2022屆上海市浦東新區(qū)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．直線的傾斜角為_________．【答案】【分析】求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角【詳解】，則，斜率為則，解得故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的傾斜角，解題的關(guān)鍵是求出直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題2．函數(shù)的定義域?yàn)開__________________．【答案】【分析】由二次根式的限制條件可得求解即可【詳解】由得，即∴函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：．3．三階行列式中元素的代數(shù)余子式的值為________.【答案】34【分析】根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的定義進(jìn)行計(jì)算．【詳解】由題意，可知：（﹣1）1+2?[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案為34．【點(diǎn)睛】本題主要考查行列式的代數(shù)余子式的概念及根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的定義進(jìn)行計(jì)算．本題屬基礎(chǔ)題．4．已知向量，，若，則__．【答案】##0.25【分析】根據(jù)兩向量的平行關(guān)系得出方程，即可求出的值.【詳解】由題意，，，，則，∴.故答案為：或0.25.5．圓心為且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__．【答案】【分析】根據(jù)圓與直線相切得出圓心到直線的距離，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意，圓的圓心為且與直線相切，∴圓心到直線的距離，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.6．是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，則的周長是__．【答案】【分析】根據(jù)橢圓定義可得的周長為，代入數(shù)值即得結(jié)果.【詳解】根據(jù)橢圓定義可得的周長為為，所以的周長為故答案為:7．雙曲線的實(shí)軸長為，且的一條漸近線方程為，則的方程為__．【答案】或【分析】分別討論當(dāng)焦點(diǎn)在x軸和在y軸的情況，結(jié)合雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】由題意得，所以，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)方程為，又的一條漸近線方程為，所以，所以，故的方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)方程為，又的一條漸近線方程為，所以，所以，故的方程為；綜上，的方程為或.故答案為：或.8．已知的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于_________．【答案】【分析】利用余弦定理得到，進(jìn)而得到結(jié)合正弦定理得到結(jié)果.【詳解】，由正弦定理得.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的有關(guān)知識，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本關(guān)系式，考查恒等變形能力，屬于基礎(chǔ)題.9．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________【答案】2【詳解】試題分析：，．【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的極限．10．已知菱形的邊長為，，點(diǎn)分別在邊上，，.若，則的值為__________【答案】.【分析】根據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式，建立方程即可得到結(jié)論．【詳解】∵BC＝3BE，DC＝λDF，∴，，，，∵菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，∴||＝||＝2，?2×2×cos120°＝﹣2，∵?1，∴（）?（）（1）?1，即44﹣2（1）＝1，整理得，解得λ＝2，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基本定理的應(yīng)用，以及數(shù)量積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的計(jì)算公式．11．在平面直角坐標(biāo)系中，二元方程的曲線為，若存在一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定角，使得曲線上的所有點(diǎn)以為中心順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)角，所得到的圖形與原曲線重合，則稱曲線為旋轉(zhuǎn)對稱曲線.給出以下方程及其對應(yīng)的曲線:；

其中是旋轉(zhuǎn)對稱曲線的是__（填上所有符合題意的曲線）.【答案】，，【分析】畫出圖像，判斷是否為中心對稱圖形，然后再確定定點(diǎn)和定角【詳解】,為橢圓,是中心對稱圖形,存在一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定角,即或,為正方形,存在一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定角是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,是中心對稱圖形,存在一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定角故答案為：，，．12．以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別是，，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上的點(diǎn)滿足，則______．【答案】2【分析】先求出雙曲線方程，根據(jù)數(shù)量積的定義可知平分，再求出直線的斜率和方程，與雙曲線方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得出平分，從而得出為內(nèi)切圓的圓心，即可求出的值.【詳解】橢圓的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為所以雙曲線方程為：，如圖所示：因?yàn)?，，由可得，可得平分，而，∴，∴直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，∴軸，又，∴，平分，即為內(nèi)切圓的圓心．內(nèi)切圓半徑為，故，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了向量在向量方向上的投影，考查計(jì)算能力，是中檔題；由題意求出雙曲線方程，再由向量等式可得平分，求出PF1所在直線的斜率，得到PF1所在直線的方程，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，求出P的坐標(biāo)，進(jìn)一步說明為內(nèi)切圓的圓心，然后由三角形面積差結(jié)合雙曲線定義求得答案.二、單選題13．直線方程的一個(gè)方向向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)直線方程得直線的一個(gè)法向量，再根據(jù)法向量可得直線的方向向量.【詳解】解：依題意，為直線的一個(gè)法向量，∴方向向量為，故選：D.14．若，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合雙曲線的定義，利用充分條件和必要條件的定義判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，，故方程表示雙曲線，因此“”是“方程表示雙曲線”的充分條件，方程表示雙曲線時(shí)，需滿足，即或，故“”不是“方程表示雙曲線”的必要條件，故選：A.15．已知函數(shù)的定義域?yàn)?復(fù)數(shù),若,則的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出的定義域,然后化簡復(fù)數(shù),把表示成的函數(shù)求值域即可.【詳解】由,得,即,所以因?yàn)閺?fù)數(shù)所以因?yàn)?所以故選：B16．太極圖被稱為“中華第一圖”，它是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美.現(xiàn)定義：能夠?qū)AO的周長和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，設(shè)圓.下列說法正確的是（

