一、極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點.如二次函數(shù)的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點偏移：若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.如函數(shù)的極值點剛好在方程的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.三、問題初現(xiàn)，形神合聚★函數(shù)有兩極值點，且.證明：.所以，所以，因為，，在上單調(diào)遞減所以，即.★已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，過的中點作軸的垂線分別交，于點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由.四、招式演練★過點P(?1,0)作曲線f(x)=ex的切線（1）求切線l的方程；（2）若直線l與曲線y=af(x)?(a∈R)交于不同的兩點A(x【答案】（1）y=x+1（2）見解析【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導數(shù)幾何意義求切線斜率y'|x=0=1，再根據(jù)點斜式求切線方程y=x+1因為x1≠x2，不妨設(shè)x設(shè)g(x)=f(x)-f(-4-x)，則g'當x>-2時，g'(x)>0，g(x)在(-2,+∞)所以g(x)>g(-2)=0，所以當x>-2時，f(x)>f(-4-x)．因為x2>-2，所以從而f(x1)>f(-4-x2)，因為-4-x2<-2極值點偏移問題在近幾年高考及各種模考，作為熱點以壓軸題的形式給出，很多學生對待此類問題經(jīng)常是束手無策，而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型又是含有參數(shù)的.其實，此類問題處理的手段有很多，方法也就有很多，下面我們來逐一探索！ 一、極值點偏移的判定定理對于可導函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.（3）通過求導討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因為，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調(diào)性、極值點，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問逐步解題.三、對點詳析，利器顯鋒芒★已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，且，證明：.∵，∴，在上單調(diào)遞增，∴，∴★函數(shù)與直線交于、兩點.證明：.★已知函數(shù)，若，且，證明：.【解析】由函數(shù)單調(diào)性可知：若，則必有，。所以，而，令，則所以函數(shù)在為減函數(shù)，所以，所以即，所以，所以.★已知函數(shù)有兩個零點.設(shè)是的兩個零點，證明：.四、招式演練★已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是的導函數(shù).（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）若，證明：當，且時，.【答案】(1)當時，無極值;當時,有極小值;(2)詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．試題解析：（Ⅰ）的定義域為，當時，在時成立在上單調(diào)遞增，無極值.當時，解得由得；由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極小值.（Ⅱ）當時，的定義域為，，由，解得.當變化時，，變化情況如下表：00+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∵，且，則（不妨設(shè)）★已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有極大值為，且方程的兩根為，且，證明：.【答案】（1）;（2）見解析.（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點（2）當時，0-極大值的極大值為，由得；因為，所以在必存在一個零點；顯然當時，，所以在上必存在一個零點； 函數(shù)的極值點偏移問題，其實是導數(shù)應用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)學問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).例.（2010天津理）已知函數(shù)，如果，且.證明：構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，且在上單調(diào)遞減，所以，即證法三：由，得，化簡得…，不妨設(shè)，由法一知，.令，則，代入式，得，反解出，則，故要證，即證，又因為，等價于證明：…，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，，從而也在上單調(diào)遞增，，構(gòu)造，則，又令，則，由于對恒成立，故，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，由洛比塔法則知：，即證，即證式成立，也即原不等式成立.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的.例.（2013湖南文）已知函數(shù)，證明：當時，【解析】易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.招式演練：★已知函數(shù)，正實數(shù)滿足.證明：.【解析】由，得從而，令，構(gòu)造函數(shù)，得，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，也即，解得：.★已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程有兩個相異實根，，且，證明：.【答案】（Ⅰ）在(0,1)遞增，在(1,+遞減；（Ⅱ）見解析（2）由(1)可設(shè)的兩個相異實根分別為，滿足且，由題意可知又有(1)可知在遞減故所以，令 含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).