第1頁(yè)（共1頁(yè)）2018-2019學(xué)年江蘇省南通市啟東市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1．（5分）命題“?x∈N，x2≤x”的否定是．2．（5分）復(fù)數(shù)z＝（2+i）（1﹣i），其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模是．3．（5分）某學(xué)校高一年級(jí)有1800名學(xué)生，高二年級(jí)有1500名學(xué)生，高三年級(jí)有1200名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則應(yīng)在高二年級(jí)抽取人．4．（5分）執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出y的值為3，則輸入x的值為．5．（5分）如圖是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的抽樣頻率分布直方圖，則日睡眠時(shí)間在[7，9]內(nèi)的學(xué)生所占百分比為%．6．（5分）如圖所示的算法中，若輸出的結(jié)果是31，則判斷框中的整數(shù)M的值為．7．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝2i，z2＝1+i，則復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于第象限．8．（5分）“m＞0”是“方程+y2＝1表示橢圓”的條件．（從“充分不必要”“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，選出適當(dāng)?shù)囊环N填空）9．（5分）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則（n∈N*）是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．類似地，若數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則（n∈N*）是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．10．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，且PF＝4OF，則點(diǎn)P到x軸的距離為11．（5分）若“存在x∈[﹣1，1]，a?3x+2x+1＞0成立”為真命題，則a的取值范圍是．12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2＝4，以C（2，t）（t＞0）為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）且與圓O交于M，N兩點(diǎn)，若MN＝2，則正數(shù)t的值為．13．（5分）把數(shù)列{an}的各項(xiàng)按照如圖規(guī)律排成三角形數(shù)陣；若an＝2n﹣1，n∈N*，則該數(shù)陣的第20行所有項(xiàng)的和為．14．（5分）如圖，已知點(diǎn)A，B分別是橢圓+＝1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作直線CD∥AB且交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若AB：CD＝3：4，則該橢圓的離心率為．二、解答題：本大題共10小題，共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（14分）已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），且該雙曲線過(guò)點(diǎn)P（6，2）．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上的點(diǎn)M滿足MF1⊥F1F2，求△MF1F2的面積．16．（14分）從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）[60，70）這一組的頻率和頻數(shù)分別是多少？（2）估計(jì)該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）；（3）利用頻率分布直方圖的組中值對(duì)該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽平均分進(jìn)行估計(jì)．17．（14分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣x+a，集合A＝{x|﹣1≤x≤1}．（1）設(shè)B＝{x|f（x）≤0}，若x∈A是x∈B的充分不必要條件，求a的取值范圍；（2）對(duì)任意x∈A，不等式f（x）≥ax﹣1恒成立，求a的取值范圍．18．（16分）在直線型公路l西側(cè)有一邊界近似看成圓形的湖泊，某觀測(cè)者在l上A處測(cè)得湖泊的視角余弦值為（視角是指兩視線與圓形湖泊相切時(shí)所成的角），向北行駛2千米到達(dá)B處測(cè)得視角為60°．已知點(diǎn)B和湖泊邊界上點(diǎn)C分別在圓心O的正東和正西方向．現(xiàn)規(guī)劃修建連接C和l上點(diǎn)D的直線型道路CED，其中E在湖泊邊界上，CE段建造橋梁，每千米費(fèi)用為4a萬(wàn)元，ED段建造公路，每千米費(fèi)用為a萬(wàn)元．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．（1）求圓形湖泊的半徑長(zhǎng)；（2）如何規(guī)劃道路CED建設(shè)，可使修建總費(fèi)用最少？19．（16分）對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），若存在常數(shù)t，使得任意的x∈R都有f（t+x）+f（t﹣x）＝0，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸上的點(diǎn)P（t，0）對(duì)稱．