實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前1頁，總共46頁。§9.6實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形一、實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì)二、對(duì)稱變換三、實(shí)對(duì)稱矩陣可正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣四、實(shí)二次型的主軸問題當(dāng)前2頁，總共46頁。一、實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì)引理1

設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征值皆為實(shí)數(shù)．證：設(shè)是A的任意一個(gè)特征值，則有非零向量滿足當(dāng)前3頁，總共46頁。其中為的共軛復(fù)數(shù)，又由A實(shí)對(duì)稱，有令當(dāng)前4頁，總共46頁。當(dāng)前5頁，總共46頁。由于是非零復(fù)向量，必有故

當(dāng)前6頁，總共46頁。引理2

設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，在

n

維歐氏空間上定義一個(gè)線性變換如下：則對(duì)任意有

或當(dāng)前7頁，總共46頁。證：取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則在基下的矩陣為A，即當(dāng)前8頁，總共46頁。任取即當(dāng)前9頁，總共46頁。于是又是標(biāo)準(zhǔn)正交基，當(dāng)前10頁，總共46頁。二、對(duì)稱變換1、定義則稱為對(duì)稱變換（symmetrictransformation）．設(shè)為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足

2、基本性質(zhì)當(dāng)前11頁，總共46頁。（1）n維歐氏空間V的對(duì)稱變換與n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的：

1）

實(shí)對(duì)稱矩陣可確定一個(gè)對(duì)稱變換．

正交基．證：設(shè)為V的一組標(biāo)準(zhǔn)定義V的線性變換：則即為V的對(duì)稱變換．當(dāng)前12頁，總共46頁。2）

對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣．為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，證：設(shè)為n維歐氏空間V上的對(duì)稱變換，為

在這組基下的矩陣，即或當(dāng)前13頁，總共46頁。于是當(dāng)前14頁，總共46頁。即所以A為對(duì)稱矩陣．由是對(duì)稱變換，有當(dāng)前15頁，總共46頁。（2）（引理3）對(duì)稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間．對(duì)任取即證：設(shè)是對(duì)稱變換，W為的不變子空間．

由W是子空間，有因此故也為的不變子空間．當(dāng)前16頁，總共46頁。1、（引理4）實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于的特征向量．

則

三、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化是正交的．

基下的矩陣，證：設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A為上對(duì)稱變換的在標(biāo)準(zhǔn)正交是A的兩個(gè)不同特征值，當(dāng)前17頁，總共46頁。又即正交．有即由當(dāng)前18頁，總共46頁。（定理7）對(duì)總有正交矩陣T，使２、證：設(shè)A為上對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣．由實(shí)對(duì)稱矩陣和對(duì)稱變換互相確定的關(guān)系，只需證有n個(gè)特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可．當(dāng)前19頁，總共46頁。n=1時(shí)，結(jié)論是顯然的．

對(duì)的維數(shù)n用歸納法．

有一單位特征向量，其相應(yīng)的特征值為，即假設(shè)n－1時(shí)結(jié)論成立，對(duì)設(shè)其上的對(duì)稱變換設(shè)子空間顯然W是子空間，當(dāng)前20頁，總共46頁。則也是子空間，且

又對(duì)有所以是上的對(duì)稱變換．由歸納假設(shè)知有n－1個(gè)特征向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．當(dāng)前21頁，總共46頁。從而就是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，又都是的特征向量．即結(jié)論成立．當(dāng)前22頁，總共46頁。3、實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似實(shí)對(duì)角矩陣步驟設(shè)

(1)

求出A的所有不同的特征值：其重?cái)?shù)必滿足;

(2)

對(duì)每個(gè)，解齊次線性方程組

求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：當(dāng)前23頁，總共46頁。它是A的屬于特征值的特征子空間的一組基．正交基把它們按正交化過程化成的一組標(biāo)準(zhǔn)(3)因?yàn)榛ゲ幌嗤?，且所以?dāng)前24頁，總共46頁。則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，使為對(duì)角形．就是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．當(dāng)前25頁，總共46頁。例1

設(shè)

求一正交矩陣T使成對(duì)角形．解：先求A的特征值．當(dāng)前26頁，總共46頁。A的特征值為（三重）,其次求屬于的特征向量，即求解方程組當(dāng)前27頁，總共46頁。得其基礎(chǔ)解系

把它正交化，得

當(dāng)前28頁，總共46頁。再單位化，得當(dāng)前29頁，總共46頁。這是特征值(三重)的三個(gè)單位正交特征向量，也即是特征子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．當(dāng)前30頁，總共46頁。再求屬于的特征向量，即解方程組當(dāng)前31頁，總共46頁。得其基礎(chǔ)解

再單位化得

這樣構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是A的特征向量，正交矩陣

當(dāng)前32頁，總共46頁。當(dāng)前33頁，總共46頁。使得

當(dāng)前34頁，總共46頁。注意成立的正交矩陣不是唯一的．1.對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，使而且對(duì)于正交矩陣T,

還可進(jìn)一步要求當(dāng)前35頁，總共46頁。證：如果由上述方法求得的正交矩陣T

取正交矩陣則是正交矩陣且當(dāng)前36頁，總共46頁。同時(shí)有當(dāng)前37頁，總共46頁。2.如果不計(jì)較主對(duì)角線上元素的排列的次序，與實(shí)對(duì)稱矩陣A正交相似的對(duì)角矩陣是唯一確定的．3.因?yàn)檎幌嗨频木仃囈彩腔ハ嗪贤?，所以可用?shí)對(duì)稱矩陣的特征值的性質(zhì)刻畫其正定性：當(dāng)前38頁，總共46頁。設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有特征值(i)A為正定的(ii)A為半正定的(iii)A為負(fù)定（半負(fù)定）的

(iv)A為不定的且

當(dāng)前39頁，總共46頁。4.實(shí)對(duì)稱矩陣A的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為正、負(fù)特特征值的個(gè)數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)）．n－秩(A)是0為A的特征值的重?cái)?shù).當(dāng)前40頁，總共46頁。1、解析幾何中主軸問題將上有心二次曲線或上有心二次曲面通過坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，這個(gè)變換的矩陣是正交矩陣.四、實(shí)二次型的主軸問題2、任意n元實(shí)二次型的正交線性替換化標(biāo)準(zhǔn)形（1）正交線性替換如果線性替換X=CY的矩陣C是正交矩陣，則稱之為正交線性替換.當(dāng)前41頁，總共46頁。（2）任一n元實(shí)二次型

都可以通過正交的線性替換變成平方和

其中平方項(xiàng)的系數(shù)為A的全部特征值．當(dāng)前42頁，總共46頁。例2

在直角坐標(biāo)系下，二次曲面的一般方程是

①

②

則①式可以寫成

令當(dāng)前43頁，總共46頁。對(duì)②中的有正交矩陣C（且）確定的坐標(biāo)變換公