第節(jié)

等數(shù)及前

項(xiàng)突破點(diǎn)一等數(shù)列的基本運(yùn)算[基本知識(shí)]1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常(不為零，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比通常用字母表定的a表達(dá)式為＝.a(2)等比中項(xiàng)：如果a，，成等數(shù)列，那么G叫a與的等中項(xiàng)．即是a與b的等中項(xiàng)a，成等比數(shù)2．等比數(shù)列的有關(guān)公式

＝.(1)通項(xiàng)公式：a＝

.＝，(2)前項(xiàng)公式：S＝－a－q＝，≠1.1－q1－[基本能力]一、判斷題對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)滿足a＝qa(N為數(shù)的數(shù)列a}為等比數(shù)列()nn(2)為a，的比中G＝.()(3)若a}等比數(shù)列，b＝＋，則數(shù){b也是等比數(shù)列．)nnn(4)數(shù)列}的通項(xiàng)公式是aa，其前和為S＝nn

a－1－

.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×二、填空題a1．已知遞增的等比數(shù)列{a}中，＋＝，a·a＝，則＝________.答案：22．各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{a中，＝，＝a，公比值為_______．答案：3．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，若＝，＝a＋，則的是_______答案：4．已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)為S，＝1，＝，則S等________．nn

3n1－q3n1－q答案：

[典例感悟]1．已知正項(xiàng)數(shù){}為等比數(shù)，且5是與3的等中項(xiàng)，若a＝，該數(shù)列的前5項(xiàng)S＝)A.C.

3312314

B．31D．以上都不正確解析B設(shè)}的公比為q>0且≠1.已知得＋＝2×5a＋q＝3－10＝0q2或q＝－舍)a＝a＝S＝

a－1－＝

－1－2

＝31.2．(2018·全國卷)等比數(shù)列}，＝＝.(1)求a}通項(xiàng)公式；(2)記為的前n項(xiàng)，若S＝63求.nm解：(1)設(shè){a}的公比為q，由題得＝n

.由已知得q＝，解得q0(舍去或q＝－2或＝2.故＝－2)或a＝2.n(2)若＝－2)

，S＝

1－－3

.由＝，得－2)＝－188此方程沒有正整數(shù)解．若＝

1－2，＝－1－2由＝，得＝64，解得＝綜上，＝6.[方法技巧]解決等比數(shù)列基本量計(jì)算問題的常用思想方法(1)方程的思想：等比數(shù)列中有個(gè)量a，q，般可以“知三求二”，通過列方程組求鍵量a，問題可迎刃而解．(2)分類討論的思想：等比數(shù)列前n項(xiàng)公式涉及對公比分類討論，當(dāng)q＝時(shí)，a－{}的前項(xiàng)＝na；q≠1時(shí)，}前項(xiàng)S＝1－q[針對訓(xùn)練]

a＝.

＝，＝，1豫北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián))列{}滿足a＝＝－3an∈N)＝nA．1C．－1

B．3D．－解析：選C由意知數(shù)列{a是以－為公比的等比數(shù)列，∴＝－27，∴＝

27－

＝－故C.2．(2019·綿陽診斷性考)設(shè){a}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S其前n項(xiàng)和．已知naa＝，＝，則等(A.C.

152334

31B．417D．2a＝，解析：選B設(shè)數(shù)列a}的公比為q，則顯然q≠1，由題意－q－q

解，得1q＝2

，或1q＝－3

a－(舍)，∴＝1－

14231＝＝.141－23．(2019·蘭州診斷性測試)設(shè)列{＋1}一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知a＝，＝127.(1)求的值；(2)求數(shù)列}的前項(xiàng)．解由可知a＋1＝8＋＝128(a1)＝＋1)(＋1)＝8×128＝，可得a＋1＝32，即a＝31.(2)設(shè)數(shù)列＋的比為q由1)知

a＋1a1

a＋a＋

q，q，

得所以數(shù)列{a＋1}是一個(gè)以2為項(xiàng)2為公比的比數(shù)列，所以＋2，所以a＝－，n－利用分組求和可得，數(shù)列{a}的前n和＝－＝－－.1－2突破點(diǎn)二等數(shù)列的性質(zhì)

qbnaqbna[基本知識(shí)](1)若＋＝＋，則aa＝a，中，p，∈.別地，若2＝p＋，p＝，其中，s∈N.有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積即a·＝·＝…＝ank

