2022年安徽中小學(xué)論文評選發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要：發(fā)散思維與收斂思維相對，它是一種求異思維。關(guān)鍵詞：發(fā)散思維；數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)定理；數(shù)學(xué)例題引言：思維在人類學(xué)習(xí)中占了舉足輕重的地位，孔子曾經(jīng)說過：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”。也就是說，不能只學(xué)習(xí)不思考，也不能只思考不學(xué)習(xí)。思維可以更好地理解知識、鞏固知識、運用知識，發(fā)散思維是按思維的指向分類的一種。隨著時代的發(fā)展，創(chuàng)新思維越來越重要，而發(fā)散思維又是創(chuàng)新思維重要的部分，因此研究發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是緊跟時代，緊隨潮流的。一、發(fā)散思維1.發(fā)散思維的概念發(fā)散思維又叫求異思維、分散思維、輻射思維等。發(fā)散思維與收斂思維相對，它是一個對已知的信息、已知的條件、已知的事實進行一個多方面、多角度的思考、理解，產(chǎn)生出多種結(jié)果。這種思維是并不局限于確定的答案或者是固定的理解，它是向外發(fā)散的。通過這種思維我們可能會發(fā)現(xiàn)新的問題，探索出一些如果按照常規(guī)思維得不出的結(jié)果【1】。 2.發(fā)散思維的特點

(1)流暢性

發(fā)散思維的流暢性主要是說一個人面對問題的時候在規(guī)定的時間內(nèi)能夠想到答案數(shù)量的多少，或者是想出問題答案的快慢，它反映的是思維的敏捷度和反應(yīng)的快慢。也就是對同一個問題答案想的越多，反應(yīng)越快的話，流暢性就越高。比如說很多人都會舉一反三，聰明的人做題就只會做一類題，這就是發(fā)散思維的流暢性所在。其實，發(fā)散思維的流暢性在數(shù)學(xué)問題上也有體現(xiàn)。例如，前幾天就看到這樣一個小學(xué)數(shù)學(xué)題目：一個正方形的面積是10㎡，那么邊長是這個正方形4倍的正方形的面積是多少？一般的學(xué)生可能就開始求小正方形的邊長，可是在背遍乘法口訣都不知道到底是哪兩個相同的數(shù)相乘得10。這在小學(xué)水平中是求不到的，但是思維敏捷的同學(xué)們利用觀察分析找到了方法。12022年安徽中小學(xué)論文評選假設(shè)小正方形的邊長是am，那么大正方形的邊長就是4am，由題意可知：a210則可得（4a）216a2160，因此就可以求出大正方形的面積是160m2。這道題只要僅僅抓住a210就可以了，體現(xiàn)了發(fā)散思維流暢性在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的優(yōu)越性。 (2)變通性

發(fā)散思維的變通性主要是說一個人面對問題的時候回答問題的靈活性，它反映的是思維的靈活性和隨機應(yīng)變的能力。比如說一加一等于幾這個問題，大部分人一聽到這個數(shù)學(xué)問題馬上就會說二。的確，二是正確的，但是我們再開動腦經(jīng)想一想，一加一并不一定等于二的。一只鞋加一只鞋等于一雙鞋，在這里，一加一還是等于一的。再比如，籃球運動員在投籃后加罰一次就是一加一等于三，這就是發(fā)散思維所謂的變通性。發(fā)散思維的變通性其實就是思維的靈活性，培養(yǎng)思維的靈活性還是有必要的。例如在解題“管老師跟同學(xué)們一樣大時，同學(xué)們才3歲，同學(xué)們要長到管老師那么大時，那么管老師已經(jīng)45歲了，所以管老師和同學(xué)們現(xiàn)在多大？”大多數(shù)的同學(xué)們是這樣做的【2】：設(shè)同學(xué)們的現(xiàn)在的年齡是x歲。管老師現(xiàn)在的年齡是y歲。那么師生的年齡差就是yx歲，由題意可得：x(yx)3y(yx)45解得x17，y31。則管老師和同學(xué)們現(xiàn)在的年齡分別是31歲和17歲。上面的解法是傳統(tǒng)的、規(guī)范的，有些人做得快也只是因為計算的比較快，那么能不能找到一種解法可以使得這道題的解法更簡潔，答案是肯定的。有的同學(xué)們通過畫圖分析問題，找到了更加簡潔的方法。3歲？？45歲 同學(xué)們年齡管老師年齡通過圖可以看出管老師和同學(xué)們的年齡差是145-3）=143歲。所以。管老師現(xiàn)在22022年安徽中小學(xué)論文評選的年齡是45-1431歲，同學(xué)們現(xiàn)在的年齡是31417歲。 通過這道題的演示，值得注意的是要鼓勵引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)散的思維思考數(shù)學(xué)問題，跳出課本的框框，在解答問題時另辟蹊徑。 (3)獨特性

