學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊學(xué)案：4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用含解析4。5。3函數(shù)模型的應(yīng)用必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點1指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c（a，b，c為常數(shù)，b≠0，a〉0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m,a，n為常數(shù),m≠0，a〉0且a≠1）知識點2解函數(shù)應(yīng)用題的基本思路與步驟1．建立函數(shù)模型解決實際問題的基本思路2．建立函數(shù)模型解決實際問題的解題步驟某些實際問題提供的變量關(guān)系是確定的，即設(shè)自變量為x，因變量為y。它們已建立了函數(shù)模型，我們可以利用該函數(shù)模型得出實際問題的答案．具體解題步驟為：第一步，審題，引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型．了解變量的含義，若模型中含有待定系數(shù)，則需要進一步用待定系數(shù)法或其他方法確定．第二步，求解數(shù)學(xué)模型．利用數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等,對函數(shù)模型進行解答．第三步，轉(zhuǎn)譯成實際問題的解．知識點3擬合函數(shù)模型問題定量分析和研究實際問題時，要深入調(diào)查、研究、了解對象信息，作出簡化假設(shè),用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子(也就是數(shù)學(xué)模型），然后計算得到模型的結(jié)果,并進行檢驗,最后解釋實際問題．這個建立數(shù)學(xué)模型的全過程，就稱為數(shù)學(xué)建模．根據(jù)收集的數(shù)據(jù)或給出的數(shù)據(jù)畫出散點圖，然后選擇函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式，再進行擬合、比較，選出最恰當?shù)暮瘮?shù)模型的過程，稱為函數(shù)擬合(或數(shù)據(jù)擬合)．1．建立擬合函數(shù)模型的步驟（1）收集數(shù)據(jù)．（2）根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系內(nèi)畫出散點圖．(3)根據(jù)點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函數(shù)模型．（4)選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型．（5)將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型中進行檢驗，看其是否符合實際，若不符合實際，則返回步驟（3)，若符合實際，則進入下一步．(6)用所得函數(shù)模型解釋實際問題．2．建立擬合函數(shù)模型的一般流程根據(jù)建立擬合函數(shù)模型的步驟，我們用如圖來表示建立擬合函數(shù)模型的一般流程．基礎(chǔ)自測1．某廠2008年的產(chǎn)值為a萬元，預(yù)計產(chǎn)值每年以n％的速度遞增，則該廠到2020年的產(chǎn)值(單位：萬元)是（B）A．a(chǎn)(1＋n%）13 B．a(chǎn)（1＋n%)12C．a(chǎn)(1＋n%)11 D．a(chǎn)(1－n％）12[解析]2008年的產(chǎn)值為a萬元，2009年的產(chǎn)值為a＋a·n%＝a（1＋n％）,2010年的產(chǎn)值為a（1＋n%)＋a(1＋n％）·n％＝a（1＋n％）2,…,2020年的產(chǎn)值為a（1＋n％)12。2．某種細菌經(jīng)30分鐘個數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，且該種細菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt，其中k為常數(shù),t表示時間（單位：時)，y表示繁殖后細菌總個數(shù),則k＝__2ln2__,經(jīng)過5小時，1個細菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)開_1024__。[解析]由題意知，當t＝eq\f（1，2）時，y＝2，即2＝eeq\s\up4(\f（1,2)）k，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.當t＝2時，y＝e2×5×ln2＝210＝1024。即經(jīng)過5小時，1個細菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)?024.3．某種動物繁殖數(shù)量y（只）與時間x（年)的關(guān)系為y＝alog2（x＋1）,設(shè)這種動物第1年有100只,則第7年它們繁殖到__300__只．[解析]由題意，繁殖數(shù)量y(只）與時間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，這種動物第1年有100只，所以100＝alog2（1＋1),所以a＝100,所以y＝100log2(x＋1),所以當x＝7時y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習活動,一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗數(shù)據(jù)：x1.99345。18y0.991.582.012。353.00現(xiàn)有如下5個模擬函數(shù)：①y＝0.58x－0。16；②y＝2x－3。02；③y＝x2－5。5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝（eq\f(1，2))x＋1.74.