（1）若f（x）是R上單調(diào)函數(shù)且其圖象關(guān)于點(diǎn)P（t，0）對(duì)稱，證明：函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)；（2）已知函數(shù)g（x）＝x3+3x2﹣2，證明：函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于x軸上的點(diǎn)P對(duì)稱，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．（16分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)（m，0）（m≠0）和直線x＝稱為橢圓C的一個(gè)“共軛點(diǎn)線對(duì)“．（1）若橢圓C的離心率為，點(diǎn)P（1，0）和直線l：x＝4為橢圓C的一個(gè)“共軛點(diǎn)線對(duì)“．①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；②過(guò)點(diǎn)P作一條直線交橢圓于M，N，證明：直線AM和BN的交點(diǎn)在直線l上；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)與橢圓的“共軛點(diǎn)線對(duì)”有關(guān)的一般性結(jié)論，不要求證明．21．（10分）已知矩陣A＝，B＝，若直線l：x﹣y+2＝0在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線l1，求直線l1的方程．22．（10分）在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，），圓心C為直線ρsin（）＝﹣與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程．23．（10分）如圖，在三棱錐D﹣ABC中，DC⊥平面ABC，AC＝2，BC＝2，AC⊥BC，E是AD的中點(diǎn)，若直線BE和CD所成角為60°．（1）求平面EBC與平面ABC所成的二面角；（2）求直線BD與平面EBC所成角的正弦值．24．（10分）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，n∈N*．（1）求a1，a2，a3，a4，a5；（2）由（1）猜想an與an+1的大小，并加以證明．

2018-2019學(xué)年江蘇省南通市啟東市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1．（5分）命題“?x∈N，x2≤x”的否定是?x∈N，x2＞x．【分析】根據(jù)命題“?x∈N，x2≤x”是特稱命題，其否定為全稱命題，即?x∈N，x2＞x，從而得到答案．【解答】解：∵命題“?x∈N，x2≤x”是特稱命題∴否定命題為；?x∈N，x2＞x故答案為：?x∈N，x2＞x．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全稱命題與特稱命題的轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題．2．（5分）復(fù)數(shù)z＝（2+i）（1﹣i），其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模是．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【解答】解：∵z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i，∴|z|＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．3．（5分）某學(xué)校高一年級(jí)有1800名學(xué)生，高二年級(jí)有1500名學(xué)生，高三年級(jí)有1200名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則應(yīng)在高二年級(jí)抽取50人．【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：由分層抽樣的定義得應(yīng)在高二年級(jí)抽取×150＝＝50，故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．4．（5分）執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出y的值為3，則輸入x的值為﹣．【分析】算法的功能是求y＝的值，根據(jù)輸出y的值為3，分別求出當(dāng)x≥0時(shí)和當(dāng)x＜0時(shí)的x值．【解答】解：由程序語(yǔ)句知：算法的功能是求y＝的值，當(dāng)x≥0時(shí)，y＝x+4＝3，可得：x＝﹣1（舍去）；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x2+1＝3，可得：x＝﹣，或（舍去），綜上x(chóng)的值為：﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語(yǔ)句，根據(jù)語(yǔ)句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）如圖是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的抽樣頻率分布直方圖，則日睡眠時(shí)間在[7，9]內(nèi)的學(xué)生所占百分比為78%．【分析】由頻率分布直方圖求出日睡眠時(shí)間在[7，9]內(nèi)的學(xué)生的頻率，由此能求出日睡眠時(shí)間在[7，9]內(nèi)的學(xué)生所占百分比．【解答】解：如圖是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的抽樣頻率分布直方圖，由頻率分布直方圖得日睡眠時(shí)間在[7，9]內(nèi)的學(xué)生的頻率為：（0.66+0.74+0.12+0.04）×0.5＝0.78，∴日睡眠時(shí)間在[7，9]內(nèi)的學(xué)生所占百分比為0.78×100%＝78%．