數(shù)量關(guān)系

—第七章在三維空間中:

—點(diǎn),

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何1第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束向量及其線性運(yùn)算第七章2ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束Ⅰ3三個(gè)坐標(biāo)軸具有相同的單位長(zhǎng)度位于坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上的點(diǎn)不屬于任何卦限。4向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱(chēng)為點(diǎn)M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6表示法:向量的模:向量的大小,向量的概念向量:(又稱(chēng)矢量).既有大小,又有方向的量稱(chēng)為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱(chēng)a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱(chēng)a與b平行,

a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱(chēng)為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱(chēng)兩向量共線.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱(chēng)此k個(gè)向量共面.記作－a;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8零向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)重合，它的方向可以看做是任意的。零向量與任意向量是平行的。任何向量與唯一的向徑相對(duì)應(yīng)。9兩點(diǎn)之間的距離1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束10二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束11運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.12機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束132.向量與數(shù)的乘法是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見(jiàn)與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束143.向量的減法三角不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束15定理1.

設(shè)a為非零向量,則(為唯一實(shí)數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設(shè)a∥b取正號(hào),反向時(shí)取負(fù)號(hào),,a,b

同向時(shí)則b與a同向,設(shè)又有b＝

a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束16“”則已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束17因此18向量的加法和向量與數(shù)的乘法統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算。192012-02-2920例1.設(shè)M為ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),21解:222.向量的坐標(biāo)表示設(shè)向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角已知，則可求出向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。設(shè)i、j、k分別表示三個(gè)坐標(biāo)軸上正方向的單位向量，稱(chēng)它們?yōu)樽鴺?biāo)系的坐標(biāo)向量。232.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱(chēng)為向量r的坐標(biāo)分解式,任意向量r

可用向徑OM

表示.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束24物理學(xué)中的力的分解。25向量a對(duì)應(yīng)的向徑OM在三條坐標(biāo)軸上的投影叫做向量的坐標(biāo)，記作a={x,y,z}，叫做向量a的坐標(biāo)表達(dá)式。從而向量a=xi+yj+zk={x,y,z}任一向量對(duì)應(yīng)一個(gè)向徑，此向量的坐標(biāo)與其向徑終點(diǎn)的坐標(biāo)一致。26利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束27平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:28注：當(dāng)分母中某一項(xiàng)為零時(shí)，可以理解為對(duì)應(yīng)項(xiàng)的分子也為零。29對(duì)兩點(diǎn)與30方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱(chēng)=∠AOB(0≤≤)為向量

的夾角.類(lèi)似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角,,為其方向角.記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束31向量的模與向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束32方向角的余弦稱(chēng)為其方向余弦.

33如果向量a與b中有一個(gè)是零向量，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值。34方向余弦的性質(zhì):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束35DC3637例1.1已知點(diǎn)A(1,1,2),M(1,0,3)，求與同方向的單位向量。38例1.2設(shè)已知點(diǎn)A(2,2,sqrt(2),M(1,3,0)，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角。39END【課下認(rèn)真做習(xí)題7.1】40以下為未整理資料41例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束42例3.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束43說(shuō)明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束44五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對(duì)兩點(diǎn)與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束45例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束46例5.

在z軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束47提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.已知兩點(diǎn)和解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束48例7.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束49例8.設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限,解:已知作業(yè)

P3003,5,13,14,15,18,19角依次為求點(diǎn)A的坐標(biāo).則因點(diǎn)A在第一卦限,故于是故點(diǎn)A的坐標(biāo)為向徑OA與x軸y軸的夾第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束50備用