請從中選擇一個模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選__④__（填序號)．[解析］畫出散點圖如圖所示:由圖可知上述散點大致在函數(shù)y＝log2x上,故函數(shù)y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例12011年10月31日世界人口達到70億，假設(shè)世界人口年增長率為2。1‰，用英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯提出自然狀態(tài)下的人口增長模型：y＝y(tǒng)0ert預(yù)測什么時候世界人口會翻一番?[分析]解指數(shù)方程，要進行指對式互化．［解析]由2011年世界人口數(shù)據(jù)，把y0＝70,r＝0。0021代入馬爾薩斯人口模型，得y＝70e0.0021t。解不等式y(tǒng)＝70e0.0021t≥140得t≥eq\f(ln2，0。0021）≈330。所以由馬爾薩斯人口模型估算，經(jīng)過330年后,即2341年世界人口達到140億．［歸納提升]指數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法(1）指數(shù)型函數(shù)模型：y＝max(a〉0且a≠1，m≠0)，在實際問題中,有關(guān)人口增長,銀行利率，細胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示．（2)指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實際情況確立解析式中的參數(shù),③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題,④得出結(jié)論．【對點練習】?目前某縣有100萬人．經(jīng)過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1。2%。請回答下列問題:(1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2)計算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；（3）計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬（精確到1年）．［解析］（1）當x＝1時，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1。2％)當x＝2時,y＝100（1＋1.2％）＋100(1＋1。2％)×1。2％＝100(1＋1.2%)2；當x＝3時,y＝100（1＋1。2％)2＋100（1＋1.2%）2×1。2％＝100(1＋1.2%)3；……故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝100（1＋1.2％)x(x∈N＊)．（2）當x＝10時,y＝100(1＋1。2％）10＝100×1。01210≈112。7，故10年后該縣人口總數(shù)約有112.7萬人．(3)設(shè)x年后該縣人口總數(shù)將達到120萬人，即y＝100（1＋1。2%)x＝120，解得x＝log1。012eq\f（120，100）≈16.故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬人．題型二對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例2有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝eq\f(1，2)log3eq\f(x，100）－lgx0，單位是km/min，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，x0代表測量過程中某類候鳥每分鐘的耗氧量偏差(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.30，31。2＝3。74,31。4＝4。66）．(1)當x0＝2，候鳥每分鐘的耗氧量為8100個單位時，候鳥的飛行速度是多少km/min?(2）當x0＝5,候鳥停下休息時,它每分鐘的耗氧量為多少單位？(3)若雄鳥的飛行速度為2.5km/min，同類雌鳥的飛行速度為1.5km/min，則此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍?［分析］(1）將x0，x代入解析式求速度．(2）利用候鳥休息的速度為0解題．（3）利用對數(shù)運算，兩式相減構(gòu)成耗氧量的商．[解析］（1）由題意，x0＝2,x＝8100，得v＝eq\f（1，2）log3eq\f（8100，100）－lg2＝1。7，故此時候鳥的飛行速度為1.7km/min.（2)由題意得，當候鳥停下休息時,它的速度是0，可得，0＝eq\f（1，2)log3eq\f（x，100）－lg5，即log3eq\f(x,100）＝2lg5，解得:x＝466，故候鳥停下休息時每分鐘的耗氧量為466個單位．(3)設(shè)雄鳥的耗氧量為x1，雌鳥的耗氧量為x2，由題意得：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2.5＝\f（1,2)log3\f(x1,100)－lgx0，,1.5＝\f（1,2)log3\f（x2,100）－lgx0，))兩式相減可得1＝eq\f（1,2)log3eq\f(x1,x2），解得：eq\f（x1,x2）＝9，故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的9倍．[歸納提升］對數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法(1)對數(shù)型函數(shù)模型:y＝mlogax＋c（m≠0，a〉0且a≠1），對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對數(shù)的運算求解．