2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點解密規(guī)律探索性問題

第一部分講解部分

--專題詮釋

規(guī)律探索型題是根據(jù)已知條件或題干所提供的若干特例，通過觀察、類比、歸納，發(fā)現(xiàn)

題目所蘊(yùn)含的數(shù)字或圖形的本質(zhì)規(guī)律與特征的一類探索性問題。這類問題在素材的選取、文

字的表述、題型的設(shè)計等方面都比較新穎新。其目的是考查學(xué)生收集、分析數(shù)據(jù)，處理信息

的能力。所以規(guī)律探索型問題備受命題專家的青睞，逐漸成為中考數(shù)學(xué)的熱門考題。

解題策略和解法精講

規(guī)律探索型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的

問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、

猜想來探索規(guī)律.它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題

能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答.。

三.考點精講

考點一：數(shù)與式變化規(guī)律

通常根據(jù)給定一列數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式，然后寫出其中蘊(yùn)含的一般規(guī)律，一

般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過比較各式子中相同的部分和不同的部分，找出各

部分的特征，改寫成要求的規(guī)律的形式。

例1.有一組數(shù)：一1，二3二57-9-----請觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第〃

25101726

為正整數(shù)）個數(shù)為.

分析：觀察式子發(fā)現(xiàn)分子變化是奇數(shù)，分母是數(shù)的平方加1.根據(jù)規(guī)律求解即可.

解答：解：

12x1-1

2~12+1；

3_2x2-1

5-22+1；

52x3-1

10-32+1；

7_2x4-1

17-42+1；

9_2x5-1

記二守=…

2〃——1

...第"(〃為正整數(shù))個數(shù)為

n2+l

點評：對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.此

題的規(guī)律為：分子變化是奇數(shù)，分母是數(shù)的平方加1.

例2(2019廣東汕頭)閱讀下列材料：

1x2=-(Ix2x3-Oxlx2),

3

2x3=-(2x3x4-1x2x3),

3

3x4=—(3x4x5—2x3x4),

3

由以上三個等式相加，可得Ix2+2x3+3x4=ix3x4x5=20.

3

讀完以上材料，請你計算下列各題：

(1)lx2+2x3+3x4+-+10xll(寫出過程)；

(2)]x2+2x3+3x4+..?+〃x(〃+l)=；

(3)Ix2x3+2x3x4+3x4x5+…+7x8x9=.

分析：仔細(xì)閱讀提供的材料，可以發(fā)現(xiàn)求連續(xù)兩個正整數(shù)積的和可以轉(zhuǎn)化為裂項相消法進(jìn)

彳亍簡化計算，從而得至I1公式Ix2+2x3+3x4+…+〃x(〃+l)

=§x[(1x2x3-0x1x2)+(2x3x4-1x2x3)+…+n(n+V)(n+2)--1)〃(〃+1)]

=；〃(〃+1)(〃+2)；照此方法，同樣有公式：

1X2X3+2X3X4+3X4X5H—+〃x(〃+l)x(〃+2)

=；[(1X2X3X4-0X1X2X3)+(2X3X4X5-1X2X3X4)+?..+〃X5+1)X(〃+2)X(〃+3)-(〃-1)X〃X5+1)X(〃+2)

=-n(n+1)(〃+2)(〃+3).

4

解：(1)V1x2=*1x2x3—0x1x2),

3

2x3=-(2x3x4—1x2x3),

3

3x4=-(3x4x5—2x3x4),...

10x11=1(10x11x12-9x10x11),

3

Ix2+2x3+3x4+---+10x11=1x10x11x12=440.

3

(2)；〃(〃+l)(〃+2).(3)1260.

點評：本題通過材料來探索有規(guī)律的數(shù)列求和公式，并應(yīng)用此公式進(jìn)行相關(guān)計算.本題系初、

高中知識銜接的過渡題，對考查學(xué)生的探究學(xué)習(xí)、創(chuàng)新能力及綜合運用知識的能力都有較高

的要求.如果學(xué)生不掌握這些數(shù)列求和的公式，直接硬做，既耽誤了考試時間，又容易出錯.而

這些數(shù)列的求和公式的探索，需要認(rèn)真閱讀材料，尋找材料中提供的解題方法與技巧，從而

較為輕松地解決問題.

例3(2019山東日照，19,8分)我們知道不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)不等

號的方向不變.不等式組是否也具有類似的性質(zhì)？完成下列填空：

你能應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明上述關(guān)系式嗎？

分析：可以用不等式的基本性質(zhì)和不等式的傳遞性進(jìn)行證明。

解答：>,>,<,>；

證明：*/?>/?,:.a+c>b+c.

