平均值不等式（一）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解均值不等式及其證明，并能應(yīng)用它解決相關(guān)問題。（2）整理并建立不等式的知識(shí)鏈。（3）通過運(yùn)用均值不等式解決實(shí)際問題，提高用數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際問題的能力與意識(shí)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：重要不等式及其均值不等式的證明及應(yīng)用，注意均值不等式的使用條件。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：重要不等式及其均值不等式的證明及應(yīng)用。二、課前自主預(yù)習(xí)均值定理：定理1：如果a、b∈R，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）對任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，數(shù)叫做a，b的算數(shù)平均值數(shù)叫做a，b的幾何平均值均值定理也可表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值這個(gè)不等式定理2：如果a、b∈R+，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）.在證明不等式、求函數(shù)的最大值、最小值時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，因此我們稱它為基本不等式.常見不等式：1.（1）若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2.(1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）;若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）6.重要不等式鏈：，則最值定理：（應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值）（1）已知x,y都是正數(shù)，則：如果積xy是定值p，那么當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值；如果和x+y是定值s，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值。即兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值。（2）利用此公式求最值，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：各項(xiàng)均為正數(shù);(一正)其和或積為常數(shù);（二定）等號(hào)必須成立.（三相等）（3）應(yīng)用此公式求最值時(shí)，還應(yīng)該注意配湊和一定或積一定，進(jìn)而用公式求解。三、例題分析與課堂練習(xí)題型一：配系數(shù)例1.已知，求的最大值.（常規(guī)題型，在于如何配方） 練習(xí)1：題型二：分拆項(xiàng)例2.已知，求的最小值.(分子部分拆項(xiàng))（將分式拆成幾項(xiàng)）（利用均值定理2）練習(xí)2：題型三：巧用“1”代換例3.已知正數(shù)滿足,求的最小值.（）（利用定理2）.說明：一般地有,,其中都是正數(shù).這里巧妙地利用”1”作出了整體換元,從而使問題獲得巧解.題型四：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性.例4.求函數(shù)的最小值課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，但是在證明應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注明定理的適用條件，靈活運(yùn)用每