-.z垂直平分線角平分線綜合應(yīng)用一．解答題〔共30小題〕1．如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點F．試說明AE=CF．2．如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：〔1〕AM⊥DM；〔2〕M為BC的中點．3．：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF，當(dāng)D點在什么位置時，DE=DF.并加以證明．4．如圖，∠B=∠C=90°，DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，求證：E是BC的中點．5．如圖在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，假設(shè)AB=6cm，求△DEB的周長．6．如圖，AD為∠BAC的平分線，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，試說明：BE=CF．7．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的長．8．如圖，∠ABC=60°，點D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：〔1〕∠ABD的度數(shù)；〔2〕DB的長度．9．如圖．AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分線交CD于點E，且點E是CD的中點．問：〔1〕點E在∠ABC的平分線上嗎.〔2〕AD+BC與AB的大小關(guān)系怎樣.請證明．10．如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC．〔1〕求證：AE平分∠BAD；〔2〕判斷AB、CD、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；〔3〕假設(shè)AD=10，CB=8，求S△ADE．11．如圖，BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，假設(shè)S△ABC=28，求DE的長．12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求證：BE+DE=AC．13．：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BE=CF，求證：AD是BC的中垂線．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點E，垂足為D．求證：∠CAB=∠AED．15．如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F．〔1〕假設(shè)△CMN的周長為15cm，求AB的長；〔2〕假設(shè)∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．16．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．〔1〕假設(shè)∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度數(shù)；〔2〕假設(shè)BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求點D到AB的距離．17．：如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，假設(shè)PM、QN分別垂直平分AB、AC．〔1〕求∠PAQ的度數(shù)；〔2〕如果BC=10cm，求△APQ的周長．18．電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔P，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請在圖中作出發(fā)射塔P的位置．〔尺規(guī)作圖，不寫作法，保存作圖痕跡〕19．如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，假設(shè)BC=8米，AB=10厘米，求△EBC的周長．20．如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，DG⊥CE，點G為垂足．〔1〕說明：DC=BE；〔2〕假設(shè)∠AEC=72°，求∠BCE的度數(shù)．21．如下列圖，MP和NQ分別垂直平分AB和AC．〔1〕假設(shè)∠BAC=105°，求∠PAQ的度數(shù)；〔2〕假設(shè)∠PAQ=25°，求∠BAC的度數(shù)．22．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE⊥BE于點E，且BE=．求證：AB平分∠EAD．23．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC點的中線，E是AC的中點，連接AC，DF⊥AB于F．求證：∠BDF=∠ADE．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點E，O，F(xiàn)．〔1〕求證：點O在AB的垂直平分線上；〔2〕假設(shè)∠CAD=20°，求∠BOF的度數(shù)．25．如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．說明：〔1〕如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的*種思路寫出來〔要求至少寫3步〕；〔2〕在你經(jīng)歷說明〔1〕的過程之后，可以從以下①、②中選取一個補充或者更換條件，完成你的證明．1、畫出將△BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；2、點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形〔AC∥KN，如圖2〕．附加題：如圖3，假設(shè)點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．26．如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，請你探究線段DE與AM之間的關(guān)系．說明：〔1〕如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的*種思路寫出來〔要求至少寫3步〕；〔2〕在你經(jīng)歷說明〔1〕的過程之后，可以從以下①、②中選取一個補充或更換條件，完成你的證明．①畫出將△ACM繞*一點順時針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；②∠BAC=90°〔如圖〕附加題：如圖，假設(shè)以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關(guān)系．27．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，假設(shè)點P從B點出發(fā)以2cm/秒的速度向A點運動，點Q從A點出發(fā)以1cm/秒的速度向C點運動，設(shè)P、Q分別從B、A同時出發(fā)，運動時間為t秒．解答以下問題：〔1〕用含t的代數(shù)式表示線段AP，AQ的長；〔2〕當(dāng)t為何值時△APQ是以PQ為底的等腰三角形.〔3〕當(dāng)t為何值時PQ∥BC.28．