又,：c>dfb+c>b+df

+c>〃+d.

點評：本題是?個考查不等式性質(zhì)的探索規(guī)律題，屬于中等題.要求學(xué)生具有熟練應(yīng)用

不等式的基本性質(zhì)和傳遞性進(jìn)行解題的能力.區(qū)分度較好.

考點二：點陣變化規(guī)律

在這類有關(guān)點陣規(guī)律中，我們需要根據(jù)點的個數(shù)，確定下一個圖中哪些部分發(fā)生了變化,

變化的的規(guī)律是什么，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律

是此類題目中的難點.

例1：如圖，在一個三角點陣中，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中各行點數(shù)依次為2,4,6,

2〃，…，請你探究出前”行的點數(shù)和所滿足的規(guī)律、若前"行點數(shù)和為930,則〃=()

A.29B.30C.31D.32

分析：有圖個可以看出以后每行的點數(shù)增加2,前〃行點數(shù)和也就是前n個偶數(shù)的和。

解答：解：設(shè)前〃行的點數(shù)和為s.

則尸2+4+6+...+2n=(2''+=〃(〃+1).

2

若s=930,則〃(n+1)=930.

(n+31)(n-30)=0.

；.〃=-31或30.故選B.

點評：主要考查了學(xué)生通過特例，分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力.

例2觀察圖給出的四個點陣，s表示每個點陣中的點的個數(shù)，按照圖形中的點的個數(shù)變化規(guī)律,

猜想第〃個點陣中的點的個數(shù)$為()

第1個第2個第3個第4個

S=1S=5S-9S=13

A.3〃-2B.3n-1C.4n+1D.4n-3

考點：規(guī)律型：圖形的變化類。

專題：規(guī)律型。

分析：根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)：第一個數(shù)是1,后邊是依次加4,則第〃個點陣中的

點的個數(shù)是1+4(?-1)=4〃-3.

解答：解：第〃個點陣中的點的個數(shù)是1+4(?-1)=4n-3.故選D.

點評：此題注意根據(jù)所給數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步整理計算.

考點三：循環(huán)排列規(guī)律

循環(huán)排列規(guī)律是運動著的規(guī)律，我們只要根據(jù)題目的已知部分分析出圖案或數(shù)據(jù)每隔幾

個圖暗就會循環(huán)出現(xiàn)，看看最后所求的與循環(huán)的第幾個一致即可。

例1：（2007廣東佛山）觀察下列圖形，并判斷照此規(guī)律從左向右第2007個圖形是（）

考點：規(guī)律型：圖形的變化類.

專題：規(guī)律型.

分析：本題的關(guān)鍵是要找出4個圖形一循環(huán)，然后再求2007被4整除后余數(shù)是3,從而確定

是第3個圖形.

解答：解：根據(jù)題意可知笑臉是1,2,3,4即4個一循環(huán).所以2007+4=501…3.所以是第

3個圖形.故選C.

點評：主要考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力.對于找規(guī)律的題目首

先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.通過分析找到各部分的變化規(guī)律后

直接利用規(guī)律求解.

例2：下列一串梅花圖案是按一定規(guī)律排列的，請你仔細(xì)觀察，

/合蟲好苗888孕...在前2012個梅花圖案中，共有個

邛”圖案.

考點：規(guī)律型：圖形的變化類.

專題：規(guī)律型.

分析：注意觀察圖形中循環(huán)的規(guī)律，然后進(jìn)行計算.

解答：解：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：依次是向上、右、下、左4個一循環(huán).所以2013+4=503

余1,則共有503+1=504個.

考點四：圖形生長變化規(guī)律

探索圖形生長的變化規(guī)律的題目常受到中考命題人的青睞，其原因是簡單、直觀、易If.從

一些基本圖形開始，按照生長的規(guī)律，變化出一系列有趣而美麗的圖形.因此也引起了應(yīng)試人的

興趣,努力揭示內(nèi)在的奧秘，從而使問題規(guī)律清晰,易于找出它的一般性結(jié)論.

例1(2019四川樂川)勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)

知識和人文價值.如圖所示，是一棵由正方形和含30。角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股

樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為Si,第二個正方形和第

二個直角三角形的面積之和為S2,…，第〃個正方形和第八個直角三角形的面積之和為S”.設(shè)

第一個正方形的邊長為1.

請解答下列問題：

(1)Si=；

(2)通過探究，用含"的代數(shù)式表示S”，則％=.

