本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學(xué)中的靈敏度分析因此，假設(shè)條件成為了建模過程中一個影響模型好壞的影響因素，靈敏度分析就是在模型建立后，對假設(shè)條件變化，檢驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣性

一般來說Lingo做出來的靈敏度分析能夠達到一個比較理想的程度，不過還是要根據(jù)模型本身來研究，建議你在開始之前先學(xué)習(xí)一下《數(shù)值分析》，對建模的靈敏度分析很有用哈，再根據(jù)《數(shù)值分析》的方法，對M-C（蒙特卡羅）方法進行靈敏度分析，你會很快把握~~~

隨著現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展，對工業(yè)設(shè)備的精度提出了更高的要求。但是，由于制造誤差、軸承間隙、彈性變形等因素的影響，不可避免地會對設(shè)備的精度產(chǎn)生一定的影響。因此我們就有必要建立起一個數(shù)學(xué)模型并且應(yīng)用恰當(dāng)?shù)姆治龇椒▉硌芯可鲜龅母鞣N誤差對精度的影響關(guān)系，找出影響最大的因素，作為我們在實際的制造和裝配過程中進行誤差分派，降低生產(chǎn)成本，提高傳動精度的理論依據(jù)。這里就可以采用靈敏度分析的方法。它主要包括局部靈敏度分析方法和全局靈敏度分析方法。一、局部靈敏度分析方法

局部法主要分析因素對模型的局部影響（如某點）。局部法可以得到參數(shù)對輸出的梯度，這一數(shù)值是大量領(lǐng)域研究中所需要的重要數(shù)據(jù)。局部法主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)表達式比較簡單，靈敏度微分方程較易推出，不確定因素較少的系統(tǒng)模型中。主要包括直接求導(dǎo)法、有限差分法、格林函數(shù)法。1．直接求導(dǎo)法

對于輸入因素個數(shù)少、結(jié)構(gòu)不繁雜、靈敏度微分方程較易推導(dǎo)的系統(tǒng)或模型，直接法是一種簡單快速的靈敏度分析方法。時變（非靜止）系統(tǒng)可以用微分或微分-代數(shù)方程進行描述。假設(shè)要考慮的初值問題是，（1）

同樣，代表n維輸出變量，代表m維輸入因素。代表初值數(shù)組。式（1）對輸入因素微分得到下述的靈敏度微分方程（2）

或以矩陣形式表示為（3）

式中，是系統(tǒng)代數(shù)-微分方程右邊對系統(tǒng)輸出變量的導(dǎo)數(shù)（可稱為雅可比矩陣），是對輸入因素的導(dǎo)數(shù)，也可稱為參數(shù)雅可比。微分方程（2）的初始條件為零向量。

上述的直接法建立在微分方程（2）的基礎(chǔ)上，要得到其靈敏度矩陣S的解，需要先求得矩陣J和F的值。而矩陣的值又是由系統(tǒng)變量的真實值確定，因此，需同時或預(yù)先求得（1）方程的解。

對于非時變（靜止）系統(tǒng)，將其代數(shù)方程，式中，Y是n維輸出變量，X是m維輸入因素。令表示隱性代數(shù)方程式的解。對輸入因素求導(dǎo)數(shù)，得到下面的靈敏度公式：（4）

式中，稱為靜態(tài)靈敏度矩陣，和由靜態(tài)點的變量值計算。對于變量少、結(jié)構(gòu)不繁雜、靈敏度微分方程較易推出的系統(tǒng)，直接法是一個簡單快速的靈敏度分析方法。

2．有限差分法

局部靈敏度最簡單的計算方法是有限差分法，其基本做法是使設(shè)計變量有一個微小的攝動，用差分格式來計算輸出對設(shè)計變量的近似導(dǎo)數(shù)。其中比較簡單的是采用向前差分格式（5）

式中，截斷誤差與同階。有時采用更為確切的中心差分公式（6）而，

中心差分法的截斷誤差與同階。雖然中心差分公式比向前差分公式精度高，但在求解每一個導(dǎo)數(shù)時需要求一次函數(shù)值，這意味著多做一次結(jié)構(gòu)分析，增加了計算工作量。3．格林函數(shù)法