故答案為：78．【點(diǎn)評(píng)】本題考查日睡眠時(shí)間在[7，9]內(nèi)的學(xué)生所占百分比的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（5分）如圖所示的算法中，若輸出的結(jié)果是31，則判斷框中的整數(shù)M的值為4．【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S＝1+21+22+23+24＝31的值，并輸出．【解答】解：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的值如下表示：是否繼續(xù)循環(huán)Sx循環(huán)前/11第一圈是1+212第二圈是1+21+223第三圈是1+21+22+234第四圈是1+21+22+23+245∵輸出的結(jié)果是31故繼續(xù)循環(huán)的條件x不能超過(guò)4．故M＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝2i，z2＝1+i，則復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于第一象限．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：∵z1＝2i，z2＝1+i，∴z＝＝，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），位于第一象限．故答案為：一．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．8．（5分）“m＞0”是“方程+y2＝1表示橢圓”的必要不充分條件．（從“充分不必要”“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，選出適當(dāng)?shù)囊环N填空）【分析】求出橢圓表示方程的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若方程+y2＝1表示橢圓，得m＞0且m≠1，則“m＞0”是“方程+y2＝1表示橢圓”的必要不充分條件，故答案為：必要不充分【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合橢圓方程的定義求出m的范圍是解決本題的關(guān)鍵．9．（5分）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則（n∈N*）是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．類似地，若數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則（n∈N*）是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得：＝＝d，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及類比推理的知識(shí)可得：類比到正項(xiàng)等比數(shù)列：an+1＝a1qn，所以＝＝q與n無(wú)關(guān)，得解．【解答】解：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：an+1＝a1+nd，所以＝＝d，類比到正項(xiàng)等比數(shù)列：an+1＝a1qn，所以＝＝q與n無(wú)關(guān)，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及類比推理的知識(shí)，屬中檔題．10．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，且PF＝4OF，則點(diǎn)P到x軸的距離為【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組求得x0、y0，再求點(diǎn)P到x軸的距離．【解答】解：拋物線y2＝8x中，p＝8，∴拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣2；設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則，，∴則點(diǎn)P到x軸的距離為|y|＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．11．（5分）若“存在x∈[﹣1，1]，a?3x+2x+1＞0成立”為真命題，則a的取值范圍是（﹣，+∞）．【分析】方程有解問(wèn)題通常用分離變量值域法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）＝＝+（xx∈[﹣1，1]值域即可得解．【解答】解：“存在x∈[﹣1，1]，a?3x+2x+1＞0成立”，即﹣a＜在x∈[﹣1，1]有解，設(shè)f（x）＝＝+（xx∈[﹣1，1]，易得y＝f（x）在[﹣1，1]為減函數(shù)，所以f（x）∈[f（1），f（﹣1）]，即1，即﹣a＜，所以a＞﹣，故答案為：（﹣，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及方程有解問(wèn)題，屬中檔題．12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2＝4，以C（2，t）（t＞0）為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）且與圓O交于M，N兩點(diǎn)，若MN＝2，則正數(shù)t的值為2．【分析】根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)，結(jié)合等腰直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：由題意知?jiǎng)訄A的半徑為t，∵A（2，0）同時(shí)在兩個(gè)圓上，∴兩圓相交時(shí)，A與N重合，∵M(jìn)N＝2，∴取MN的中點(diǎn)B，則BN＝，∵OA＝2，∴△OAB為等腰直角三角形，則△OAC為等腰直角三角形，則AC＝OA＝2，即t＝2，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．