分析：根據(jù)正方形的面積公式求出面積，再根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系運用勾股定理

求出三角形的直角邊，求出S1,然后利用正方形與三角形面積擴(kuò)大與縮小的規(guī)律推導(dǎo)出公式.

解答：解：(1)???第一個正方形的邊長為1,

.??正方形的面積為1,

又?.?直角三角形一個角為30°,

二三角形的一條直角邊為;，另一條直角邊就是一g)2=乎,

.?.三角形的面積為1X—4-2=^,

228

??Si=l+—；

(2)?.?第二個正方形的邊長為坐，它的面積就是3,也就是第一個正方形面積的2,

244

同理，第二個三角形的面積也是第一個三角形的面積的士，

4

.?.52=(1+—)依此類推，S3=(1+—)即S3=(1+—)*(-)2,

8484484

5"=(1+字?(，'(〃為整數(shù)).

點評：本題重點考查了勾股定理的運用.

例2(2020重慶江津區(qū))如圖，四邊形ABCQ中，AC=a,BD=b,且AC_L順次連接

四邊形ABC。各邊中點，得到四邊形45。。，再順次連接四邊形48G9各邊中點，得到

四邊形A282c2。2…，如此進(jìn)行下去，得到四邊形An&Cnd.下列結(jié)論正確的有()

①四邊形4282c2。2是矩形；

②四邊形A4B4C4Q4是菱形；

③四邊形A5B5C5D5的周長是空2

④四邊形An&CnOn的面積是一次.

2'

A、①②B、②③C、②③④D、①②③④

分析：首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABCD中各邊長的長度關(guān)系

規(guī)律，然后對以下選項作出分析與判斷：

①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；

②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷；

③由四邊形的周長公式：周長=邊長之和，來計算四邊形485c5。5的周長；

④根據(jù)四邊形An&GA的面積與四邊形ABC。的面積間的數(shù)量關(guān)系來求其面積.

解答：解：①連接4C”BIDL

:在四邊形ABC。中，順次連接四邊形A8C￡＞各邊中點，得到四邊形AiBQDi,

：.A\D\//BD,B\C\//BD,C\D\//AC,A|B|〃AC；

：.AXD\//B\C\,A\B\//C\D\,

四邊形ABC。是平行四邊形；

...8OI=AIG（平行四邊形的兩條對角線相等）；

：.A2D2-=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），

四邊形4282c2。2是菱形；

故本選項錯誤；

②由①知，四邊形A2&C2O2是菱形；

???根據(jù)中位線定理知，四邊形ZUB4c氫54是菱形；故本選項正確；

③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，ASB5=一A.；B3=-X—A\B\=-X—X—AB,BsCs=-B3c3

2222222

11111

=-X—B\C\=—X—X—BC,

22222

...四邊形AsB5c5D5的周長是2x1（a+h）=色吆；故本選項正確；

84

④；四邊形ABCD中，AC=a,BD=b,且4C_LB。，

:.SmKABCD=ah；

由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

四邊形AnBnCnDn的面積是；

2"

故本選項錯誤；

綜上所述，②③④正確；

故選C.

點評：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角

形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）.解答此題時，需理清菱形、矩形與平行四邊

形的關(guān)系.

例3：（2009錦州）圖中的圓與正方形各邊都相切，設(shè)這個圓的面積為Si；圖2中的四個圓的

半徑相等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設(shè)這四個圓的面積之和為S2；圖3中的

九個圓半徑相等，并依次外切，且與正方形的各邊相切，設(shè)這九個圓的面積之和為S3,…

依此規(guī)律，當(dāng)正方形邊長為2時，第n個圖中所有圓的面積之和Sn=

分析：先從圖中找出每個圖中圓的面積，從中找出規(guī)律，再計算面積和.

解答：根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)：第一個圖中，共一個愿，圓的半徑是正方形邊長的一半，為1,s,=

第二個圖中，共4個圓，圓的半徑等于正方形邊長的上，為,X2=L；S?=4n於=4

442

n（-）2=n,依次類推，則第n個圖中，共有J?個圓，所有圓的面積之和S?=n2nr2=n2n（-）

2n

2=“，即都與第一個圖中的圓的面積都相等，即為兀.

點評：觀察圖形，即可發(fā)現(xiàn)這些圖中，每一個圖中的所有的圓面積和都相等.

