)由牛頓第二定律，得 式中是阻力系數(shù).以m遍除各項(xiàng)，得 令 ω0為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率，β為阻尼系數(shù)，和振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)以及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān).于是，方程可寫為 為二階常系數(shù)齊次微分方程，通解為 為了與高中教材吻合，此處只討論阻力很小的欠阻尼狀態(tài)的阻尼振動(dòng)，即β＜ω0，由上式可求出彈簧振子中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，其中 A和為待定常數(shù)，由初始條件決定.此式中包含兩個(gè)因子，Ae－βt表示隨時(shí)間衰減的振幅，表示振動(dòng)以 為圓頻率做周期性變化，二因子相乘表示質(zhì)點(diǎn)做運(yùn)動(dòng)范圍逐漸減小的往復(fù)運(yùn)動(dòng)——阻尼振動(dòng).由于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不可能每經(jīng)過(guò)一定時(shí)間便完全重復(fù)出現(xiàn)，因此阻尼振動(dòng)不是周期性運(yùn)動(dòng).不過(guò)， 是周期變化的，它保證了質(zhì)點(diǎn)每連續(xù)兩次通過(guò)平衡位置并沿相同方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間間隔是相同的，于是把的周期叫做阻尼振動(dòng)的周期，并用T′表示，則有顯然，阻尼振動(dòng)的周期大于同樣振動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期（固有周期）對(duì)應(yīng)的頻率則小于其固有頻率. 例2質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以初速度從地面豎直上拋,設(shè)空氣阻力為,為常數(shù),試求(a)(b)(a)(b)(c)解①求物體上升的最大高度.選取坐標(biāo)系如上圖（a）所示,取開始上拋時(shí),這時(shí),上升到最高位置時(shí)有,在該過(guò)程中受力分析如上圖(b)所示,其運(yùn)動(dòng)方程為(1)注意到(2)所以(3)對(duì)(3)式兩邊積分,注意到所以有(4)由(4)得到(5)結(jié)果討論：在、不變的情況下，的大小將會(huì)影響,如當(dāng)很小時(shí),有，則.這正是不計(jì)阻力時(shí)物體以豎直上拋所能達(dá)到的最大高度.這一結(jié)果還可從另一角度來(lái)討論,即把看作是的函數(shù),即當(dāng)時(shí),此式為型不定式（當(dāng)型不定式）,所以由羅必達(dá)法則,有，當(dāng)時(shí)，，表示物體不能上升.求返回原地時(shí)的速度物體在下落時(shí)所受阻力與重力方向相反,所以運(yùn)動(dòng)方程為（6）仍用（2）式將（6）式表示為（7）將（7）式兩邊同時(shí)積分,上、下限選取:時(shí),物體在最高點(diǎn),這時(shí)有,返回地面時(shí),,所以（8）積分結(jié)果為（9）將(5)式代人（9）式并整理有（10）（10）式中的負(fù)號(hào)僅表示與方向相反.(當(dāng)時(shí),則有,當(dāng)非常大時(shí)有),③求開始上升到返回地面所用的總時(shí)間先求上升過(guò)程所用的時(shí)間.將（1）式改寫為(11)對(duì)(11)式兩邊積分,確定上下限時(shí)注意到當(dāng)時(shí),當(dāng),即（12）由（12）式得(13)在計(jì)算下降時(shí)間時(shí),為避免混淆,軸正向應(yīng)向下,原點(diǎn)取在原處,如上圖(c)所示,運(yùn)動(dòng)方程為(14)即(15)對(duì)(15)式兩邊積分，注意到當(dāng)時(shí)，，所以有.（16）由（16）式解得（17）因此求得總時(shí)間為（18）當(dāng)時(shí)（18）式中兩項(xiàng)都為型不定式，不難用羅比達(dá)法則求出，這正是不計(jì)阻力時(shí)豎直上拋物體從上拋到返回原地時(shí)所用的時(shí)間.例3建立如圖所示的坐標(biāo)系，真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷，電量分別為，位置坐標(biāo)分別為，則由為庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式可求得空間。任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量分別為：式中，將上式整理后得：根據(jù)電場(chǎng)線的斜率為電場(chǎng)強(qiáng)度的方向，所以電場(chǎng)線應(yīng)滿足以下微分方程：，即代入電場(chǎng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量后，整理得對(duì)上式進(jìn)一步整理后令，換元后得將上式兩邊積分后可求得通解為即電場(chǎng)線簇的方程為其中，式中每個(gè)值對(duì)應(yīng)兩條電場(chǎng)線[1][2]只知道這個(gè)方程還不能畫出電場(chǎng)線的軌跡，因?yàn)閷?duì)于某一常數(shù)的方程，要解出與的關(guān)系得解一個(gè)一元四次方程。