★例1.已知函數(shù)有兩個不同的零點，求證：.不妨設(shè)，記，則，因此只要證明：，再次換元令，即證構(gòu)造新函數(shù)，求導，得在上遞增，所以，因此原不等式獲證.★例2.已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，證明：法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè)，∵，∴，∴，欲證明，即證.∵，∴即證，∴原命題等價于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1中思路2的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)，則，反解出：，故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.★例3.已知是函數(shù)的兩個零點，且.（1）求證：；

（2）求證：.要證：，即證：，等價于，也即，等價于，令等價于，也等價于，等價于即證：令，則，又令，得，∴在單調(diào)遞減，，從而，在單調(diào)遞減，∴，即證原不等式成立.【點評】從消元的角度，消掉參數(shù)，得到一個關(guān)于的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過構(gòu)造函數(shù)證明相應不等式.★例4.已知函數(shù)，若存在，使，求證：.再證：.∵，而，∴.證畢.【招式演練】★設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點，（1）證明：；（2）求證：.（2）證明：由，易知且，從而，令，則，由于，下面只要證明：，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像可知，只需證：兩點連線的斜率要比兩點連線的斜率小即可，又因為，即證：，令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴原不等式成立.★設(shè)函數(shù)，其圖像在點處切線的斜率為.當時，令，設(shè)是方程的兩個根，是的等差中項，求證：(為函數(shù)的導函數(shù)）.★設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導函數(shù)，且是的圖像上不同的兩點，滿足，線段中點的橫坐標為，證明：【解析】∵，又依題意，得在定義域上單調(diào)遞增，所以要證，只需證，即……不妨設(shè)，注意到，由函數(shù)單調(diào)性知，有，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，即單調(diào)遞減，當時，，從而不等式式成立，故原不等式成立.★已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）若有兩零點（），求證：.【點評】1.方程的變形方向：①是函數(shù)的兩個零點，1是該函數(shù)的極值點.②是函數(shù)的兩個零點，是該函數(shù)的極值點.2.難點的證明依賴利用放縮.★已知函數(shù)f(x)=1（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)a>0，證明：當0<x<a時，f(a+x)<f(a-x)；（Ⅲ）設(shè)x1,x2是【答案】（Ⅰ）f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當0<x<a時，f(a+x)<f(a?x)；（Ⅲ）證明過程見解析（Ⅱ）令g(x)=f(a+x)-f(a-x)，則g(x)=1=2x-aln求導數(shù)，得g'當時0<x<a，g'(x)<0，∴g(x)在而g(0)=0，∴g(x)<g(0)=0，故當0<x<a時，f(a+x)<f(a-x)（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當a≤0時，函數(shù)y=f(x)至多有一個零點，故a>0，從而f(x)的最小值為f(a)，且f(a)<0，不妨設(shè)0<x1<x2由（Ⅱ）得f(2a-x從而x2>2a-x由（Ⅰ）知，f'(x點晴:本題考查函數(shù)導數(shù)的單調(diào)性.不等式比較大小，函數(shù)的零點問題：在（Ⅰ）中通過求導，并判斷導數(shù)的符號，分別討論a的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(a+x)-f(a-x)，把不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，求函數(shù)g(x)當0<x<a時的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）問的結(jié)論.★已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)，對于曲線上的兩個不同的點，，記直線的斜率為，若，證明：.【答案】（1）（2）見解析由題設(shè)得.又，∴.不妨設(shè)，，則，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故.又因為，因此，即.又由知在上單調(diào)遞減，所以，即.★已知函數(shù)，．（Ⅰ）求過點且與曲線相切的直線方程；（Ⅱ）設(shè)，其中為非零實數(shù)，有兩個極值點，且，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：．【答案】（1）（2）見解析∴，解得∴切線的斜率為，∴切線方程為（Ⅱ），當時，即時，，在上單調(diào)遞增；當時，由得，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，由得，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當時，有兩個極值點，即，，即的范圍是點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).★已知函數(shù).（1）證明：當時，；（2）若函數(shù)有兩個零點，（，），證明：.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析試題解析：（1）欲證證，，在上遞增，（2），，令，易知在遞減，，，，，，，，，，，，，要合題意，如圖，，，右大于左，原題得證 前面我們已經(jīng)指明并提煉出利用判定定理解決極值點偏移問題的策略：若的極值點為，則根據(jù)對稱性構(gòu)造一元差函數(shù)，巧借的單調(diào)性以及，借助于與，比較與的大小，即比較與的大?。