考點五：與坐標(biāo)有關(guān)規(guī)律

這類問題把點的坐標(biāo)與數(shù)字規(guī)律有機(jī)的聯(lián)系在一起，加大了找規(guī)律的難度，點的坐標(biāo)不

僅要考慮數(shù)值的大小，還要考慮不同象限的坐標(biāo)的符號。最后用n把第n個點的坐標(biāo)表示出

來。

例1：如圖，己知4(1,0),A2(1,1),43(—1,1),4(一1,-1),45(2,-1),則

點A2012的坐標(biāo)為

分析：根據(jù)（4除外）各個點分別位于四個象限的角平分線上，逐步探索出下標(biāo)和個點

坐標(biāo)之間的關(guān)系，總結(jié)出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律推理點42007的坐標(biāo).

解答：由圖形以及敘述可知各個點（除4點外）分別位于四個象限的角平分線上，

第一象限角平分線的點對應(yīng)的字母的下標(biāo)是2,6,10,14,即4〃一2（”是自然數(shù)，〃是點的

橫坐標(biāo)的絕對值）；點的坐標(biāo)為（n,n）.

同理第二象限內(nèi)點的下標(biāo)是4九一1（九是自然數(shù)，〃是點的橫坐標(biāo)的絕對值）；點的坐標(biāo)為（一

n,n）.

第三象限是4〃（〃是自然數(shù)，”是點的橫坐標(biāo)的絕對值）；點的坐標(biāo)為（-n,-n）.

第四象限是1+4〃（”是自然數(shù)，〃是點的橫坐標(biāo)的絕對值）；點的坐標(biāo)為（n,-n）.

2012=4〃貝“=503,當(dāng)2007等于4〃+1或4〃或4〃一2時，不存在這樣的”的值.

故點A2（X）7在第二象限的角平分線上，即坐標(biāo)為（-502,502）.

故答案填（-503,-503）.

點評：本題是一個探究規(guī)律的問題，正確對圖中的所按所在的象限進(jìn)行分類，找出每類

的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵點.

例2：（2009湖北仙桃）如圖所示，直線y=x+l與y軸相交于點4，以為邊作正方形

OAifiiG，記作第一個正方形；然后延長GBi與直線y=x+l相交于點A2，再以GA?為

邊作正方形ClA282c2,記作第二個正方形；同樣延長C2B2與直線y=x+l相交于點A3,

再以C2A3為邊作正方形C2A383c3,記作第三個正方形；…，依此類推，則第”個正方形

的邊長為.

分析：解題的關(guān)鍵是求出第一個正方體的邊長，然后依次計算〃=1,〃=2…總結(jié)出規(guī)律.

解答：根據(jù)題意不難得出第一個正方體的邊長=1,

那么：〃=1時，第1個正方形的邊長為：1=2°

凡=2時，第2個正方形的邊長為：2=21

〃=3時，第3個正方形的邊長為：4=22…

第〃個正方形的邊長為：2"一1

點評：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖

形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而

推出一般性的結(jié)論.

考點六：高中知識銜接型數(shù)列求和

本題通過材料來探索有規(guī)律的數(shù)列求和公式，并應(yīng)用此公式進(jìn)行相關(guān)計算.本題系初、高中

知識銜接的過渡題，對考查學(xué)生的探究學(xué)習(xí)、創(chuàng)新能力及綜合運用知識的能力都有較高的要

求

例題：(2019廣東汕頭)閱讀下列材料：

1x2=i(lx2x3-0xlx2),

3

2x3=—(2x3x4—1x2x3),

3

3x4=-(3x4x5—2x3x4),

3

由以上三個等式相加，可得

1x2+2x3+3x4=-x3x4x5=20.

3

讀完以上材料，請你計算下列各題：

(4)Ix2+2x3+3x4+…+10x11(寫出過程)；

(5)]x2+2x3+3x4+…+〃x(〃+l)=；

(6)1x2x3+2x3x44-3x4x5+???+7x8x9=.

分析：仔細(xì)閱讀提供的材料，可以發(fā)現(xiàn)求連續(xù)兩個正整數(shù)積的和可以轉(zhuǎn)化為裂項相消法

進(jìn)行簡化計?算，從而得至U公式Ix2+2x3+3x4+…+〃x5+l)

g[(lx2x3-0xlx2)+(2x3x47x2x3)+—〃(〃+l)(”+2).("l)〃(〃+l)]

=-n(n+l)(n+2)；照此方法，同樣有公式：

3

Ix2x3+2x3x4+3x4x5+…+〃x(〃+l)x(〃+2)

=：[(1X2X3X4-0XIx2x3)+(2x3x4x5-lx2x3x4)+???+〃x5+l)x(〃+2)x(〃+3)-(〃-l)x〃x(〃+l)x(〃+2)

=—〃(〃+1)(〃+2)(n+3).