如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，假設(shè)動點P從點C開場，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，設(shè)運動的時間為t秒．〔1〕當(dāng)t為何值時，CP把△ABC的周長分成相等的兩局部．〔2〕當(dāng)t為何值時，CP把△ABC的面積分成相等的兩局部，并求出此時CP的長；〔3〕當(dāng)t為何值時，△BCP為等腰三角形.29．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運動，設(shè)運動時間為t秒．〔1〕當(dāng)t=1時，求△ACP的面積．〔2〕t為何值時，線段AP是∠CAB的平分線.〔3〕請利用備用圖2繼續(xù)探索：當(dāng)t為何值時，△ACP是以AC為腰的等腰三角形.〔直接寫出結(jié)論〕30．如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．試答復(fù)：〔1〕圖中等腰三角形是．猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是．理由：〔2〕如圖②，假設(shè)AB≠AC，圖中等腰三角形是．在第〔1〕問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎.〔3〕如圖③，假設(shè)△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎.EF與BE、CF關(guān)系又如何.說明你的理由．垂直平分線角平分線綜合應(yīng)用_2021年03月11日的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題〔共30小題〕1．〔2021?海淀區(qū)校級模擬〕如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點F．試說明AE=CF．【分析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH=ED，再證ED=FG，則EH=FG，通過證明△AEH≌△CFG即可．【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED〔角平分線的性質(zhì)〕∵EF∥BC，AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴四邊形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG〔AAS〕∴AE=CF．【點評】此題考察了角平分線的性質(zhì)；綜合利用了角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識點．2．〔2021秋?寧江區(qū)期末〕如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：〔1〕AM⊥DM；〔2〕M為BC的中點．【分析】〔1〕根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC=180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM=90°，根據(jù)垂直的定義得到答案；〔2〕作NM⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM=MN，MN=CM，等量代換得到答案．【解答】解：〔1〕∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；〔2〕作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M為BC的中點．【點評】此題考察的是角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．〔2021春?校級期末〕：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF，當(dāng)D點在什么位置時，DE=DF.并加以證明．【分析】當(dāng)D為AB的中點時，AD為等腰三角形底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一〞可知AD為∠A的平分線，又DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證DE=DF．【解答】解：當(dāng)D為BC的中點時，DE=DF．理由：∵AD為等腰三角形底邊上的中線，∴AD平分∠BAC，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．【點評】此題考察了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)．關(guān)鍵是運用等腰三角形的“三線合一〞解題．4．〔2021春?沭陽縣期末〕如圖，∠B=∠C=90°，DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，求證：E是BC的中點．【分析】過點E作EF⊥AD，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等即刻得到結(jié)論．【解答】證明：過點E作EF⊥AD于F，∵∠B=∠C=90°，∴CD⊥BC，AB⊥BC，∵DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，∴CE=DF，EF=BE，∴CE=BE，∴E是BC的中點．【點評】此題考察了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．〔2021春?潛江校級期中〕如圖在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，假設(shè)AB=6cm，求△DEB的周長．【分析】利用角平分線的性質(zhì)求得AE=AC，CD=DE，然后利用線段中的等長來計算△DEB的周長．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，∴AC=AE，CD=DE，AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周長=BE+DE+BD=BE+AC=AB=6cm．【點評】此題考察了三角形的全等的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)求得AE=AC，CD=DE，要學(xué)會進(jìn)展線段的等效轉(zhuǎn)移．6．〔2021秋?監(jiān)利縣校級期中〕如圖，AD為∠BAC的平分線，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，試說明：BE=CF．【分析】先由角平分線的性質(zhì)就可以得出DB=DF，再證明△BDE≌△FDC就可以求出結(jié)論．【解答】解：∵∠B=90°，∴BD⊥AB．∵AD為∠BAC的平分線，且DF⊥AC，∴DB=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，，∴Rt△BDE≌Rt△FDC〔HL〕，∴BE=CF．【點評】此題考察了角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．7．〔2021秋?紅安縣期中〕如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的長．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形面積公式求出△ABD的面積，求出△ADC面積，即可求出答案．