（2)對數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題，④得出結(jié)論．【對點練習】?大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v（單位：m/s）與其耗氧量單位數(shù)Q之間的關(guān)系可以表示為函數(shù)v＝klog3eq\f（Q,100)＋b,其中k，b為常數(shù)．已知一條鮭魚在靜止時的耗氧量為100個單位；而當它的游速為1.5m/s時，其耗氧量為2700個單位．（1）求出游速v與其耗氧量單位數(shù)Q之間的函數(shù)解析式；(2)求當一條鮭魚的游速不高于2.5m/s時，其耗氧量至多需要多少個單位．［解析](1)由題意可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0＝k·log3\f（100,100)＋b,，1。5＝k·log3\f（2700,100）＋b，））解得k＝eq\f(1，2），b＝0，所以游速v與其耗氧量單位數(shù)Q之間的函數(shù)解析式v＝eq\f（1，2）log3eq\f（Q,100)。（2）由題意，有eq\f（1,2）log3eq\f（Q，100）≤2.5，即log3eq\f(Q，100）≤5，所以log3eq\f(Q,100）≤log335，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有0<eq\f（Q,100）≤35，解得0<Q≤24300，故當一條鮭魚的游速不高于2。5m/s時，其耗氧量至多需要24300個單位．誤區(qū)警示忽視實際問題對定義域的限制致誤例3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，它可以表示為商品數(shù)量的函數(shù)．現(xiàn)知一企業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量為x(件)時的成本函數(shù)為y＝10＋2x＋2x2(萬元)，如果售出一件商品的價格是20萬元,那么該企業(yè)所能獲取的最大利潤是多少？[錯解］設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤為z萬元，則z＝20x－（10＋2x＋2x2）,即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5）2＋30。5,故z的最大值為30。5，即該企業(yè)所能獲取的最大利潤為30.5萬元．［錯因分析]題目中的條件已經(jīng)暗示了x為自然數(shù)，而該錯解中卻是在x＝4。5時取到的最大值30.5，這種情況在實際中是無法操作的．［正解]設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤為z萬元,則z＝20x－(10＋2x＋2x2）（x∈N）,即z＝－2x2＋18x－10＝－2（x－4.5）2＋30.5，故當x＝4或5時，z取最大值30，即該企業(yè)生產(chǎn)4件或5件商品時所取得的利潤最大,為30萬元．學(xué)科素養(yǎng)二分法的數(shù)學(xué)思想方法是將方程的根看作函數(shù)的零點,利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),將求方程根的問題轉(zhuǎn)化為計算函數(shù)值，逐步逼近零點，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)推理．例4已知函數(shù)f（x）＝lnx＋2x－6.（1）證明：f(x)有且僅有一個零點；（2）求這個零點所在的一個區(qū)間,使這個區(qū)間的長度不大于eq\f（1,4）。［解析]（1)∵函數(shù)y＝lnx，y＝2x－6在（0，＋∞）上都是增函數(shù)，∴f(x）＝lnx＋2x－6在（0,＋∞）上是增函數(shù),∴f（x）至多有一個零點，由f（2)＝ln2－2〈0,f（3)＝ln3〉0，∴f(2)·f（3)<0,∴f(x)在（2,3)內(nèi)至少有一個零點，∴f(x)有且僅有一個零點．(2）∵f（2）〈0，f（3）〉0，取x1＝eq\f(2＋3,2）＝eq\f(5，2)，f(eq\f(5，2））＝lneq\f(5,2)＋5－6＝lneq\f(5,2）－1<0,∴f(3)·f(eq\f（5,2））<0，∴f（x）的零點x0∈(eq\f（5,2)，3)．取x2＝eq\f(\f（5，2）＋3,2)＝eq\f(11,4），f(eq\f(11，4)）＝lneq\f(11，4）＋2×eq\f（11,4）－6＝lneq\f(11,4)－eq\f(1,2）>0,∴f(eq\f(11,4)）·f(eq\f（5，2）)〈0，∴x0∈（eq\f(5,2)，eq\f(11，4）)．∵｜eq\f(11,4)－eq\f（5，2)|＝eq\f(1,4)≤eq\f（1,4），∴滿足題意的區(qū)間為(eq\f（5,2），eq\f（11，4））．課堂檢測·固雙基1．如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),由此判斷它最可能的函數(shù)模型為(A)x45678910y15171921232527A．一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型［解析］隨著自變量每增加1，函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故為線性函數(shù)即一次函數(shù)模型．2．當x越來越大時，下列函數(shù)中,增長速度最快的應(yīng)是(D)A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3 D．y＝3x［解析]幾種函數(shù)模型中指數(shù)函數(shù)增長最快．3．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4％，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f（x)的圖象大致是(D）［解析］設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量