4

解：⑴Vlx2='(1x2x3—0x1x2),

3

2x3=-(2x3x4-1x2x3),

3

3x4=-(3x4x5—2x3x4),

10x11=1（10x11x12-9x10x11）,

3

；?lx2+2x3+3x4+---+10xl1=1x10x11x12=440.

3

（2）；〃（〃+1）（〃+2）.

（3）1260.

點評：.如果學(xué)生不掌握這些數(shù)列求和的公式，直接硬做，既耽誤了考試時間，又

容易出錯.而這些數(shù)列的求和公式的探索，需要認(rèn)真閱讀材料，尋找材料中提供的解題

方法與技巧，從而較為輕松地解決問題.

四.真題演練

題目1.（2019福建三明大田縣）觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0,百，6，3,2百，匹,

3收，…那么第10個數(shù)據(jù)應(yīng)是

題目2、（2020山東II照分）觀察圖中正方形四個頂點所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2020應(yīng)標(biāo)在

A.第502個正方形的左下角B.第502個正方形的右下角

C.第503個正方形的左上角D.第503個正方形的右下角

題目3:（2020?德州）圖1是一個邊長為I的等邊三角形和一個菱形的組合圖形，菱形邊

長為等邊三角形邊長的一半，以此為基本單位，可以拼成一個形狀相同但尺寸更大的圖形（如

圖2）,依此規(guī)律繼續(xù)拼下去（如圖3）,…，則第n個圖形的周長是（）

圖1圖2圖3

A、2nB、4nC、D、2n+2

第二部分練習(xí)部分

練習(xí)

1、如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第2個圖案由7個基礎(chǔ)圖形

組成，…，第n（n是正整數(shù)）個圖案中由個基礎(chǔ)圖形組成.

（1）（2）（3）

2、（2020山東日照）觀察圖中正方形四個頂點所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2020應(yīng)標(biāo)在（）

A.第502個正方形的左下角B.第502個正方形的右下角

C.第503個正方形的左上角D.第503個正方形的右下角

3.如圖，已知aABC的周長為1,連接△ABC三邊的中點構(gòu)成第二個三角形，再連接第二個

三角形三邊的中點構(gòu)成第三個三角形，…，依此類推，則第10個三角形的周長為（）

4、（2006?無錫）探索規(guī)律：根據(jù)下圖中箭頭指向的規(guī)律，從2004到2005再到2006,箭頭的

方向是（）

5、（2019甘肅定西）下列是三種化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式，請按其規(guī)律，寫出后一種化合物

的分子式為.

HHHHH

——

—

—

—I

H-c-c-H-C-C-C

—

—

II——H

HHHHH

CiHsCiHg

6、（2006廣東梅州）如圖，已知△A8C的周長為相，分別連接AB,BC,C4的中點Ai,Bi,

。得△AiBiCi,再連接AiBi,BiCi,CiAi的中點A2,BI,C2得AA282c2,再連接A2B2,

B2c2,C2A2的中點A3,B3,C3得4A383c3，…，這樣延續(xù)下去，最后得4AnBnCn.設(shè)4A\B\C\

的周長為/l,△A282c2的周長為/2,△A3B3c3的周長為/3,…，△的周長為/”，

則ln=.

7、用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色

瓷磚塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚塊（用含n的代數(shù)式表示）.

8.已知一列數(shù)：1,-2,3,-4,5,-6,7,…將這列數(shù)排成下列形式：中間用虛線圍的一

列數(shù)，從上至下依次為1,5,13,25...,按照上述規(guī)律排上去，那么虛線框中的第7個

數(shù)是

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

9.（2019?恩施州）如圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，作為第一層，第二

層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依次類推，如果n層六邊形點陣的總點數(shù)為331,則

n等于.

10.（2019山東東營）觀察下表，可以發(fā)現(xiàn)：第個圖形中的的個數(shù)是“O”的

個數(shù)的5倍.

序號123???

OOOO

OOO

圖形OO△△???

△

OO%2?