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC于點F，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，∵△ABC的面積為7，∴△ADC的面積為7﹣4=3，∴AC×DF=3，∴AC×2=3，∴AC=3．【點評】此題考察的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．8．〔2021春?市校級期中〕如圖，∠ABC=60°，點D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：〔1〕∠ABD的度數(shù)；〔2〕DB的長度．【分析】〔1〕根據(jù)DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，即可得出點D在∠ABC的角平分線上，由∠ABC=60°，即可得出∠ABD=30°；〔2〕根據(jù)在直角三角形中，含30°角的直角邊等于斜邊的一半，即可得出DB的長．【解答】解：〔1〕∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，∴DB平分∠ABC，即∠ABD=∠ABC=×60°=30°；〔2〕在直角三角形BFD中，∵∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∴DE=5，∴BD=2DE=12．【點評】此題考察了角平分線的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，含30°角的直角邊等于斜邊的一半．9．〔2021秋?區(qū)校級月考〕如圖．AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分線交CD于點E，且點E是CD的中點．問：〔1〕點E在∠ABC的平分線上嗎.〔2〕AD+BC與AB的大小關(guān)系怎樣.請證明．【分析】〔1〕連結(jié)BE，作EH⊥AB于H，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得ED=EH，而ED=EC，則EC=EH，然后根據(jù)角平分線的判定方法即可得到BE平分∠ABC；〔2〕利用“HL〞可證明Rt△ADE≌Rt△AHE得到AD=AH，同樣可證明Rt△BCE≌Rt△BHE得到BC=BH，于是有AD+BC=AH+BH=AB．【解答】解：〔1〕連結(jié)BE，作EH⊥AB于H，如圖，∵AE平分∠BAD，ED⊥AD，EH⊥AB，∴ED=EH，∵點E是CD的中點，∴ED=EC，∴EC=EH，而AD∥BC，DC⊥AD，∴EC⊥BC，∴BE平分∠ABC，即點E在∠ABC的平分線上；〔2〕AD+BC=AB．理由如下：在Rt△ADE和Rt△AHE中，∴Rt△ADE≌Rt△AHE，∴AD=AH，同樣可證明Rt△BCE≌Rt△BHE，∴BC=BH，∴AD+BC=AH+BH=AB．【點評】此題考察了角平分線：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊的距離相等的點在這個角的角平分線上．也考察了全等三角形的判定與性質(zhì)．10．〔2021秋?區(qū)月考〕如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC．〔1〕求證：AE平分∠BAD；〔2〕判斷AB、CD、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；〔3〕假設(shè)AD=10，CB=8，求S△ADE．【分析】〔1〕過點E作EF⊥DA于點F，首先根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CE=EF，根據(jù)等量代換可得BE=EF，再根據(jù)角平分線的判定可得AE平分∠BAD；〔2〕首先證明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代換可得結(jié)論；〔3〕根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF=CE，再利用三角形的面積公式可得答案．【解答】〔1〕證明：過點E作EF⊥DA于點F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中點，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠BAD．〔2〕證明：AD=CD+AD，∵∠C=∠DFE=90°，∴在Rt△DFE和Rt△DCE中，∴Rt△DFE和Rt△DCE〔HL〕，∴DC=DF，同理AF=AB，∵AD=AF+DF，∴AD=CD+AD；〔3〕解：∵CB=8，E是BC的中點，∴CE=4，∴EF=4，∵AD=10，∴S△ADE=10×4×=20．【點評】此題主要考察了角平分線的性質(zhì)和判定，以及全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和判定定理．11．〔2021秋?黃岡校級月考〕如圖，BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，假設(shè)S△ABC=28，求DE的長．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DF，根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于DE的方程，求出即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，∴×6×DE+×8×DF=28，∴DE=DF=4．【點評】此題考察了角平分線定義的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DF是解此題的關(guān)鍵．12．〔2021?歷下區(qū)一?！橙鐖D，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求證：BE+DE=AC．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CE=DE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．【解答】證明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE=DE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC．【點評】此題考察了角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．13．〔2021?蕭山區(qū)二模〕：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BE=CF，求證：AD是BC的中垂線．【分析】由AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，繼而證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得∠B=∠C，證得AB=AC，然后由三線合一，證得AD是BC的中垂線．【解答】證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD〔SAS〕，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分線，∴AD是BC的中垂線．【點評】此題考察了等腰三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握三線合一性質(zhì)的應(yīng)用．14．〔2021?懷柔區(qū)一模〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點E，垂足為D．