）①函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”；②函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”；③函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱是為圓O的“太極函數(shù)”的充要條件；④圓O的所有非常值函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù).A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)太極函數(shù)的定義得出經(jīng)過原點(diǎn)的奇函數(shù)是圓的“太極函數(shù)”，然后對四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)依次進(jìn)行分析，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，圓，其圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱，若函數(shù)為奇函數(shù)且經(jīng)過原點(diǎn)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)的圖像必定將圓的周長和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分，故經(jīng)過原點(diǎn)的奇函數(shù)是圓的“太極函數(shù)”，對于①項(xiàng)：函數(shù)是經(jīng)過原點(diǎn)的奇函數(shù)，故函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故①正確；對于②項(xiàng)：因?yàn)?，所以函?shù)是經(jīng)過原點(diǎn)的奇函數(shù)，故是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故②正確；對于③項(xiàng)：若函數(shù)是奇函數(shù)，且圖像與圓不相交，則不是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故③錯誤；對于④項(xiàng)：如下圖所示：非常值函數(shù)為偶函數(shù)，也是圓O的的太極函數(shù)，故④錯誤，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)新定義，能否根據(jù)題意得出經(jīng)過原點(diǎn)的奇函數(shù)是圓的“太極函數(shù)”是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是中檔題.三、解答題17．已知定點(diǎn)，和曲線上的動點(diǎn).(1)求線段的垂直平分線的一般式方程；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與垂直平分線的方向向量乘積為0求解（2）利用相關(guān)點(diǎn)代入法求解【詳解】（1）由題意得，中點(diǎn)為，則的垂直平分線的方程為，即.（2）設(shè)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，因?yàn)閯狱c(diǎn)在曲線上，所以，整理得.所以點(diǎn)的軌跡方程為18．復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位，；(1)若是實(shí)數(shù)，求的值；(2)若復(fù)數(shù)、對應(yīng)的向量分別是、，存在使等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）計(jì)算，然后令虛部為0，解方程即可（2）通過向量等式建立與的關(guān)系，然后結(jié)合的范圍，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，再得不等式得出的范圍【詳解】（1），因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，，結(jié)合θ范圍，解得，所以.（2）復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)、對應(yīng)的向量分別是，，，，又，，所以，得，因?yàn)?，所以，所以．所以，解得或．所以?shí)數(shù)的取值范圍是．19．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為,且.(1)當(dāng)時(shí),求證數(shù)列為等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí),不等式對于任意都成立,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)退相減,得出遞推式,再用構(gòu)造法證明,最后求通項(xiàng)公式(2)恒成立問題,通過分離與轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí),當(dāng),則當(dāng)兩式相減得,即所以所以是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列所以,所以（2）當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),由,得,即對于任意都成立,令則因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí),,所以20．在平面直角坐標(biāo)系中中，設(shè)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)為曲線上一動點(diǎn)，點(diǎn)（其中常數(shù)），求的最小值；(3)已知是曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該曲線上且位于軸的兩側(cè)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）令，則，分對稱軸和進(jìn)行討論即可；（3）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，代入拋物線可得，結(jié)合題意中的數(shù)量積可得，即可求解【詳解】（1）動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，滿足拋物線的定義，故曲線的方程為拋物線；（2）令，故，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以；（3）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，由得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，解得或，?dāng)時(shí)，直線的方程為，定點(diǎn)為不滿足點(diǎn)在該曲線上且位于軸的兩側(cè)，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，定點(diǎn)為，滿足點(diǎn)在該曲線上且位于軸的兩側(cè)，且滿足，不妨令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號，故最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．已知橢圓，直線，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，為直角三角形，且到橢圓的右頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)為上的動點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)求的面積的取值范圍；(3)設(shè)，，直線，判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若存在，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）由為直角三角形及兩邊相等求出參數(shù)，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，表達(dá)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，讓直線與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理表達(dá)出的表達(dá)式，即可求出的面積的取值范圍；（3）設(shè)出直線的方程，和橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表達(dá)出和，求出和的表達(dá)式，代入直線的方程并化簡，即可求出定