OOO。△△A△Q

OOOO

11.（2019?安徽，9,4分）下面兩個多位數(shù)1248624…、6248624...,都是按照如下方法得到

的：將第一位數(shù)字乘以2,若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)

字寫在第2位.對第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字…，后面的每一位數(shù)字都是由

前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的.當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則

這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是（）

A.495B.497C.501D.503

12.（2019?江漢區(qū)）如圖，等腰Rtz^ABC的直角邊長為4,以A為圓心，直角邊AB為半徑作

弧BC1,交斜邊AC于點Ci,CIBILAB于點Bi,設(shè)弧BCi,CiBi,B1B圍成的陰影部分的

面積為Si,然后以A為圓心，ABi為半徑作弧BIC2,交斜邊AC于點C2,C2B2，AB于點

B2,設(shè)弧B1C2,C2B2,B2B1圍成的陰影部分的面積為S2,按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到的陰影

部分的面積S3=

13.（2020廣西百色）相傳古印度一座梵塔圣殿中，鑄有一片巨大的黃銅板，之上樹立了三米

高的寶石柱，其中--根寶石柱上插有中心有孔的64枚大小兩兩相異的一寸厚的金盤，小盤壓

著較大的盤子，如圖，把這些金盤全部一個一個地從1柱移到3柱上去，移動過程不許以大

盤壓小盤，不得把盤子放到柱子之外.移動之日，喜馬拉雅山將變成一座金山.

設(shè)力（〃）是把〃個盤子從1柱移到3柱過程中移動盤子之最少次數(shù)

〃=1時，h（1）=1；

〃=2時，小盤-2柱，大盤—3柱，小柱從2柱一3柱，完成.即人（2）=3；

〃=3時，小盤一3柱，中盤―2柱，小柱從3柱一2柱.［即用〃（2）種方法把中.小兩盤移到

2柱，大盤3柱；再用力（2）種方法把中.小兩盤從2柱3柱，完成；

我們沒有時間去移64個盤子，但你可由以上移動過程的規(guī)律，計算〃=6時，八（6）=（）

23

A.11B.31C.63D.127

★“真題演練”答案★

題目1解：通過數(shù)據(jù)找規(guī)律可知，第n個數(shù)為師=5,那么第10個數(shù)據(jù)為:

73(10-1)==373.

題目2：分析：觀察發(fā)現(xiàn)：正方形的左下角是4的倍數(shù)，左上角是4的倍數(shù)余3,右下

角是4的倍數(shù)余1,右上角是4的倍數(shù)余2.

解答：解：通過觀察發(fā)現(xiàn)：正方形的左下角是4的倍數(shù)，左上角是4的倍數(shù)余3,右下角是4

的倍數(shù)余1,右上角是4的倍數(shù)余2

V2020-4=502...3,

.?.數(shù)2020應(yīng)標(biāo)在第503個正方形的左上角.

故選C.

題目3：分析：從圖1到圖3,周長分別為4,8,16,由此即可得到通式，利用通式即可求

解.

解答：解：下面是各圖的周長：

圖1中周長為4；

圖2周長為8；

圖3周長為16；

所以第n個圖形周長為

故選C.

點評：本題考查了圖形的變化規(guī)律，首先從圖1到圖3可得到規(guī)律，然后利用規(guī)律得到一般

結(jié)論解決問題.

★“練習(xí)部分”答案★

練習(xí)1：

1.解答：解：第一個圖案基礎(chǔ)圖形的個數(shù)：3+1=4；

第二個圖案基礎(chǔ)圖形的個數(shù)：3x2+1-7；

第三個圖案基礎(chǔ)圖形的個數(shù)：3x3+1=10；…

第n個圖案基礎(chǔ)圖形的個數(shù)就應(yīng)該為：3n+l.

2.分析：觀察發(fā)現(xiàn)：正方形的左下角是4的倍數(shù)，左上角是4的倍數(shù)余3,右下角是4的倍

數(shù)余I,右上角是4的倍數(shù)余2.

解答：解：通過觀察發(fā)現(xiàn)：正方形的左下角是4的倍數(shù)，左上角是4的倍數(shù)余3,右下角是4

的倍數(shù)余1,右上角是4的倍數(shù)余2

V2020-4=502...3,

數(shù)2020應(yīng)標(biāo)在第503個正方形的左上角.

故選C.

3.分析：根據(jù)三角形的中位線定理建立周長之間的關(guān)系，按規(guī)律求解.

解答：解：根據(jù)三角形中位線定理可得第二個三角形的各邊長都等于最大三角形各邊的一半,

那么第二個三角形的周長=△ABC的周長xL=ix'=_L,第三個三角形的周長為=4A8C的周

222

^X-X-=（L）2,第10個三角形的周長=（1）9,故選C.

2222

4.分析：本題根據(jù)觀察圖形可知箭頭的方向每4次重復(fù)一遍，2004=4=501.因此2004所

在的位置即為圖中的4所在的位置.