求證：∠CAB=∠AED．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED．【點評】此題考察的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．15．〔2021秋?農(nóng)安縣期末〕如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F．〔1〕假設(shè)△CMN的周長為15cm，求AB的長；〔2〕假設(shè)∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．【分析】〔1〕根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周長=AB；〔2〕根據(jù)三角形的角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的角和定理列式計算即可得解．【解答】解：〔1〕∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周長為15cm，∴AB=15cm；〔2〕∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2〔∠A+∠B〕=180°﹣2×70°=40°．【點評】此題考察了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的角和定理，〔2〕整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．16．〔2021春?雁塔區(qū)校級期末〕如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．〔1〕假設(shè)∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度數(shù)；〔2〕假設(shè)BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求點D到AB的距離．【分析】〔1〕根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到FB=FC，根據(jù)角平分線的定義得到∠CBA=48°，根據(jù)三角形角和定理計算即可；〔2〕根據(jù)三角形的面積公式求出DG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：〔1〕∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=2∠CBD=2∠ABD=48°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，∵EF是BC的中垂線，∴FB=FC，∴∠FCB=∠FBC=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°；〔2〕作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DG⊥BC，DH⊥AB，∴DH=DG，∵BF：FD=5：3，S△BCF=10，∴S△DCF=6，∴S△BCD=16，∴DG=，∴DH=DG=，即點D到AB的距離為．【點評】此題考察的是線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等、角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是今天的關(guān)鍵．17．〔2021春?東明縣期中〕：如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，假設(shè)PM、QN分別垂直平分AB、AC．〔1〕求∠PAQ的度數(shù)；〔2〕如果BC=10cm，求△APQ的周長．【分析】〔1〕根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得PA=PB，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，然后根據(jù)三角形的角和定理求出∠B+∠C=60°，然后進(jìn)展計算即可得解；〔2〕求出△APQ的周長=BC，然后代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】解：〔1〕∵PM垂直平分AB，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，同理，QA=QC，∴∠QAC=∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，∴∠PAQ=∠BAC﹣〔∠PAB+∠QAC〕=∠BAC﹣〔∠B+∠C〕=120°﹣60°=60°；〔2〕由〔1〕可知：PA=PB，QA=QC，∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ的周長為10cm．【點評】此題考察了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)熟記解題的關(guān)鍵．18．〔2021秋?西市區(qū)校級期中〕電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔P，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請在圖中作出發(fā)射塔P的位置．〔尺規(guī)作圖，不寫作法，保存作圖痕跡〕【分析】根據(jù)題意，P點既在線段AB的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故兩線交點即為發(fā)射塔P的位置．【解答】解：設(shè)兩條公路相交于O點．P為線段AB的垂直平分線與∠MON的平分線交點或是與∠QON的平分線交點即為發(fā)射塔的位置．如圖，滿足條件的點有兩個，即P、P′．【點評】此題考察了線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)，屬根本作圖題．19．〔2021秋?鶴慶縣校級期中〕如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，假設(shè)BC=8米，AB=10厘米，求△EBC的周長．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EC，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，∴EA=EC，∴△EBC的周長=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=18cm，答：△EBC的周長為18cm．【點評】此題考察的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．20．〔2021秋?鹽都區(qū)期中〕如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，DG⊥CE，點G為垂足．〔1〕說明：DC=BE；〔2〕假設(shè)∠AEC=72°，求∠BCE的度數(shù)．【分析】〔1〕由G是CE的中點，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=BE=AB，即可得到DC=BE；〔2〕由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，則∠B=2∠BCE，由此根據(jù)外角的性質(zhì)來求∠BCE的度數(shù)．