發(fā)散思維的獨特性主要說一個人面對問題的時候會有自己獨特的見解，它反映的一個人的創(chuàng)新能力和對問題見解的獨特性、新穎性。對待同一個問題，提出的想法越奇特、新奇，那么他的獨特性就是越高的。比如說，面對同一個數(shù)學(xué)題目，大多數(shù)人都會按照傳統(tǒng)的方法，照著一個套路去思考問題，而有些人就會思考著有沒有適合這道題目的更簡潔的方法，具體問題具體分析。往往有些時候，傳統(tǒng)思考問題的方法可能并不適合有些問題，這時候就能體現(xiàn)出發(fā)散思維獨特性的優(yōu)勢所在了。發(fā)散思維的獨創(chuàng)性就是要求人類可以突破一些陳舊的套路，可以有自己獨特的理解方法。例如，我們來看看這樣一道數(shù)學(xué)課堂練習(xí)：有一個水池，水池里面有一號、二號、三號、四號四根水管，一號、二號、三號三個水管同時打開的話，10分鐘就可以注滿水池，二號、三號、四號三個水管同時打開的話，12分鐘就可以注滿水池，一號、四號兩個水管同時打開的話，15分鐘就可以注滿水池。那么如果四個水管同時打開的話，多長時間可以注滿水池？大概所有的同學(xué)們都會習(xí)慣地設(shè)出未知數(shù)，然后列出方程來解題。然而具有獨創(chuàng)性的同學(xué)就會換種解題思路，他的思路是這樣的：兩個一號管，兩個二號管，兩個三號管，兩個四號管，一起打開1分鐘，就可以注滿水池的1+1+1=1,則一號管、二號管、三號管、1012154四號管一起打開1分鐘的話，就可以注滿水池1，所以，注滿水池就一共需要88分鐘的時間。這樣的解法跳出了常規(guī)的設(shè)未知數(shù)x列方程求解的套路。根據(jù)題目的意思，找出隱含的條件，此方法的過程就很簡潔明了，能夠被看作發(fā)散思維獨創(chuàng)性的結(jié)果。 3、發(fā)散思維的形式

(1)逆向思維

逆向思維與正向思維相對，也就是說逆向思維是指在面對數(shù)學(xué)問題時，不是按照正常的思維方向從正面進行推理，而是采用逆推的方式。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程32022年安徽中小學(xué)論文評選中，大多數(shù)人都是擅長用正向思維，很少用逆向思維來思考問題，有時候甚至?xí)雎缘?，其實，?yīng)該加強面對問題用逆向思維思考問題的能力，有時候會更方便我們解題【4】。就好比在做數(shù)學(xué)選擇題時，有的題目我們不必一步一步計算出來的，我們可以直接將答案帶入題目直接計算，這樣更加節(jié)約時間，也不失為做選擇題的一個技巧。例如關(guān)于x的方程x2-5x+=3的解是（）x-3 （A）-4（B）-2（C）2（D）4

這道題直接去解方程是可以求出來的，但是我們可以采用逆推的方法求解，將答案分別代進去算，這樣更加節(jié)約時間。運用代入法，可以很快就能選出的（D）是正確答案。由此可以看出，逆向思維可以幫助我們更好地，更快地解決數(shù)學(xué)問題。(2)側(cè)向思維

