x+1)=f(x)+2x,∴2a+∴f(x)=x2-x+3.(2)由(1)得g(x)=x2-|x|+3+m(m∈R),由于函數(shù)g(x)有4個(gè)零點(diǎn),因此函數(shù)g(x)的圖像與x軸有4個(gè)交點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)g(x)的圖像,如下圖:由圖像,得3+解得-3<m<-114即實(shí)數(shù)m的取值范圍是-320.解析(1)由函數(shù)f(x)=x2-3mx+n(m>0)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2,可得1-3(2)由(1)可得f(x)=x2-3x+2,由不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,可得不等式f(x)>k在x∈[0,5]上恒成立.因?yàn)閒(x)=x2-3x+2=x-32所以f(x)=x2-3x+2在x∈[0,5]上的最小值為f32=-14,所以k<-(3)由(1)得g(x)=f(x)x=x因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=g(2x)-r·2x在x∈[-1,1]上有零點(diǎn),所以g(2x)-r·2x=0在x∈[-1,1]上有解,即r=1+2·12x2-3·12x在x∈[-1令t=12x,那么r=2t2-3t因?yàn)閤∈[-1,1],所以t∈12所以r=2t2-3t+1在t∈12,由r=2t2-3t+1=2t-342-1812≤t≤2,得-18所以實(shí)數(shù)r的取值范圍是-1能力提升練一、選擇題1.D易知f(x)=ex+2x-5是R上的增函數(shù),且f(1)=e-3<0,f(2)=e2-1>0,所以f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).應(yīng)選D.2.C設(shè)f(x)=x+log3x-3,那么f(1)=1+log31-3=-2<0,f(2)=2+log32-3=log32-1<0,f(3)=3+log33-3=1>0,又易知f(x)為單調(diào)函數(shù),且其圖像是連續(xù)曲線,∴方程x+log3x=3的解在(2,3)內(nèi),因此n=2.應(yīng)選C.3.A依題意得f(m>-3,m<-54,m4.B依題意,函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=-a有2個(gè)交點(diǎn),作出函數(shù)圖像如下圖,由圖可知,要使函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=-a有2個(gè)交點(diǎn),那么0<-a≤1,即-1≤a<0.思想方法此題考查的是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題,在求解的過程中,將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題,將式子移項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點(diǎn)的問題,畫出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線,在直線移動(dòng)的過程中,利用數(shù)形結(jié)合思想,求得相應(yīng)結(jié)果.5.Af(x)=x3的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),因此不存在“界點(diǎn)〞,A符合題意;在f(x)=x2+bx-2(b∈R)中,Δ=b2+8>0,圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故存在“界點(diǎn)〞,B不符合題意;在f(x)=1-|x-2|中,令f(x)=0得|x-2|=1,解得x=1或x=3,故存在“界點(diǎn)〞,C不符合題意;在函數(shù)f(x)=2x-x2中,f(2)=f(4)=0,因此存在“界點(diǎn)〞,D不符合題意.應(yīng)選A.6.B要使函數(shù)有意義,那么x2-4≥0,即x2≥4,解得x≥2或x≤-2.由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0(不成立,舍去),解得x=2或x=-2,∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.應(yīng)選B.7.D設(shè)冪函數(shù)f(x)=xα,由函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)(3,3),得3α=3,即α=12,∴f(x)=x,∴y=f(x)+2-x=x+2-x.令x+2-x=0,得x=2或x=-1(舍去),∴x=4.應(yīng)選D8.A函數(shù)f(x)=x+ax(a∈R)的圖像在(1,2)上是連續(xù)不斷的,逐個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證,當(dāng)a=-2時(shí),f(1)=1-2<0,f(2)=2-1=1>0,故f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn),同理,其他選項(xiàng)不符合,應(yīng)選A9.Cf(x)的圖像如下圖,不妨設(shè)x1<x2<x3,由圖像知,假設(shè)f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,那么x1+x2=-2,f(x3)=a(0<a≤1),由0<f(x3)≤1得0<log2x3≤1,即1<x3≤2,∴-1<x1+x2+x3≤0,應(yīng)選C.二、填空題10.答案(1,+∞)解析函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與函數(shù)y=x+a的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),如圖①,當(dāng)a>1時(shí),兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn);如圖②,當(dāng)0<a<1時(shí),兩函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn).故a>1.11.答案4解析當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=0?|x+2|-1=0?|x+2|=1,解得x=-3或x=-1,此時(shí)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=lnx與y=x2-2x的圖像,如下圖,由圖像知,當(dāng)x>0時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn).綜上所述,f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4.12.答案(-1,0)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x,所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱.作出函數(shù)f(x)的圖像,如下圖:假設(shè)方程f(x)-m=0有