辛诉@種解題策略，我們師生就克服了解題的盲目性，細細咀嚼不得不為其絕妙的想法喝彩。本文將提煉出極值點偏移問題的又一解題策略：根據(jù)建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，利用對數(shù)平均不等式鏈求解．★例.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：當時，；（3）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.法二：構(gòu)造以為主元的函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則，，由，解得，當時，，∴在上單調(diào)遞增，而，所以，故當時，.【問題的進一步探究】對數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立.只證：當時，.不失一般性，可設(shè).證明如下：（I）先證：……不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式成立；（II）再證：……不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因為時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對，都有對數(shù)平均不等式成立，當且僅當時，等號成立.例題第（3）問另解：由故要證.根據(jù)對數(shù)平均不等式，此不等式顯然成立，故原不等式得證.★已知函數(shù)與直線交于兩點.求證：由題于與交于不同兩點，易得出則∴上式簡化為:∴招式演練：★已知函數(shù)（），曲線在點處的切線與直線垂直.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，證明：.【答案】（1）（2）見解析試題解析：（1）依題意得，所以，又由切線方程可得，即，解得此時，，令，即，解得；令，即，解得所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為所以，即，，.（2）證明：不妨設(shè)因為所以化簡得，可得，.要證明，即證明，也就是因為，所以即證即，令，則，即證.令（），由故函數(shù)在是增函數(shù)，所以，即得證.所以.學科&網(wǎng)點睛：本題主要考查函數(shù)導數(shù)與切線的關(guān)系，考查利用導數(shù)來證明不等式，考查利用分析法和導數(shù)來證明不等式的方法.有關(guān)導數(shù)與切線的問題，關(guān)鍵的突破口在與切點和斜率，本題中已知切線和某條直線垂直，也即是給出斜率，利用斜率可求得函數(shù)的參數(shù)值.利用導數(shù)證明不等式通常先利用分析法分析，通過轉(zhuǎn)化后再利用導數(shù)來證明.★已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，且取得最大值時，設(shè)，且函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并證明：【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）當時，最大為1；（Ⅲ）證明過程見解析（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當取最大值1時，，記，，不妨設(shè)，由題意，則，，欲證明，只需證明，只需證明，即證明，即證，設(shè)，則只需證明，也就是證明，記，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以原不等式成立.★已知函數(shù)f(x)=alnxx（1）若a=b，討論F(x)=f(x)?g(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)f(x)的曲線與函數(shù)g(x)的曲線有兩個交點，設(shè)兩個交點的橫坐標分別為x1,x2【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由已知得F(∴F'當0<x<1時，當x>1時，∵1-故若a>0，F(xiàn)(x)在故若a<0，F(xiàn)(x)在取∴t=x1x∵p'(t)=1∴p故原命題得證．★已知函數(shù).（1）若在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)解，證明：.【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）見解析（Ⅱ）由，只要證只需證，不妨設(shè)即證，只需證，則在上單調(diào)遞增，，即證 近幾年全國各地的模擬試題、高考試題中頻繁出現(xiàn)一類考查函數(shù)導數(shù)的題型：在給定區(qū)間內(nèi)研究兩函數(shù)之間的不等關(guān)系.要解決這類問題，往往是直接構(gòu)造某個新函數(shù)，或者分離變量之后構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來求出最值或者得到我們想要的不等關(guān)系.這一類問題多數(shù)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，解題時除了直接構(gòu)造一元函數(shù)求解，還可將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)問題，再用對數(shù)平均不等式求解，本文對此類問題做一探究.★（2016年新課標I卷理數(shù)壓軸21題）已知函數(shù)有兩個零點.證明：.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，，故可整理得：設(shè)，則那么，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，則，故單調(diào)遞增，有．因此，對于任意的，．由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則有而，，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：．法三：參變分離再構(gòu)造對稱函數(shù)由法二，得，構(gòu)造，利用單調(diào)性可證，此處略.法五：利用“對數(shù)平均”不等式參變分離得：，由得，，將上述等式兩邊取以為底的對數(shù)，得，化簡得：，故由對數(shù)平均不等式得：，，從而等價于：由，故，證畢.