【解答】解：〔1〕如圖，∵G是CE的中點，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分線，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中線，∴DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，∴DE=BE=AB，∴DC=BE；〔2〕∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE，∴∠AEC=3∠BCE=72°，則∠BCE=24°．【點評】此題考察了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．也考察了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．21．〔2021秋?和平區(qū)期中〕如下列圖，MP和NQ分別垂直平分AB和AC．〔1〕假設(shè)∠BAC=105°，求∠PAQ的度數(shù)；〔2〕假設(shè)∠PAQ=25°，求∠BAC的度數(shù)．【分析】〔1〕先根據(jù)三角形角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=75°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=75°，便不難求出∠PAQ的度數(shù)為30°；〔2〕根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得AP=BP，AQ=CQ，則∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，則∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C；根據(jù)三角形的角和定理，得∠APQ+∠AQP=180°﹣∠PAQ=150°，則∠B+∠C=75°，進(jìn)而求解．【解答】解：〔1〕∵∠BAC=105°，∴∠ABP+∠ACQ=180°﹣105°=75°，∵M(jìn)P、NQ分別垂直平分AB和AC，∴PB=PA，QC=QA．∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=75°，∴∠PAQ=105°﹣75°=30°；〔2〕∵M(jìn)P和NQ分別垂直平分AB和AC，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，∴∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C．∵∠PAQ=25°，∴∠APQ+∠AQP=180°﹣∠PAQ=155°，∴∠B+∠C=77.5°．∴∠BAC=∠B+∠C+∠PAQ=77.5°+25°=102.5°．【點評】此題綜合運用了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)．22．〔2021?西城區(qū)一?！橙鐖D，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE⊥BE于點E，且BE=．求證：AB平分∠EAD．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=BC，AD⊥BC根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結(jié)論．．【解答】證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．【點評】此題考察了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．〔2021?黃岡模擬〕如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC點的中線，E是AC的中點，連接AC，DF⊥AB于F．求證：∠BDF=∠ADE．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE．根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAD=∠BDF，等量代換即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵AB=AC，AD是△ABC點的中線，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，∵E是AC的中點，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°．∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90°，∴∠BAD=∠BDF，∴∠BDF=∠CAD，∴∠BDF=∠ADE．【點評】此題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．〔2021春?校級期末〕如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點E，O，F(xiàn)．〔1〕求證：點O在AB的垂直平分線上；〔2〕假設(shè)∠CAD=20°，求∠BOF的度數(shù)．【分析】〔1〕根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=AO，依此即可證明點O在AB的垂直平分線上；〔2〕根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再根據(jù)垂直的定義，等腰三角形的性質(zhì)和角的和差應(yīng)選即可得到∠BOF的度數(shù)．【解答】〔1〕證明：∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，∵AD是BC的垂直平分線，∴BO=CO，∵OE是AC的垂直平分線，∴AO=CO，∴BO=AO，∴點O在AB的垂直平分線上；〔2〕解：∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD平分∠BAC，∵∠CAD=20°，∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，∵OE⊥AC，∴∠EFA=90°﹣40°=50°，∵AO=CO，∴∠OBA=∠BAD=20°，∴∠BOF=∠EFA﹣∠OBA=50°﹣20°=30°．【點評】考察了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．25．〔2006?〕如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長線交BC于點N，直線BD與直線NE相交于點F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．說明：〔1〕如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的*種思路寫出來〔要求至少寫3步〕；〔2〕在你經(jīng)歷說明〔1〕的過程之后，可以從以下①、②中選取一個補充或者更換條件，完成你的證明．1、畫出將△BAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；2、點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形〔AC∥KN，如圖2〕．附加題：如圖3，假設(shè)點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【分析】〔1〕要證DF=EF，就要證出∠FDE=∠FED，也就是∠BDA=∠NEC，觀察這兩個角，不能直接用角的大小關(guān)系或全等來得出相等，則可通過構(gòu)建全等三角形來得出一個和兩個分別相等的中間值，以此來證出兩角相等，則可過C作CP⊥AC，則我們可通過證三角形ABD和APC全等來得出∠ADB=∠ACP，通過證三角形CPN和CEN全等來得出∠MEC=∠NPC．