第一、二章二、邏輯代數(shù) 化 2學習要二進制、二進制與十進制的相互轉(zhuǎn)邏輯代數(shù) 與定理、邏輯函數(shù)化3數(shù)字量：數(shù)值和時間上都是離散化的量（波形模擬電路器件：晶體管、場管、運放電路：放大、運算數(shù)字電路：處理數(shù)字量，含算術運算和運算等(演算推理簡單，邏輯推理復雜器件：門電路、觸發(fā)器電路：組合邏輯電路其它電路：信號、電源 u

u模擬信號路稱為模擬電路

數(shù)字信號波路稱為數(shù)字電路A-DA-D11、數(shù)字電路的 67（S，1和 。2按所用器件制作工藝的不同：數(shù)字電路可分為雙極（TTL型）和單極型（MOS型）兩類有 ，而與電路以前的狀態(tài)無關。時序邏輯功能，其輸出信號不僅和當時的輸入信而且與電路以前的狀態(tài)有關 本節(jié)小 9數(shù) 數(shù) 數(shù)制轉(zhuǎn) 編退 (i=0,±1,±2……)1、十進制：D=Σki10i2、二進制：D=Σki2i

(2.43)10、(1011.01)23、十六進制：D=Σki16i、(2A.4)16、 符號等信息的一一對應關系。 數(shù)數(shù)1進位制：表示數(shù)時，僅用一位數(shù)碼往往不夠碼每一位的構(gòu)成以及從低位到的進位規(guī)則稱2基數(shù)：進位制的基數(shù)，就是在該進位制中可能1、十進數(shù)碼為：0～9；基數(shù)是10103、102、101、100103、102、101、100５×１０２＝ ５５５

即：(5555)D＝5×103110－222數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2各數(shù)位的各數(shù)位的權是２的 則 則 ，10，11二進制數(shù)，數(shù)碼的和傳輸簡33數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8 各數(shù)位的各數(shù)位的權是844、十六進數(shù)碼為：0～9、A～F；基數(shù)是16如：(D8.A)H＝13×161＋8×160＋10各數(shù)各數(shù)位的權是16N②如果一個N進制數(shù)M包含ｎ位整數(shù)和ｍ位小(an-1an-2…a1a0·a－1a－2…則該數(shù)的權展開式(M)N＝an-1×Nn-1＋an-2×Nn-2＋…＋a1×N1＋×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-③由權展開式很容易將一個N進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)幾種進制數(shù)之間的對應關系十進制數(shù)二進制八進制十六進制數(shù)0000000010000111200010223000113340010044500101556001106670011177801000108901001119100101012A110101113B120110014C130110115D140111016E150111117F將N進制數(shù)按權展開，即可以轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。1、二進制數(shù)與330 0. 10＝3。 = 100. 2、二進制數(shù)與4000111010100.01 0＝(AF4.76)H= 0100. 3、十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制采用的方法—基數(shù)連除、連乘原理：將整數(shù)到的余數(shù)為。

先得到的整數(shù)為，后得22222522210……… 整0.750………×1.500………×1.000 低所以。采用基數(shù)連除、連乘法，可將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意的N進制數(shù)。例:例:將168余數(shù)余數(shù)余數(shù)余數(shù) 余數(shù)0, 余數(shù)1,8|21余數(shù) 余數(shù)0,8|2余數(shù)16|10余數(shù)8, 余數(shù)B0余數(shù)2 余數(shù)例:例:將0.686轉(zhuǎn)換成二、八、十六進制數(shù)(用小數(shù)點后5位表示0.686×2=1.372K-0.686×8=5.488K-0.686×16=10.976K-0.372×2=0.744K-0.488×8=3.904K-0.976×16=15.616K-0.744×2=1.488K-0.904×8=7.232K-0.616×16=9.856K-0.488×2=0.976K-0.232×8=1.856K-0.856×16=13.696K-0.976×2=1.952K-0.856×8=6.848K-0.696×16=11.136K-例例4:將168.686轉(zhuǎn)換為二、八、根據(jù)例2、例3可得 編編 4b3b2b1b00~9BCD。碼的權值依次3碼由84210011得到 碼是一種循環(huán)碼，其特點是任何相鄰的兩碼字，僅有一位代碼不同，其它位相同 1余3碼110123456789 二進制代碼不僅可以表示數(shù)值，而且可以表示符號及文字，使信息交換靈活方便。BCD碼是用4位二進制代碼代表1位十進制數(shù)的編碼，有多種BCD碼形式，最常用的是8421BCD碼。 邏輯代數(shù) 邏輯函數(shù)的達式退算術運算與邏輯運算算術運算與邏輯運算（二進制二進制數(shù)正、負的表 原碼與補碼邏輯運算：二進制數(shù)碼表示邏輯狀態(tài)時二進制數(shù)的算術運二進制數(shù)不僅物理上容易實現(xiàn),而且算術運算也比較簡單,其加、減法遵循“逢2進1”、“借1當2”以下通過4個例子說明二進制數(shù)的加、減、乘、除運算過程二進制加 則為0＋0＝0 1＋1＝10(有進位二進制減1位二進制數(shù) 則為1－0＝1 例1: 解 被加加 例2: 解 被減減