★(2010天津理)已知函數(shù).如果，且.證明：.★設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于兩點，且.證明：（為函數(shù)的導函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項取對數(shù)得：=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得：，即：招式演練：★已知函數(shù)在上有兩個零點為.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）;（2）見解析.【解析】試題分析：（1）在上有兩個零點等價于方程有兩個根，即與有兩個交點，研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；（2），，兩式相除可得，設(shè)，只需證明即可.試題解析：（1）∵在上有兩個零點，∴方程，則，于是時，，即在上單調(diào)遞減；當時，，即在【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進而求最值、不等式恒成立問題以及不等式證明問題，屬于難題.對于求不等式恒成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù),另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的,如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.★已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當時，.【解析】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)由(1)知當時，．不妨設(shè)，因為，即，則，要證明，即，只需證明，即．而等價于，令，則，令，則，所以單調(diào)遞減，，即，所以單調(diào)遞減，所以，得證．★已知函數(shù)，若任意不同的實數(shù)滿足，求證：.方案一（差為自變量）：法三：令，原式，則令，設(shè)，則在為減函數(shù)，則時有最大值，故，證畢.★已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】（Ⅰ）．①當時，，則函數(shù)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．②當時，令，則．若，則，在上是單調(diào)減函數(shù)；若，則，在上是單調(diào)增函數(shù). 于極值點偏移問題，前文已多次提到其解題策略是將多元問題（無論含參數(shù)或不含參數(shù)）轉(zhuǎn)化為一元問題，過程都需要構(gòu)造新函數(shù).那么，關(guān)于新函數(shù)的選取，不同的轉(zhuǎn)化方法就自然會選取不同的函數(shù).★已知函數(shù)有兩個不同的零點，，其極值點為．（1）求的取值范圍； （2）求證：；（3）求證：； （4）求證：．解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，舍去；則必有，得在上遞減，在上遞增，要使有兩個不同的零點，則須有．（嚴格來講，還需補充兩處變化趨勢的說明：當時，；當時，）．（3）由所證結(jié)論可以看出，這已不再是的極值點偏移問題，誰的極值點會是1呢？回到題設(shè)條件：（ii）構(gòu)造函數(shù)，則學*科網(wǎng)（4）（i）同上；（ii）構(gòu)造函數(shù)，則學*科網(wǎng)當時，，但因式的符號不容易看出，引進輔助函數(shù)，則，當時，，得在上遞增，有，則，得在上遞增，有，即；（iii）將代入（ii）中不等式得，又，，在上遞增，故，．學*科網(wǎng)點評：雖然做出來了，但判定因式及的正負時，均需要輔助函數(shù)的介入，費了一番功夫，雖然的極值點是1，理論上可以用來做（3）、（4）兩問，但實踐發(fā)現(xiàn)略顯麻煩，我們還沒有找到理想的函數(shù)．再次回到題設(shè)條件：，記函數(shù)，則有．接下來我們選取函數(shù)再解（3）、（4）兩問．（3）（i），得在上遞減，在上遞增，有極小值，又當時，；當時，，由不妨設(shè)．【點評】用函數(shù)來做（3）、（4）兩問，過程若行云流水般，格外順暢．這說明在極值點偏移問題中，若函數(shù)選取得當，可簡化過程，降低難度．注1：第（2）問也可借助第（4）問來證：將，相加得．注2：在第（ii）步中，我們?yōu)槭裁纯偸墙o定的范圍？這是因為的范圍較的范圍小，以第（3）問為例，若給定，因為所構(gòu)造的函數(shù)為，這里，且，得，則當時，無意義，被迫分為兩類：①若，則，結(jié)論成立；②當時，類似于原解答．而給字，則不會遇到上述問題．當然第（4）問中給定或的范圍均可，請讀者自己體會其中差別．【思考】練習1：（查看熱門文章里極值點偏移（1））應該用哪個函數(shù)來做呢？提示：用函數(shù)來做，用函數(shù)來做．學*科網(wǎng)練習2：（安徽合肥2017高三第二次質(zhì)量檢測）已知（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè),，為函數(shù)的兩個零點，求證.提示：將，兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程處理.【招式演練】★已知函數(shù)有兩個零點，求證：.只要證：即證：，即證：，由的單調(diào)性知，只需證：，學*科網(wǎng)同理構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明，下略.★已知的圖像上有兩點，其橫坐標為，且.（1）證明：；（2）證明：.又構(gòu)造函數(shù)：，則，故在上單調(diào)遞增，由于時，，且，故必存在，使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時，，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有，學*科網(wǎng)再由，且在上單調(diào)遞增，故，即證：成立.綜上：即證成立.從而對恒成立，同理得出：.綜上：即證成立，也即原不等式成立.學*科網(wǎng)★已知函數(shù)．（1）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點，，求證：．【答案】（1）；（2）當時，，當時，，當時，；（3）證明見解析.