解答：解：依題意得：圖中周期為4,2004+4=501為整數(shù).因此從2004到2005再到

2006的箭頭方向為：故選A.

5.分析：由圖片可知，第2個化合物的結(jié)構(gòu)式比第一個多1個C和2個H,第三個化合

物的結(jié)構(gòu)式比第二個也多出1個C和2個H,那么下一個化合物就應(yīng)該比第三個同樣多出1

個C和2個”，即為C4H10.

解答：解：第四種化合物的分子式為C4H10.

點評：本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首先

應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.

6.分析：原來三角形的周長為如第一個三角形的周長為,如第二個三角形的周長為

2

（-）2/?;第三個三角形的周長為（,）3處那么第〃個三角形的周長為（,）

222

解答：解：已知△ABC的周長為布，每次連接作圖后，周長為原來的L故/”為原來△ABC

2

的周長（,）"，即（上）%.

22

點評：本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首先

應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.

7.解答：解：本題考查的是規(guī)律探究問題.從圖形觀察每增加一個圖形，黑色正方形瓷

磚就增加3塊，第一個黑色瓷磚有3塊，則第3個圖形黑色瓷磚有10塊，第N個圖形瓷磚有

4+3(n-1)=3n+l(塊).

點評：本題考查學(xué)生能夠在實際情景中有效的使用代數(shù)模型.

8.分析：分析可得，第n行第一個數(shù)的絕對值為此二且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)；中間用

2

虛線圍的一列數(shù)，從上至下依次為1,5,13,25...,為奇數(shù)，且每〃個數(shù)比前一個大4(〃-

1);故第7個數(shù)是85.

解答：解：???中間用虛線圍的一列數(shù)，從上至下依次為1,5,13,25...,為奇數(shù)，且每

“個數(shù)比前一個大4(n-1),

...第7個數(shù)是85.

點評：本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生的通過觀察，分析.歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并

應(yīng)用規(guī)律解決問題.本題的規(guī)律為第"行第一個數(shù)的絕對值為巡⑴，且奇數(shù)為正，偶數(shù)為

2

負(fù)；中間用虛線圍的一列數(shù)，從上至下依次為1,5,13,25...,為奇數(shù)，且每"個數(shù)比前一

個大4(”-1).

9.分析：分析可知規(guī)律，每增加一層就增加六個點.

解答：解：第一層上的點數(shù)為1；

第二層上的點數(shù)為6=1x6；

第三層上的點數(shù)為6+6=2x6；

第四層上的點數(shù)為6+6+6=3x6；

????

第n層上的點數(shù)為(n-1)x6.

所以n層六邊形點陣的總點數(shù)為

1+1X6+2X6+3X6+.(n-1)x6

=1+6[1+2+3+4+...+(n-1)]=1+6[(1+2+3+…+n-1)+(n-1+n-2+...+3+2+1)]4-2

=l+3n(n-1)=331.

n(n-1)=110；

(n-11)(n+10)=0

n=ll或-10.

故n=11.

點評：主要考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力.對于找規(guī)律的題目首

先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.通過分析找到各部分的變化規(guī)律后

直接利用規(guī)律求解.

10.分析：本題將規(guī)律探索題與方程思想結(jié)合在一起，是一道能力題，有的學(xué)生可能無法

探尋“△”與“?！背霈F(xiàn)的規(guī)律，或者不知道通過列方程解答問題.

解答：解：觀察圖形可發(fā)現(xiàn)第1、2、3、…、n個圖形：“△”的個數(shù)規(guī)律為1、4、9、…、

R“O”的個數(shù)規(guī)律是4、8、12、…、4n.由題意可得/=4nx5,

解之得弭=20,%=°(不合題意，舍去)?

點評：此題考查了平面圖形，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力.

11.分析：多位數(shù)1248624…是怎么來的？當(dāng)?shù)?個數(shù)字是1時，將第1位數(shù)字乘以2得2,

將2寫在第2位上，再將第2位數(shù)字2乘以2得4,將其寫在第3位上，將第3位數(shù)字4乘以

2的8,將8寫在第4位上，將第4位數(shù)字8乘以2得16,將16的個位數(shù)字6寫在第5位上,

將第5位數(shù)字6乘以2得12,將12的個位數(shù)字2寫在第6位上，再將第6位數(shù)字2乘以2得

4,將其寫在第7位上，以此類推.根據(jù)此方法可得到第一位是3的多位數(shù)后再求和.

解答：解：當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時,按如上操作得到一個多位數(shù)362486248624862486….