先看第一對三角形，的條件有AB=AD，一組直角，而∠ABD和∠PAC都是∠ADB的余角，因此∠ABD=∠PAD，則兩三角形就全等，可得出AC=PC=CE，∠ADB=∠NPC，又知道了∠NCE=∠PCN=45°，一條公共邊CN，則后面的一對三角形也全等，就能得出∠ADB=∠MEC=∠NPC，也就能得出∠FDE=∠FED了由此可得證．〔2〕解題思路和〔1〕一樣，也是先證三角形ABD和APC全等，后證三角形CPN和CEN全等，來得出結(jié)論．【解答】解：△DEF是等腰三角形證明：如圖，過點C作CP⊥AC，交AN延長線于點P∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠ADB=∠P∵AD=CE∴CE=CP∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠CEN∴∠CEN=∠ADB∴∠FDE=∠FED∴△DEF是等腰三角形．附加題：△DEF為等腰三角形證明：過點C作CP⊥AC，交AM的延長線于點P∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP，∠D=∠P∵AD=EC，CE=CP又∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠E∴∠D=∠E∴△DEF為等腰三角形．【點評】此題主要考察了等腰三角形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)；通過和所求條件正確的構(gòu)建出全等三角形是解題的關(guān)鍵．26．〔2006?西崗區(qū)〕如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，請你探究線段DE與AM之間的關(guān)系．說明：〔1〕如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的*種思路寫出來〔要求至少寫3步〕；〔2〕在你經(jīng)歷說明〔1〕的過程之后，可以從以下①、②中選取一個補充或更換條件，完成你的證明．①畫出將△ACM繞*一點順時針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；②∠BAC=90°〔如圖〕附加題：如圖，假設(shè)以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關(guān)系．【分析】〔1〕分三種情況討論，當(dāng)∠BAC=90°，易得△ABC≌△AED；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得ED=2AM；進(jìn)而可以在∠BAC＞90°與∠BAC＜90°時，比較可得有ED=2AM的結(jié)論；〔2〕根據(jù)〔1〕的結(jié)論，選?、谝椎么鸢福窘獯稹拷猓骸?〕分三種情況；當(dāng)∠BAC=90°，M是BC的中點∴AM=BM=MC=∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD∴△ABC≌△AED∴ED=BC∴ED=2AM當(dāng)∠BAC＞90°，易得ED=2AM當(dāng)∠BAC＜90°，易得ED=2AM〔2〕〔1〕的結(jié)論，假設(shè)∠BAC=90°，可得ED=2AM附加：結(jié)合上題可得：2AM=DE延長CA到F使AF=AC，連接BF易證△ABF≌△ADE∴BF=DE∵2AM=BF∴2AM=DE．【點評】此題為探究性題目，要求學(xué)生能全面考察可能出現(xiàn)的情況，并依次求出其中的關(guān)系．27．〔2021?模擬〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，假設(shè)點P從B點出發(fā)以2cm/秒的速度向A點運動，點Q從A點出發(fā)以1cm/秒的速度向C點運動，設(shè)P、Q分別從B、A同時出發(fā)，運動時間為t秒．解答以下問題：〔1〕用含t的代數(shù)式表示線段AP，AQ的長；〔2〕當(dāng)t為何值時△APQ是以PQ為底的等腰三角形.〔3〕當(dāng)t為何值時PQ∥BC.【分析】〔1〕由題意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB﹣BP，AQ=t．〔2〕假設(shè)△APQ是以PQ為底的等腰三角形，則有AP=AQ，即12﹣2t=t，求出t即可．〔3〕假設(shè)PQ∥BC，則有AQ：AC=AP：AB．從而問題可求．【解答】解：〔1〕∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°．又∵AB=12cm，∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB﹣BP=12﹣2t，AQ=t．〔2〕∵△APQ是以PQ為底的等腰三角形，∴AP=AQ，即12﹣2t=t，解得t=4，即當(dāng)t=4秒時△APQ是等腰三角形．〔3〕∵當(dāng)AQ：AC=AP：AB時，有PQ∥BC，∴t：6=〔12﹣2t〕：12，解得t=3．即當(dāng)t=3秒時，PQ∥BC．【點評】此題考察等腰三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用能力．28．〔2021秋?校級期中〕如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，假設(shè)動點P從點C開場，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，設(shè)運動的時間為t秒．〔1〕當(dāng)t為何值時，CP把△ABC的周長分成相等的兩局部．〔2〕當(dāng)t為何值時，CP把△ABC的面積分成相等的兩局部，并求出此時CP的長；〔3〕當(dāng)t為何值時，△BCP為等腰三角形.【分析】〔1〕先由勾股定理求出△ABC的斜邊AB=10cm，則△ABC的周長為24cm，所以當(dāng)CP把△ABC的周長分成相等的兩局部時，點P在AB上，此時CA+AP=BP+BC=12cm，再根據(jù)時間=路程÷速度即可求解；〔2〕根據(jù)中線的性質(zhì)可知，點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩局部，進(jìn)而求解即可；〔3〕△BCP為等腰三角形時，分三種情況進(jìn)展討論：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．【解答】解：〔1〕△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，∴△ABC的周長=8+6+10=24cm，∴當(dāng)CP把△ABC的周長分成相等的兩局部時，點P在AB上，此時CA+AP=BP+BC=12cm，∴t=12÷2=6〔秒〕；〔2〕當(dāng)點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩局部，此時CA+AP=8+5=13〔cm〕，∴t=13÷2=6.5〔秒〕，∴CP=AB=×10=5cm；〔3〕△BCP為等腰三角形時，分三種情況：①如果CP=CB，則點P在AC上，CP=6cm，此時t=6÷2=3〔秒〕；如果CP=CB，則點P在AB上，CP=6cm，此時t=5.4〔秒〕〔點P還可以在AB上，此時，作AB邊上的高CD，利用等面積法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=〔8+2.8〕÷2=5.4〔秒〕〕②如果BC=BP，則點P在AB上，