13．（5分）把數(shù)列{an}的各項(xiàng)按照如圖規(guī)律排成三角形數(shù)陣；若an＝2n﹣1，n∈N*，則該數(shù)陣的第20行所有項(xiàng)的和為﹣761．【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組求和及歸納推理可得：第20行共20×2﹣1＝39項(xiàng)，最后一項(xiàng)的項(xiàng)為﹣a，第一項(xiàng)為：﹣a，從左到右按相鄰兩項(xiàng)分組，每一組的和為2，該數(shù)陣的第20行所有項(xiàng)的和S＝2×19﹣a＝38﹣（2×202﹣1）＝﹣761，得解．【解答】解：由該數(shù)陣的規(guī)律可得：第1行的最后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為1＝12，第2行的最后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為4＝22，第3行的最后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為9＝32則第n行的最后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為n2，則該數(shù)陣的第20行最后一項(xiàng)的項(xiàng)為﹣a，第一項(xiàng)為：﹣a由已知有：第20行共20×2﹣1＝39項(xiàng)，則從左到右按相鄰兩項(xiàng)分組，每一組的和為2，則該數(shù)陣的第20行所有項(xiàng)的和S＝2×19﹣a＝38﹣（2×202﹣1）＝﹣761，故答案為：﹣761．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及分組求和，歸納推理能力，屬難度較大的題型．14．（5分）如圖，已知點(diǎn)A，B分別是橢圓+＝1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作直線CD∥AB且交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若AB：CD＝3：4，則該橢圓的離心率為．【分析】由已知求得|AB|，再求出CD所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求得CD，結(jié)合AB：CD＝3：4列式求解．【解答】解：|AB|＝，，則CD所在直線方程為y＝，聯(lián)立，可得2x2﹣2cx﹣b2＝0．設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則，．∴|CD|＝由AB：CD＝3：4，得：，化簡(jiǎn)得：（2a2﹣9c2）（2a2﹣c2）＝0．又e∈（0，1），解得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是中檔題．二、解答題：本大題共10小題，共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（14分）已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），且該雙曲線過(guò)點(diǎn)P（6，2）．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上的點(diǎn)M滿足MF1⊥F1F2，求△MF1F2的面積．【分析】（1）由雙曲線定義求出2a，結(jié)合c可求b，從而得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出x＝﹣4時(shí)y2，得|MF1|＝|y|，由S＝|MF1||F1F2|可求結(jié)果．【解答】解：（1）2a＝﹣＝4，∴a2＝（2）2＝12，又c＝4，∴b2＝42﹣（2）2＝4，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）x＝﹣4時(shí)，y2＝，∴|MF1|＝，∴S＝|MF1||F1F2|＝××8＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，解答關(guān)鍵是利用雙曲線的定義．16．（14分）從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）[60，70）這一組的頻率和頻數(shù)分別是多少？（2）估計(jì)該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）；（3）利用頻率分布直方圖的組中值對(duì)該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽平均分進(jìn)行估計(jì)．【分析】（1）由頻率分布直方圖能求出[60，70）這一組的頻率和頻數(shù)．（2）由頻率分布直方圖求出該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽60分以上的頻率，由此能估計(jì)該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率．（3）利用頻率分布直方圖的組中值，能估計(jì)該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽平均分．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：[60，70）這一組的頻率為：1﹣（0.005+0.010+0.03+0.03+0.01）×10＝0.15，∴[60，70）這一組的頻數(shù)為：0.15×60＝9．（2）由頻率分布直方圖得該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽60分以上的頻率為：1﹣（0.005+0.010）×10＝0.85，∴估計(jì)該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）為：0.85×100%＝85%．