＝(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等比數(shù)列，即aa，仍是等比數(shù)列，公m比為(，∈)．(3)若數(shù)列{a，}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列ba}，pa·}nnn中，，是零常數(shù)也等比數(shù)列．(4)當(dāng)q≠－1或＝1且k為數(shù)時(shí)，，S－，－，是等比數(shù)列，其公比kkk為.T(5)若·a·…·＝則，，，…成比數(shù)列．n[基本能力]1．在等比數(shù)列{a}中，＝，＝，a________.答案：2．(2019·長春調(diào))在正項(xiàng)等數(shù)列a}中，已a(bǔ)a＝，a＝12a＝n324，則n＝________.答案：3．已知等比數(shù){}中a＋＝，＋＝，＋等________．答案：4設(shè)比數(shù)列a中前n項(xiàng)為S已知S8＝則a＋＋等于_______．n1答案：8[典例感悟]1．(2019·洛陽尖子生高三第一聯(lián)在等比數(shù){}中aa是程

＋x＋＝aa0的，則的為)2＋2A．－2C.2

B．－2D．－2或2解析：選B設(shè)比數(shù)列{a}的比為q，因?yàn)閍，是方程x＋＋＝0的根，所以aaaa·a＝＝，＋＝6，所以a<0a，a＝－2，以＝＝＝2，a

a＋＋＋＝a＋＋＋＝＋.故選2．(2019·麗水模)設(shè)各項(xiàng)都正數(shù)的等比數(shù){}的n項(xiàng)和，且S＝，n＝，么S等于()A．C．或200

B．－D．400或－解析選A易SS－－S－成等比數(shù)列因此(－＝(－)(－10)＝10(70－)，故S＝20或S＝30.又>0，所以S＝30S－＝，S＝，S＝，所以S＝故A.[方法技巧]應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時(shí)的2個(gè)意點(diǎn)(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋＝＋(，，，∈)則a·＝·，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．[針對訓(xùn)練]1惠州調(diào))等比數(shù)列a的各項(xiàng)均為正數(shù)aa＋＝18loga＋loga＋…＋loga＝)A．12C．8

B．10D．2＋log5解析：選B∵＋＝，a＝，∴l(xiāng)og＋loga＋＋＝log(aa·…·a)＝log(a)＝9＝10.15912蘭州中測)在等數(shù){a}中若a＋＋＝a＝則＋88111＋＋等()A.

35

5B．33C．－5解析：選D

5D．－31111a＋a＋aaaa··a∵在等比數(shù){中，·＝·a，

11a＋155∴原式＝＝×.故選D.a8933．在等比數(shù)列{a}中，如果a＋＝，＋＝60那么＋＝()A．C．95解析選A

B．100D．80由等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)知a＋＋a＋成比數(shù)列，603其首項(xiàng)為40，比為＝，所a＋402突破點(diǎn)三等數(shù)列的判定與證a[典例](2018·全國卷)已數(shù){}滿足a＝，＝2(＋1).＝.n(1)求，b，；(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由(3)求a}通項(xiàng)公式．[解](1)由件可得a＝

n＋n

a將＝入得，＝，＝，以＝4.將＝入得，＝，以＝12.從而＝，＝，＝(2)數(shù)列}是首項(xiàng)為1，公比為2等比數(shù)列．理由如下：a2由條件可得＝，＝2bn＋n又＝，所以數(shù)列}是首項(xiàng)為1，公比為2等比數(shù)列．na(3)由(2)可得＝，以a＝·2nn[方法技巧等比數(shù)列的4種用判定方法

.定義法

若

a＝(為零常數(shù)n∈)或＝(為非零常數(shù)且≥2n∈)，a中項(xiàng)公式法

則}是等比數(shù)若數(shù)列}中，≠0＝·(∈)則}等比數(shù)列nnn通項(xiàng)公式法

若數(shù)列}的通公式可寫成a＝·n則}是等比數(shù)

(c均不為0常數(shù)∈N)，前n項(xiàng)和式

若數(shù)列}的前n和＝·－(k為常數(shù)且≠0，≠0,1)，{是

n2n2法

等比數(shù)列[提醒](1)證一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與中項(xiàng)公式法方法只用于選擇、填空題中的判定明數(shù)列不是等比數(shù)列要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對n＝時(shí)情況進(jìn)行驗(yàn)證．[針對訓(xùn)練(2019·湖北八校聯(lián))已知數(shù){}滿足a＝，4，＝4a－