本文格式為Word版，下載可任意編輯——其次章曲面論其次章曲面論§1曲面的概念

?r1.求正螺面={ucosv,usinv,bv}的坐標曲線.

解u-曲線為r={ucosv0,usinv0,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u

{cosv0,sinv0,0}，為曲線的直母線；v-曲線為?r={u0cosv,u0sinv,bv}為圓柱螺線．

２．證明雙曲拋物面r＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐標曲線就是它的直母線。

?r證u-曲線為={a（u+v0）,b（u-v0）,2uv0}={av0,bv0,0}+

??u{a,b,2v0}表示過點{av0,bv0,0}以{a,b,2v0}為方向向量的直

線;

?rv-曲線為=｛a（u0+v）,b（u0-v）,2u0v｝=｛au0,bu0,0｝

+v{a,-b,2u0}表示過點(au0,bu0,0)以{a,-b,2u0}為方向向量

的直線。

?{acos?sin?,acos?sin?,asin?}r3．求球面=上任意點的切平面和

法線方程。?r{?asin?cos?,?asin?sin?,acos?}?解=

?r?{?acos?sin?,acos?cos?,0}=

x?acos?cos??asin?cos??acos?sin?y?acos?sin??asin?sin?acos?cos?acos?0，

z?asin??0任意點的切平面方程為

即xcos?cos?+ycos?sin?+zsin?-a=0；

x?acos?cos?y?acos?sin?z?asin???cos?sin?sin?。法線方程為cos?cos?x2y2?2?12ab4．求橢圓柱面在任意點的切平面方程，并證明沿

每一條直母線，此曲面只有一個切平面。

x2y2?2?12解橢圓柱面ab的參數(shù)方程為x=cos?,y=asin?,

??r?{?asin?,bcos?,0}rz=t,?,t?{0,0,1}。所以切平面方程為：

x?acos??asin?0y?bsin?bcos?0z?t0?01，即xbcos?+yasin?－ab=

0

此方程與t無關，對于?的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而?的每一數(shù)值對應一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面。

?a3r?{u,v,}uv的切平面和三個坐標平面所構成的5．證明曲面

周邊體的體積是常數(shù)。

證

?a3ru?{1,0,?2}uv，

?a3rv?{0,1,?2}uv。切平面方程為：

xyuv??3z?3uva

。

)。于

3a2與三坐標軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv是，周邊體的體積為：

13a393V?3|u|3|v|?a6|uv|2是常數(shù)。

§２曲面的第一基本形式

?r1.求雙曲拋物面＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的第一基

本形式.

???2222r?{a,b,2v},r?{a,?b,2u},E?r?a?b?4v,uvu解???222222F?r?r?a?b?4uv,G?r?a?b?4uuvv,

2222222222(a?b?4v)du?(a?b?4uv)dudv?(a?b?4u)dv∴I=2。

?r２．求正螺面={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，

并證明坐標曲線相互垂直。

?G?rv2?u2?b2，∴

解

?????ru?{cosv,sinv,0},rv?{?usinv,ucosv,b}，E?ru2?1，F(xiàn)?ru?rv?0，

I=du2?(u2?b2)dv2，∵Ｆ＝０，∴坐標曲線

相互垂直。

３．在第一基本形式為I=du為u=v的曲線的弧長。

22222?sinh2udv2的曲面上，求方程

解由條件ds?du?sinhudv,沿曲線u=v有du=dv，將其

2222222代入ds得ds?du?sinhudv=coshvdv，ds=coshvdv,在曲線u=v上，從v1到v2的弧長為

|?coshvdv|?|sinhv2?sinhv1|v1v2。

2222du?(u?a)dv4．設曲面的第一基本形式為I=，求它上

面兩條曲線u+v=0,u–v=0的交角。

分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內蘊量，即等距不

變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。

解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量E?1，F(xiàn)v?0，G?u2?a2，曲線u+v=0與u–v=0的交點為u=0,v

2=0,交點處的第一類基本量為E?1，F(xiàn)v?0，G?a。曲線u+v=0的方向為du=-dv,u–v=0的方向為δu=δv,設兩曲線的夾角為?，則有

Edu?u?Gdv?u22?Edu?Gdvcos=

。

5．求曲面z=axy上坐標曲線x=x0,y=y0的交角.

?r解曲面的向量表示為={x,y,axy},坐標曲線x=x0的向

??r量表示為r={x0,y,ax0y}，其切向量y={0，1，ax0}；坐標

??yyyr曲線y=0的向量表示為r={x,0,ax0}，其切向量x={1，0，

ay0}，設兩曲線x=x0與y=y0的夾角為?，則有cos?=

1?a2?221?a2E?u?G?v??rx?rya2x0y0???22|rx||ry|1?a2x01?a2y0

6.求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.

解對于u-曲線dv=0,設其正交軌線的方向為δu:δv,則有

Eduδu+F(duδv+dvδu)+Gdvδv=0,將dv=0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為Eδu+Fδv=0.

同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為Fδu+Gδv=0.7.在曲面上一點,含du,dv的二次方程Pdu+2Qdudv+Rdv＝０，確定兩個切方向（du：dv）和（δu：δv），證明這兩個方向垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=0.

證明由于du,dv不同時為零，假定dv?0，則所給二次方

du?uR?u程可寫成為P,?v,則dv?v=P，

2Qdudu?u?u?dv+?v=P……①又根據(jù)二方向垂直的條件知Edv?v+

(

du2du)

dv+2Qdvdu+R=0,設其二根dvduF(dv22?u+?v)+G=0……②

將①代入②則得ER-2FQ+GP=0.

9.證明曲面的坐標曲線的二等分角線的微分方程為

22Edu=Gdv.證用分別用δ、?、d表示沿u－曲線，v－曲線及其二等分角線的微分符號，即沿u－曲線δu?０，δv＝０，沿v－

????曲線u＝０，v?０．沿二等分角軌線方向為du:dv,根據(jù)題設條件,又交角公式得

(Edu?v?Fdv?u)2(Fdu??v?Gdv??v)2?22E?udsG??v2ds22?(Edu?Fdv)2(Fdu?Gdv)2?EG，即

2。

展開并化簡得E(EG-F2)du=G(EG-F2)dv,而EG-F2>0，消去

22EG-F2得坐標曲線的二等分角線的微分方程為Edu=Gdv.

2222du?(u?a)dv9．設曲面的第一基本形式為I=，求曲面

上三條曲線u=?av,v=1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。曲線圍城的三

角形的面積是

0122a221?a?u?adu?dv??u?adu?dv?ua0uaS=

a1?=2

0u?adu?dvua22u22(1?)u?adu?=20a

a2a[?(u2?a2)2?uu2?a2?a2ln(u?u2?a2)]|0=3a

3=

a2[2?2?ln(1?2)]3。

?10．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}的面積。

?r{?asin?cos?,?asin?sin?,acos?}?解=

?r?{?acos?sin?,acos?cos?,0}=

???2222r?r?2rra??E==,F==0,