側(cè)向思維是從別的問題上聯(lián)想，然后得到啟示，最終解決問題的一種思維的方法。更淺顯的講，就是避開問題的主要方面，從問題的次要方面，或者說是最不起眼的方面去思考問題，往往可能會得到意想不到的結(jié)果，讓人大吃一驚。下面通過一道具體的數(shù)學(xué)題目來看看側(cè)向思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用【3】。已知：A1A2A3kkZ.（1）求證：tanA1tanA2tanA3tanA1tanA2tanA3.（2）

分析一下題目，要證明（2）式成立，直接分別求出每個角是不可能的，因為只有一個已知條件（1）式，根據(jù)這一個式子并不能求出每個角的具體度數(shù)。不妨從側(cè)面來思考問題，將被證的那個等式變一下，變成:tanA1tanA2tanA3tanA2tanA3那么就等于要證明：tanA=-tanA2+tanA311tanA2×tanA342022年安徽中小學(xué)論文評選再用側(cè)向思維聯(lián)想，可以得到：tan(A2+A3)tanA2+tanA3=-tanA2×tanA3聯(lián)系題目給出的條件（1）式得：-tanA2+tanA3=-tan(A+A)=-tan(kp-A)=tanA1-tanA2×tanA32311所以等式就可以得到證明。由此可以了解到側(cè)向思維也是很重要的，它在解決問題的過程中會幫我們更加簡化問題的難度。二.發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用還是很普遍的，正如在本文的前半部分闡述發(fā)散思維的特點及其重要形式的時候，就列舉了發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的有些實例。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本身就是要求學(xué)生們有一定的思維基礎(chǔ)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候，特別在研究方法的時候，基本上是隨著我們的思維來的，所以探究發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是很有必要的。通過研究發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，可以找到一些方法幫助學(xué)生們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更好地掌握數(shù)學(xué)基本解題方法。 1.發(fā)散思維在數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用

發(fā)散思維在數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用大多表現(xiàn)為聯(lián)想、思維的遷移，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，發(fā)生思維的遷移的現(xiàn)象是很常見的。比如說，在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識后，就會遷移到相似三角形的學(xué)習(xí)，大多數(shù)人都會將這兩個進行類比。的確，這兩個知識有很多的相像之處，在學(xué)習(xí)過程中，可以利用發(fā)散思維將其聯(lián)系在一起，這將更有利于學(xué)習(xí)知識。所以應(yīng)該利用發(fā)散思維在數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用，然后歸納總結(jié)，類比推理，建立數(shù)學(xué)概念中的聯(lián)系，解決數(shù)學(xué)問題。也就是說在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，最好將相類似的概念聯(lián)系在一起學(xué)習(xí)，這樣就更有利于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，例如，在學(xué)習(xí)分式的概念時，可以類比于分數(shù)的學(xué)習(xí)，兩者之間是相類似的，只不過一個是數(shù)，一個是式子。另外，在學(xué)習(xí)多項式的乘除時，將其與自然數(shù)的乘除相結(jié)合來考慮，兩者也是有類似地方的，不同的地方還是一個是數(shù)，一個是式子。這樣的學(xué)習(xí)很容易就從一個對象遷移到另一個對象上去了，學(xué)習(xí)起來更方便快捷。52022年安徽中小學(xué)論文評選 2.發(fā)散思維在數(shù)學(xué)定理中的應(yīng)用

發(fā)散思維在數(shù)學(xué)定理中的應(yīng)用跟發(fā)散思維在數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用相類似，只不過將數(shù)學(xué)概念換成了數(shù)學(xué)定理，原理還是相類似的，用到的也是知識的遷移。也就是說在學(xué)習(xí)有些數(shù)學(xué)定理的時候可以聯(lián)系一下相類的數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)，這樣會使記憶更深刻，記得更加牢固。在這里就不一一列舉相對應(yīng)的定理了，因為實在是太多了，就算寫完這篇文章都列舉不完，畢竟數(shù)學(xué)中的知識大多都是可以相互聯(lián)想，互相遷移的。在數(shù)學(xué)定理中應(yīng)用發(fā)散思維，應(yīng)該注意到數(shù)學(xué)定理具有很多共性，相同的地方越多就越容易應(yīng)用發(fā)散思維，所以，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理的這個過程中，應(yīng)該認真地分析定理，仔細回憶學(xué)過的知識中是不是擁有很多類似的地方的。要善于分析并總結(jié)以前學(xué)過的數(shù)學(xué)定理，這樣的總結(jié)是有利于在數(shù)學(xué)定理中應(yīng)用發(fā)散思維的，總結(jié)的越認真仔細，就越容易在數(shù)學(xué)定理中應(yīng)用發(fā)散思維。要深入的理解之前學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)定理知識，找到該數(shù)學(xué)定理的本質(zhì)，才能保證更好地對數(shù)學(xué)定理運用發(fā)散思維。 3.發(fā)散思維在數(shù)學(xué)例題中的應(yīng)用