但我們可以求出關(guān)于與的參數(shù)方程，具體過(guò)程如下：設(shè)，則有聯(lián)立以上兩個(gè)方程可求得，式中當(dāng)時(shí)，電場(chǎng)線為等量異種電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)線當(dāng)且時(shí)，電場(chǎng)線為不等量異種電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)線若兩電荷是同種電荷，則電場(chǎng)線簇方程為，式中當(dāng)時(shí)，電場(chǎng)線為等量同種電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)線當(dāng)且時(shí)，電場(chǎng)線為不等量同種電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)線等勢(shì)線的軌跡方程建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則任意一點(diǎn)的電勢(shì)為僅通過(guò)以上式子很難畫出等勢(shì)線的軌跡，因?yàn)橐滥骋粋€(gè)等勢(shì)面的軌跡方程，得求一個(gè)一元四次的方程，但可以利用參數(shù)方程得到等勢(shì)面的軌跡，過(guò)程如下：令，式中為某一等勢(shì)面的電勢(shì)且，則有，聯(lián)立以上兩式求解得當(dāng)時(shí)，等勢(shì)面為等量異種電荷產(chǎn)生的等勢(shì)面當(dāng)且時(shí)，等勢(shì)面為不等量異種電荷產(chǎn)生的等勢(shì)面若兩電荷為同種電荷，則令，式中為某一等勢(shì)面的電勢(shì)且，則有聯(lián)立以上兩式求解得當(dāng)時(shí)，等勢(shì)面為等量同種電荷產(chǎn)生的等勢(shì)面當(dāng)且時(shí)，等勢(shì)面為不等量同種電荷產(chǎn)生的等勢(shì)面帶電粒子僅受電場(chǎng)力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的可能性研究在雙電荷的電場(chǎng)中，一般我們認(rèn)為只在等量同種電荷的中垂面上，某一帶電粒子以一定的速率和適當(dāng)?shù)碾娏吭谶m當(dāng)?shù)奈恢靡源怪敝写咕€方向的速度方向射入電場(chǎng)，才能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際上是這樣的嗎？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題可簡(jiǎn)化為帶電粒子在雙電荷的電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力的合力方向總垂直指向兩電荷的連線，即電場(chǎng)中時(shí)，電粒子就可以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)[3]，則有將上式化簡(jiǎn)求得通過(guò)以上分析，在靜電場(chǎng)中電場(chǎng)線與等勢(shì)面的研究，可以利用參數(shù)方程來(lái)分析，得出其軌跡方程，最后用電腦模擬出其軌跡，這樣可以讓抽象的電場(chǎng)線與等勢(shì)面形象化，同時(shí)也證明了一個(gè)問(wèn)題：物理問(wèn)題到了最后就是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題?！拔覈L終日之所思，不如須臾之所學(xué)也！”對(duì)于中學(xué)物理中的一些習(xí)題，經(jīng)常嘗試從直覺(jué)上解答，不如嘗試?yán)酶叩葦?shù)學(xué)中的知識(shí)去解決它！伽利略曾經(jīng)講過(guò):考慮到這些，我開始相信：那些拋棄從吃奶時(shí)就被灌輸?shù)牟榇蠖鄶?shù)人所信仰的見(jiàn)解，轉(zhuǎn)而接受一種被所有學(xué)派排斥的并只有少數(shù)人相信的見(jiàn)解的人，他們即使不是被迫承認(rèn)，也必然是被有力的論據(jù)所打動(dòng).我考慮更重要的是，一門廣博精深的科學(xué)已經(jīng)啟蒙，我在這方面的工作只是它的開始，那些比我更敏銳的人所用的方法和手段將會(huì)探索到各個(gè)遙遠(yuǎn)的角落.如果不理解它的語(yǔ)言，沒(méi)有人能夠讀懂宇宙這本偉大的書，它的語(yǔ)言就是數(shù)學(xué).伽利略在他的力學(xué)研究中成功地運(yùn)用了數(shù)學(xué)方法，是他第一個(gè)用數(shù)學(xué)方法來(lái)分析時(shí)間和空間的定量關(guān)系，用數(shù)學(xué)關(guān)系精確地表述和定義了時(shí)間、位置、速度、加速度、勻速運(yùn)動(dòng)、勻變速運(yùn)動(dòng)等概念，并賦予自由落體、擺、斜