微分方程（1）關(guān)于初始值的方程為（7）

上式中，，分別表示攝動時間和觀測時間，表示靈敏度矩陣，即（8）

格林函數(shù)法的基本思路是，要求得靈敏度矩陣，就要借助式（2）或式（2）非齊次線性微分方程求得通解，而非齊次微分方程的通解是由其對應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩部分組成的，其中齊次方程的通解可由解式（6）得到，而非齊次方程的特解由（9）

得到，上式中的被稱為格林函數(shù)，基于式（8）的解的數(shù)值方法稱為格林函數(shù)法。

直接求導(dǎo)法的計算量隨著參數(shù)的增加成線性增加，而格林函數(shù)的計算量與變量數(shù)成比例關(guān)系。

二、全局靈敏度分析方法

靈敏度分析方法有以下特點：⑴它研究的是各因素對模型的全局影響（不僅是在某點處，而是在不同位置處）；⑵因素的范圍可擴展到因素的整個定義域，各因素可同時變化，能夠?qū)Ψ蔷€性、非疊加、非單調(diào)模型進行研究和分析。目前，最常見的全局靈敏度分析方法是Sobol’法。

Sobol’靈敏度分析方法是一種基于方差的蒙特卡羅法。定義一個維的單元體作為輸入因素的空間域，表示為（10）

Sobol’方法的中心思想是將函數(shù)分解為子項之和（11）

上式右端共有個子項，且有多種分解方法。現(xiàn)在普遍應(yīng)用的是1990年Sobol’提出的具有一般代表性的基于多重積分的分解方法。該分解方法的特點如下：（1）為常數(shù)項，各子項對其所包含的任一因素的積分為0（12）

（2）各子項之間正交。即假使：，則（13）

（3）式（11）中分解形式唯一，且各階子項可由多重積分求得。如：（14）（15）

（16）

式（15）及（16）中，及分別表示除及除與之外的其它輸入因素，類似地可求其余的高階子項。

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的知識，模型輸出的總方差為（17）

現(xiàn)將式（11）中各階子項的方差稱為各階偏方差，即階偏方差（18）

把式（11）平方并在整個內(nèi)積分，結(jié)合式（13）可得總方差與各階偏方差的關(guān)系：總方差等于各階偏方差之和。即（19）

將各階靈敏度系數(shù)定義為各階偏方差與總方差的比值。s階靈敏度定義為（20）

這里，稱為因素的一階靈敏度系數(shù)，表示對輸出的主要影響；為二階靈敏度系數(shù)，表示兩因素之間的交織影響；依此類推，為階靈敏度，表示個因素之間的交織影響。由式（19）可知：（21）

在Sobol’法中，各積分可由蒙特卡羅法求出。因此，及可通過蒙特卡羅估計得出

（22）（23）（24）三、數(shù)例分析

例如一個非單調(diào)模型由下式表示

式中、聽從以下分布，，。用Sobol’法方法分析各參數(shù)對的靈敏度。計算過程如下：首先可以由乘同余法產(chǎn)生均勻分布的為隨機數(shù)，根據(jù)這些偽隨機數(shù)生成各參數(shù)在均勻分布的隨機數(shù)。由Latin超立方采樣獲得隨機序列后，代入進行統(tǒng)計分析，最終可以得到參數(shù)和對的靈敏度分別為0.202和0.769。這說明的變化對的影響較大。四、結(jié)論

1．局部靈敏度和全局靈敏度分析方法是兩種比較常用的數(shù)學(xué)分析方法，在對結(jié)構(gòu)進行靈敏度分析時起著重要作用。

2．當(dāng)所研究模型是非線性的或者影響輸入變量的不確定性處于不同數(shù)量級時，局部法可能不能夠提供有效的分析結(jié)果，但局部法具有較高的計算效率，可用于模型快速的前期研究中。

3．全局法不受模型限制，因素變動范圍可擴展到因素的整個定義域，它在靈敏度分析時可以提供比較全面的分析結(jié)果，因而愈來愈廣泛地在靈敏度分析方面得到運用。（1．局部靈敏度和全局靈敏度分析方法是兩種比較常用的數(shù)學(xué)分析方法，在對結(jié)構(gòu)進行靈敏度分析時起著重要作用。