發(fā)散思維在部分數(shù)學(xué)例題中的應(yīng)用在本文的前半部分有所展示，不妨再看些其他的有發(fā)散思維在其中應(yīng)用的數(shù)學(xué)例題。例求一個一元二次方程x2x300的解?？吹竭@道題，映入腦海的解法就是利用公式：x=-b±b2-4ac2a（6）

來求解，這就是一個套路，接下來就是看大家的運算能力了。由公式（6）得：x5，x6上面的解法是大家都會的，很大眾化的，大多數(shù)人都可以想到的?？墒牵偻貙捯幌滤季S，可以想到學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識——因式分解法?？梢詫⒃匠谭纸庖幌碌玫剑簒5x6062022年安徽中小學(xué)論文評選解得x5，x6其實在解題的過程中運用了發(fā)散思維讓解方程和因式分解這兩個數(shù)學(xué)知識之間發(fā)生了遷移，也就是發(fā)散思維在數(shù)學(xué)概念中的應(yīng)用，然后得到了發(fā)散思維在數(shù)學(xué)例題中的應(yīng)用。使得解題更加方便，減少了繁瑣的計算過程。 說完一元二次方程的解法，再來看看二元一次方程的解法。有這樣一道題目：求解方程組：1012x12y68（7）（8）x10y64看到這個題目，有的同學(xué)選擇的加減法，是先將（7）、（8）式相減，會得到：xy2（9）然后將（9）式代入（7）式可以得到：x2，y4還有的同學(xué)就會想到消去法，用（7）式的12倍減去（8）式的10倍，則可以得到y(tǒng)4，相繼也可以得到x2。其實這兩種方法都是正確的，可以選用任何一種算法，只是思維的方式不一樣，思考的角度不同，但是得到的結(jié)果是一樣的。這就是發(fā)散思維在數(shù)學(xué)例題中的應(yīng)用，它是無處不在的，它也給我們提供了一個較好的思路，我們應(yīng)該習(xí)慣且擅長于在數(shù)學(xué)例題上應(yīng)用發(fā)散思維。三.發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的意義發(fā)散思維在當(dāng)今這個時代是不可或缺的，它是一種緊隨世界潮流的一種思維方法，它與創(chuàng)新緊密相連，創(chuàng)新又是當(dāng)今時代缺少的，因此，發(fā)散思維的重要性是極高的，應(yīng)該充分的重視它【5】。從小學(xué)到大學(xué)我們一直都有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科，一開始的數(shù)、算法，到現(xiàn)在的概念、定理，深刻的明白在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維很重要。無論是在做應(yīng)用題、解答題還是證明題，在做題之前，我們都應(yīng)該有一個清晰地思路。然而決定思路的重要因素又是思維，所以，要提高思維能力，要想利用發(fā)散思維思考問題。首先，72022年安徽中小學(xué)論文評選需要豐富的數(shù)學(xué)知識，如果數(shù)學(xué)相關(guān)知識匱乏的話，就算可以運用發(fā)散思維思考問題也是沒有用的。其次，要樂于批判性地學(xué)習(xí)，要敢于思考，針對問題，提出自己的想法，不要隨波逐流，要有主見，機械的學(xué)習(xí)會阻礙創(chuàng)新性思維的。最后，不要受傳統(tǒng)觀念的束縛，要敢于提出疑問，要相信沒有什么是絕對正確的，真理往往會被有心人發(fā)現(xiàn)的，不要總是習(xí)慣性的思維去思考問題，只沿著同一個思考方向思考問題，需要的是多角度思考問題。 總之，發(fā)散思維在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很重要，它能幫助我們更好、更輕易地理