由此可見,兩個二進制數(shù)相加時,每1算(本位被加數(shù)、加數(shù)、低位進位),由此可見,兩個二進制數(shù)相加時,每1算(本位被加數(shù)、加數(shù)、低位進位),二進制乘1位二進制 則為

由運算過程可以看出,二進制數(shù)乘法與十進制數(shù)乘法相類似,可用乘數(shù)的每1位去乘被乘數(shù),乘得的中間結(jié)果的最低解 被乘

有效位與相應的乘數(shù)位對齊,若乘數(shù)位為1,則中間結(jié)果為被乘數(shù)；若乘數(shù)位為0,則中間結(jié)果為0,最后把所有中間結(jié)果同 積則

時相加即可得到乘積。顯然，這種算法計算機實現(xiàn)時很不方便。對于沒有乘法指令的微型計算機來說,常采用比較、相加、與部分積右移相結(jié)合的方法進行編程來二進制除法的運算過程類例4:100100B÷101B解 1

則二進制數(shù)除法是二進制數(shù)是乘法的逆運算,在沒有除法指令的微型計算機中,常采用比較、相減、余數(shù)左移相結(jié)合的方法進行編程來實現(xiàn)除法運算。由于51系列單片機指令系統(tǒng)中包含有加、減、乘、除指令,因此給用戶編程帶來了許多方便,同時也原正數(shù)的符號位用0表示,負數(shù)的符號位用1表示,數(shù)值部分用真值的絕對值來表示的二進制機器數(shù)稱之為,原若真值為正數(shù)X=

Kn-3…K1K0(即n-1位二進制正數(shù)則［X］原0Kn-2Kn-（2數(shù)的若真值為負數(shù)X=－Kn-2Kn-3…K1K0(即n-1位二進制負數(shù))，則［X］原=1Kn-2Kn-3…K1K0=2n-1＋Kn-2Kn-=2n-1－(－Kn-2Kn-=2n-1 ［+115］原 ［-115］原 (3)若真值為零,則原碼有兩種表示法［+0］原［-0］原［X］原

2n-

補碼與反鐘表，假設標準時間為6點整,而某鐘表卻指在9點,若要把表撥準,可以有兩種撥法,一種是倒撥3小時,即9－3＝6；另一種是順撥9小時,即9＋9＝6。盡管將表針倒撥或順撥不同的時數(shù),但卻得到相同的結(jié)果,即9－3與9＋9是等價的。這是因為鐘表采用12小時進位,超過12就從頭算起,即:9＋9＝12＋6,該12稱 9－3＝9＋9＝12＋6→6mod12 例如 11－7＝11＋5→4 可用下式表示:［X］補數(shù)＝X＋K(modK)X=K-

［X］補從上式可見

－2n-

n-

①正數(shù)的補碼與其原碼相同,即［X］補＝［X］原②零的補碼為零,［+0］補＝［-0］補③負數(shù)才有求補碼的問題負數(shù)補碼的求補碼的求法一般有兩①用補碼定義式［X］補

-2n-1≤X≤0(整數(shù)在用補碼定義式求補碼的過程中,由于做一次減,例如n＝8,［X］補＝ ＝②用原碼求反碼,再在數(shù)值末位加1可得到補碼［X］補＝［X］反＋1反一個正數(shù)的反碼,等于該數(shù)的原碼；一個負數(shù)的反碼,等于該負數(shù)的原碼符號位不變(即為1),數(shù)值位按位求反(即0變1,1變0)；或者在該負數(shù)對應的正數(shù)原碼上反［X］反