試題解析：（1）因為點在曲線上，所以，解得．因為，所以切線的斜率為0，所以切線方程為．（2）因為，①當時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；②當，即時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；③當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；學*科網(wǎng)④當，即時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．綜上，當時，；當時，；當時，．令，則，于是，令（），則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立，所以原不等式成立．所以，即成立，所以原不等式成立．學*科網(wǎng)【方法點晴】本題主要考查導數(shù)與切線的問題，考查導數(shù)與極值、最值的問題，考查構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的方法.第一問涉及求函數(shù)的參數(shù)，只需代入點的坐標解方程即可，涉及切線問題利用導數(shù)和斜率的對應關(guān)系易得.第二問求函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值，需要對進行分類討論，分類的依據(jù)是導數(shù)的零點是否在定義域內(nèi).第三問要證明不等式，先將其轉(zhuǎn)化為同一個參數(shù)，然后利用導數(shù)求其最小值來求.★已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點且，又是的導函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：<0.【答案】（1）（2）（3），理由見解析用分離參數(shù)在上恒成立，即求的最大值.學*科網(wǎng)（3）有兩個實根，，兩式相減，又，．要證：，只需證：，令可證.試題解析：（1）函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以．于是．要證：，只需證：只需證：．(*)令，∴(*)化為，只證即可．在（0，1）上單調(diào)遞增，，即．∴．★已知函數(shù)f(x)=(（1）當x>1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.（2）若對于任意x∈[e,e2]，都有（3）若x1≠x2【答案】⑴詳見解析；⑵詳見解析.試題解析：⑴f'(x)=①k≤0時,因為x>1,所以f函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間,無極值；②當k>0時，令lnx-k=0,解得x=當1<x<ek時，f'所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,ek)在區(qū)間(1,+∞)上的極小值為f(e⑵由題意，f(x)-4即問題轉(zhuǎn)化為(x-4)lnx-(k+1)x<0對于即k+1>(x-4)lnx令g(x)=(x-4)ln令t(x)=4lnx+x-4,x∈[所以t(x)在區(qū)間[e,e2所以g(x)在區(qū)間[e,e2要使k+1>(x-4)lnxx對于又f(x1構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(即h(x)=xlnh因為x∈(0,ek),所以所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,ek而h(ek所以f(x1)<f(e2k點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題．處理導數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會．★已知函數(shù)(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)極值點為，若存在，且，使，求證：【答案】（1）增區(qū)間為：減區(qū)間為：；（2）見解析.試題解析：（Ⅰ）的定義域為，由得:由得增區(qū)間為：由得減區(qū)間為：（Ⅱ）要證，只需證由（Ⅰ）知在上為增函數(shù)，在上是增函數(shù)，，即又成立，即★已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)，是函數(shù)的兩個零點，是函數(shù)的導函數(shù)，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)是否變號進行討論，當時，，遞增，當時，導函數(shù)有一零點，導函數(shù)先正后負，故得增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）利用分析法先等價轉(zhuǎn)化所證不等式：要證明，只需證明，即證明，即證明，再令，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定其最值：在上遞增，所以，即可證得結(jié)論.試題解析：(1)的定義域為，當時，，遞增當時，遞增；遞減綜上：∴當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為當時，的單調(diào)增區(qū)間為即證明，即證明令，則則，∴在上遞減，，∴在上遞增，所以成立，即點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).★已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.（1）不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）設(shè)在內(nèi)的實根為，，若在區(qū)間上存在，證明：.【答案】（1）1（2）見解析：要證：，即證：，只要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中.利用導數(shù)可得在上單調(diào)遞增，即得試題解析：（1）由，所以，設(shè)，∴.由，∴，在上單調(diào)遞增；，∴，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以實數(shù)的最大值為.而，故，而，從而，因此當，即單調(diào)遞增.從而當時，，即，故得證.★已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明時，.