（3）利用頻率分布直方圖的組中值，估計(jì)該次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽平均分為：45×0.005×10+55×0.010×10+65×0.015×10+75×0.03×10+85×0.03×10+95×0.010×10＝75．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率、頻數(shù)、及格率、平均分的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（14分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣x+a，集合A＝{x|﹣1≤x≤1}．（1）設(shè)B＝{x|f（x）≤0}，若x∈A是x∈B的充分不必要條件，求a的取值范圍；（2）對(duì)任意x∈A，不等式f（x）≥ax﹣1恒成立，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)充分條件和必要條件的定義轉(zhuǎn)化當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）≤0恒成立進(jìn)行求解（2）利用參數(shù)分離法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可【解答】解：（1）若若x∈A是x∈B的充分不必要條件，即當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）≤0恒成立，即，得，即，即a≤﹣2，（2）當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）≥ax﹣1恒成立，即x2﹣x+a≥ax﹣1恒成立，即x2﹣x+1≥a（x﹣1），當(dāng)x＝1時(shí)，1≥0成立，當(dāng)﹣1≤x＜1時(shí)，不等式等價(jià)為a≥，令t＝x﹣1，則x＝t+1，﹣2≤t＜0，則＝＝＝t++1，∵﹣2≤t＜0，∴t++1＝1﹣（﹣t﹣）≤1﹣2＝1﹣2＝﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)﹣t＝﹣，即t＝﹣1時(shí)，取等號(hào)，則a≥﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，結(jié)合不等式恒成立轉(zhuǎn)函數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．18．（16分）在直線型公路l西側(cè)有一邊界近似看成圓形的湖泊，某觀測(cè)者在l上A處測(cè)得湖泊的視角余弦值為（視角是指兩視線與圓形湖泊相切時(shí)所成的角），向北行駛2千米到達(dá)B處測(cè)得視角為60°．已知點(diǎn)B和湖泊邊界上點(diǎn)C分別在圓心O的正東和正西方向．現(xiàn)規(guī)劃修建連接C和l上點(diǎn)D的直線型道路CED，其中E在湖泊邊界上，CE段建造橋梁，每千米費(fèi)用為4a萬(wàn)元，ED段建造公路，每千米費(fèi)用為a萬(wàn)元．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．（1）求圓形湖泊的半徑長(zhǎng)；（2）如何規(guī)劃道路CED建設(shè)，可使修建總費(fèi)用最少？【分析】（1）用半徑r表示出OB，OA，根據(jù)二倍角公式列方程求出r即可；（2）設(shè)∠BCD＝α，求出CE，CD，得出修建總費(fèi)用關(guān)于α的函數(shù)，利用基本不等式得出結(jié)論．【解答】解：（1）連接OA，設(shè)湖泊半徑為r，則OB＝2r，∴OA＝＝2，設(shè)圓O的過(guò)A的切線與圓O切于M，則sin∠OAM＝＝，∴cos2∠OAM＝1﹣2sin2∠OAM＝，即1﹣＝，解得r＝．故圓形湖泊的半徑長(zhǎng)為．（2）設(shè)∠BCD＝α，則CE＝cosα，CD＝，∴修建總費(fèi)用y＝4a?cosα+a（﹣cosα）＝2a?cosα+≥2＝4a．當(dāng)且僅當(dāng)2a?cosα＝，即cosα＝時(shí)取等號(hào)．∴當(dāng)∠BCD＝時(shí)，可使修建總費(fèi)用最少．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（16分）對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），若存在常數(shù)t，使得任意的x∈R都有f（t+x）+f（t﹣x）＝0，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸上的點(diǎn)P（t，0）對(duì)稱．（1）若f（x）是R上單調(diào)函數(shù)且其圖象關(guān)于點(diǎn)P（t，0）對(duì)稱，證明：函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)；（2）已知函數(shù)g（x）＝x3+3x2﹣2，證明：函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于x軸上的點(diǎn)P對(duì)稱，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）由已知可得f（t+x）+f（t﹣x）＝0對(duì)于任意的x都成立，令x＝0可求f（t）＝0，然后結(jié)合f（x）是R上單調(diào)函數(shù)，及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可證（2）由題意可知g（t+x）+g（t﹣x）＝0恒成立，代入可求t，進(jìn)而可求P【解答】證明：（1）∵∵f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（t，0）對(duì)稱，∴f（t+x）+f（t﹣x）＝0對(duì)于任意的x都成立，令x＝0可得2f（t）＝0即f（t）＝0，∵f（x）是R上單調(diào)函數(shù)，由函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可知，函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)；（2）設(shè)g（x）＝x3+3x2﹣2關(guān)于P（t，0）對(duì)稱，∴g（t+x）+g（t﹣x）＝（t+x）3+3（t+x）2﹣2+（t﹣x）3+3（t﹣x）2﹣2＝0恒成立∴0＝2t3+6（t+1）x2﹣4+6t2恒成立，6（t+1）＝0且2t3﹣4+6t2＝0，∴t＝﹣1，即g（x）關(guān)于（﹣1，0）對(duì)稱，即P（﹣1，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查了考生的邏輯思維能力的應(yīng)用，屬于中檔試題20．