仔細(xì)觀察362486248624862486…中的規(guī)律，這個多位數(shù)前100位中前兩個為36,接著出現(xiàn)

248624862486…，所以362486248624862486…的前100位是36248624862486...24861486

148624(因為98+4=24余2,所以，這個多位數(shù)開頭兩個36中間有24個2486,最后兩個24),

因此，這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和=(3+6)+C2+4+8+6)x24+(2+4)=9+480+6=495.

故選A.

點評：本題，一個“數(shù)字游戲”而已，主要考查考生的閱讀能力和觀察能力，其解題的關(guān)鍵

是：讀懂題目，理解題意.這是安徽省2019年中考數(shù)學(xué)第9題，在本卷中的10道選擇題中

屬于難度偏大.而產(chǎn)生"難'’的原因就是沒有“讀懂”題目.

12.分析：每一個陰影部分的面積都等于扇形的面積減去等腰直角三角形的面積.

此題的關(guān)鍵是求得AB2、AB3的長.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.

解答：解：根據(jù)題意，得

ACi=AB=4.

所以AC2=ABI=2JI.

所以AC3=AB2=2.

所以AB3=V2.

4577x41TT

所以陰影部分的面積S=--x2=--l.

336022

點評：此題綜合運用了等腰直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式

13.分析：根據(jù)移動方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)目的增多，都是分兩個階段移動，用盤子數(shù)

目減1的移動次數(shù)都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱，再用同樣的次數(shù)從2柱移

動到3柱，從而完成，然后根據(jù)移動次數(shù)的數(shù)據(jù)找出總的規(guī)律求解即可.

解答：解：根據(jù)題意，n=l時，/?(1)=1,

”=2時，小盤-2柱，大盤—3柱，小柱從2柱一3柱，完成，即〃(2)=3=2?-1；

〃=3時，小盤一3柱，中盤―2柱，小柱從3柱-2柱，［用〃(2)種方法把中.小兩盤移到2

柱，大盤3柱；再用力(2)種方法把中.小兩盤從2柱3柱，完成］,

h(3)(2)xh(2)+1=3x2+1=7=23-1,

h(4)=h(3)xh(3)+1=7x2+1=15=24-1,

以此類推，h(n)=h(n-1)xh(n-1)+1=2"-1,

：.h(6)=26-1=64-1=63.

故選C.

點評：本題考查了圖形變化的規(guī)律問題，根據(jù)題目信息，得出移動次數(shù)分成兩段計數(shù)，利用

盤子少一個時的移動次數(shù)移動到2柱，把最大的盤子移動到3柱，然后再用同樣的次數(shù)從2

柱移動到3柱，從而完成移動過程是解題的關(guān)鍵，本題對閱讀并理解題目信息的能力要求比

較高.

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

（3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的

式子，?然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，?是

否符合實際，檢驗后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長量=原有量義增長率現(xiàn)在量=

原有量+增長量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積X高=S?h=^r2h

②長方體的體積丫=長X寬義高=abc

4.數(shù)字問題

一般可設(shè)個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)可

表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場經(jīng)濟(jì)問題

（1）商品利潤=商品售價一商品成本價（2）商品利潤率=岸黑

商品成本價

X100%

（3）商品銷售額=商品銷售價義商品銷售量

（4）商品的銷售利潤=（銷售價一成本價）義銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打8

折出售，即按原標(biāo)價的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時間時間=路程4?速度速度=路程

個時間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速

度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）速

度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮

相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率X工作時間

完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲蓄問題

利潤=每個期的利息義100%利息=本金X利率義期數(shù)

本金

實際問題與二元一次方程組題型歸納（練習(xí)題答案）

類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那

么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3

小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時，依題意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時，乙的速度是3.6千米/每小時。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用

20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時，則水流速度y千米/小時，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答:這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時、水流速度3千米/小時，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬

元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選

一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

'_1X=—

/+y~6得,10故1-工=10(周)11+工=15周

“c,11015

[4x+9,=ly=—

即甲、乙完成這項工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬元則

'_3

(6a+6b=5.2a-5必。"。"=6(萬元)

<得ZB.此時|_一

|4ij+96=4.8g=4115b=40兀)

17

比較知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題

【變式1](2011湖南衡陽)李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共

獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李

大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了X、y畝.，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如

下表：

AB

進(jìn)價（元/件）12001000

售價（元/件）13801200

（注：獲利=售價一進(jìn)價）求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件；

解：設(shè)購進(jìn)A的數(shù)量為x件、購進(jìn)B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲蓄問題

【變式2