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.★已知.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，，為函數(shù)的兩個零點，求證：.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析:（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)，分類討論，當時，；當時，，由得，時，，時，，即可得出單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．不妨設(shè)，由條件知，即，構(gòu)造函數(shù)，與圖像兩交點的橫坐標為，，利用單調(diào)性只需證構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明．點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題．處理導數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會．★已知函數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個極值點，，且，證明：．【答案】（1）．（2）詳見解析.②若，即，方程的兩根為，，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意．綜上，若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為．（Ⅱ）因為函數(shù)有兩個極值點，所以在上有兩個不等的實根，即在有兩個不等的實根，，于是，且滿足，，，同理可得．，令，．，，∵，∴，又時，，∴，則在上單調(diào)遞增，所以，即，得證．★已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線．（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，，且，證明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程見解析；（Ⅱ）由題意，函數(shù)，其定義域為，，令，得，其判別式，函數(shù)有兩個極值點，，等價于方程在內(nèi)有兩不等實根，又，故．所以，且，，，令，，則，由于，∴，故在上單調(diào)遞減．故．所以，所以．點睛：此題主要考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)單調(diào)性、最值在不等式證明中的綜合應用能力等有關(guān)方面的知識，屬于高檔題型，也是高頻考點.在問題（Ⅰ）中根據(jù)導數(shù)幾何意義建立方程組，求出函數(shù)解析式，再由題意構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點個數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間，從而求出實數(shù)的取值范圍；在問題（Ⅱ）中，由（Ⅰ）可求出函數(shù)的解析式，依據(jù)導數(shù)與極值點的關(guān)系求出參數(shù)的范圍，并求出參數(shù)與極值點的關(guān)系式，根據(jù)問題構(gòu)造新的函數(shù)，再用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立.值點偏移問題在高考中很常見，此類問題以導數(shù)為背景考察學生運用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強，能力要求較高.下面給出引例，通過探究，歸納總結(jié)出解決此類問題的一般性方法.★已知，．若有兩個極值點，，且，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路于是．又，設(shè)，則．因此，，．要證，即證：，．即：當時，有．設(shè)函數(shù)，，則，所以，為上的增函數(shù)．注意到，，因此，．學&科網(wǎng)于是，當時，有．所以，有成立，．學&科網(wǎng)解法二變換函數(shù)能妙解證法2：欲證，需證．若有兩個極值點，，即函數(shù)有兩個零點．又，所以，，是方程的兩個不同實根．顯然，否則，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意．由，解法三構(gòu)造函數(shù)現(xiàn)實力證法3：由，是方程的兩個不同實根得，令，，由于，因此，在，．設(shè)，需證明，只需證明，只需證明，即，即．來源：微信公眾號中學數(shù)學研討部落即，，故在，故，即．令，則，因為，，在，所以，即．學&科網(wǎng)解法四巧引變量（一）證法4：設(shè)，，則由得，設(shè)，則，．欲證，解法五巧引變量（二）證法5：設(shè)，，則由得，設(shè)，則，．欲證，需證，即只需證明，即，設(shè)，，故在，因此，命題得證．學&科網(wǎng)★已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.欲證：，結(jié)合的單調(diào)性，即證：等價于證明：令，構(gòu)造函數(shù)，求導由單調(diào)性易得原不等式成立，略.法二：接后續(xù)解:由得：構(gòu)造函數(shù)，求導由單調(diào)性易得在恒成立，又因為，故成立.法三：接④后續(xù)解：視為主元，設(shè)則在上單調(diào)遞增，故，再結(jié)合，故成立.法四：構(gòu)造函數(shù)，學&科網(wǎng)則，從而在上單調(diào)遞增，故，即對恒成立，從而，則，由，且在單調(diào)遞增，故，即，從而成立.招式演練：★已知函數(shù)有兩個不同的零點．求的最值；證明：．【答案】（1），無最小值（2）見解析【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點，命題主要是和導數(shù)、絕對值不等式及柯西不等式相結(jié)合，導數(shù)部分一旦出該類型題往往難度較大，要準確解答首先觀察不等式特點，結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進一步構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)證明.★已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線交于兩點，線段中點的橫坐標為