（16分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)（m，0）（m≠0）和直線x＝稱為橢圓C的一個(gè)“共軛點(diǎn)線對(duì)“．（1）若橢圓C的離心率為，點(diǎn)P（1，0）和直線l：x＝4為橢圓C的一個(gè)“共軛點(diǎn)線對(duì)“．①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；②過(guò)點(diǎn)P作一條直線交橢圓于M，N，證明：直線AM和BN的交點(diǎn)在直線l上；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)與橢圓的“共軛點(diǎn)線對(duì)”有關(guān)的一般性結(jié)論，不要求證明．【分析】（1）①求得a，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；②將直線l：y＝k（x﹣1）代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出直線AM，BN的方程，解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，化簡(jiǎn)整理，即可得到交點(diǎn)在定直線x＝4上；（2）由（1）的結(jié)論，可得直線AM和BN的交點(diǎn)在定直線x＝上．【解答】解：（1）①由題意可得e＝＝，a2＝4，即a＝2，c＝，b＝＝1，則橢圓方程為+y2＝1；②設(shè)過(guò)P的直線MN為y＝k（x﹣1），代入橢圓方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）＝0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝，可得5（x1+x2）＝8+2x1x2，直線AM的方程為y＝（x+2），即y＝（x+2），直線BN的方程為y＝（x﹣2），即y＝（x﹣2），聯(lián)立得x＝＝＝4，所以直線AM與直線BN的交點(diǎn)在定直線x＝4上；（2）一般性結(jié)論為：已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)（m，0）（m≠0）和直線x＝，過(guò)點(diǎn)（m，0）的直線與橢圓交于M，N，則直線AM，BN的交點(diǎn)在定直線x＝上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法和直線方程和橢圓方程聯(lián)立，以及直線的交點(diǎn)求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．21．（10分）已知矩陣A＝，B＝，若直線l：x﹣y+2＝0在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線l1，求直線l1的方程．【分析】本題可先算出AB的乘積矩陣，然后設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到一點(diǎn)P′（x′，y′），則點(diǎn)P′（x′，y′）在直線l1上．然后根據(jù)矩陣變換公式可得到x，y與x′，y′的表達(dá)關(guān)系式，然后將x，y用x′，y′表示出來(lái)，代入直線l的直線方程，即可得到直線l1的方程．【解答】解：由題意，可知：AB＝A?B＝?＝．由題意，可設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到一點(diǎn)P′（x′，y′），則點(diǎn)P′（x′，y′）在直線l1上．∵?＝，即：＝．∴．即：．∵點(diǎn)P（x，y）在直線l上，∴可將：代入x﹣y+2＝0，得：整理，得：x′﹣6y′+6＝0．∴直線l1的方程為x﹣6y+6＝0．故答案為：x﹣6y+6＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考査一條直線l上經(jīng)過(guò)矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一條直線，已知其中一條直線方程求另一條直線方程．本題屬基礎(chǔ)題．22．（10分）在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，），圓心C為直線ρsin（）＝﹣與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程．【分析】求出P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，），圓心C的直角坐標(biāo)為（2，0），從而求出圓半徑r＝|PC|＝2，進(jìn)而求出圓C的直角坐標(biāo)方程，由此能求出圓C的極坐標(biāo)方程．【解答】解：∵圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，），P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，），圓心C為直線ρsin（）＝﹣與極軸的交點(diǎn)，直線ρsin（）＝﹣的直角坐標(biāo)方程為x﹣y﹣2＝0，∴圓心C的直角坐標(biāo)為（2，0），∴圓半徑r＝|PC|＝＝2，∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（