(2n-

0≤X＜2n--2n-從上式可見①正數(shù)的反碼:［X］反＝［X］原②負數(shù)的反碼:［X］反＝1Kn2Kn3K1K③零的反碼:［+0］反［-0］反例1:假設X1＝+83,X2＝-76,當用8位二進制數(shù)表示一個解:［X1］原＝［X1］反＝［X1］補 ［X2］原 ［X2］反 ［X2］補＝［X］反 綜上所述可歸納負數(shù)的反碼其符號位為1,數(shù)值位逐位求負數(shù)的補碼其符號位為1,數(shù)值位逐位求反并在末位加1析和設計數(shù)字電路的數(shù)學工具。在邏輯代數(shù)中，只有０01等示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，01稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對的邏輯狀態(tài) 邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）（輸入為條件、輸出為結(jié)果邏輯與（邏輯乘）。稱邏輯或（邏輯加）。輯非（邏輯求反）。表示：與“?”、Y=A?B,或“+”、非“ˉ”Y=A（新表達方式 Y=A'1、與邏輯（與運算1、與邏輯（與運算 ABEYABEYABEYA、B都斷開A、B都斷開A斷開、B接通，燈不ABEYABEYA接通、B斷開，燈不A、B都接通功能斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮功能斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮ABABY0000101001116實現(xiàn)與邏輯的6

結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表邏邏輯符A&&門的邏輯符號

2、或邏輯（或運算2、或邏輯（或運算或邏輯的定義：當決定（Y）發(fā)有一個或多個條件具備，（Y）就發(fā)

AB A、B都斷開A斷開、B接通A、B都斷開A斷開、B接通，燈亮ABEYAEYBA接通、B斷開，燈亮A、B都接通ABEYABEY 斷斷滅斷閉亮閉斷亮閉閉亮ABY000011101111邏邏輯符實現(xiàn)或邏輯的 路稱為或門。 門的邏輯符號

REREAY3、非邏輯（非運算非邏輯指的是邏輯的否定。當決定(Y)發(fā)生的條件(A)滿足時，不發(fā)生；條件不滿足，反而發(fā)生。表達式為：開關A控制燈泡A1 RA1 REAYREAYA斷開，燈A斷開，燈A接通，燈滅亮滅AY0110邏邏輯符門的邏輯符號4、常用的邏輯AB&YABY00101AB&YABY001011101110

YABABY001010100110 真值 ABY異或門的邏輯ABY00ABY異或門的邏輯ABY000011101110

YABABAAB&Y&&AB&Y&&A

YABB D常用的邏輯運算的表達式及邏輯與、與、或、非的圖形符 復合邏輯復合邏輯的圖形符號和運算符 邏輯代數(shù) 、定理和規(guī) 的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Yf(A,B,C,…0101兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義 Y1Y1f(A,B,C,… Y2g(A,B,C,…)ABCAB、…，YYY12Y1=Y2。BA BA1010110011100001010110011100001101ABAB 101 律A0律A0A1A1A01、邏輯代數(shù) 和定常量之間的關與運算：00011011或運算：00011011非非運算：1 0基及A=1：AA：AA AA互補律：AA AA證明這 的證明這 的確性。如ABB交換律ABBAB0000010010001111(ABAB0000010010001111ABCABA(BC)ABA

ABC(AB)(ABA分配證明分配率分配證證明等冪率等冪率分配0-1率 0-1率還原律：還原律：ABAB(AB)(AB)AAABA(AB)(AB)AAABA0-1率：AAB(AA)(A分配互補率1(A互補率AABABACBCABAC證明：ABAC ABAC(AA)BC互補率ABACABCAB(1C)AC1分配0-1率ABAC0-1率邏輯代數(shù)的基 和常 （P24表 （P25表2.3.3 （德 定律3、4、 異或、同或互非表2.3.1表2.3.1（1.3.32、邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)則2、邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)則（定理（1）任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入定例如，已知等

ABAB，用函Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入定理成立，即有(AC)BACBAB （2）反演定理：對于任何一個邏輯表達式〔如果將表達式中的所有“·”換成換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，變量換成反變量，反變量換成原變量〕，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補函數(shù)）。YABCDE Y(AB)(CDYABCDE ABCD規(guī)則：a、次序：括號乘→（3）對偶定理：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“”，“”換成“”，“”換成“”，而變量保持不變的一個新的函數(shù)表達式＇，＇稱為函Y的對偶函數(shù)。這 ABCD

Y(AB)(CDEYABCDE Y A 對偶定理的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶定理,可以使要證明及要 的公ABABA (AB)(AB)AA(BC)ABAC ABC(AB)(AC)最后非運算，否則容 邏輯函數(shù)的表達與或表達式Y(jié)AB或與表達式：YABAC與非-與非表達式：YAB或非-或非表達式：YABA與或非表達式：YAB一個邏輯函數(shù)表達式的各種表示形式不同，但 BA相對應的十進制數(shù)，就是這個最小項的下標i。3

部最小項的真值 值

④具有相鄰性FFABCABCABCABCBCABCABC 三變量的最大項：…… (最大項值為0) 2.5.6三變量最大項的編號表：(表2.5.6)M0～Mn-2.5.6i 定律i3、邏輯函數(shù)的最小項表達式——標準與或如果在一個與或表達式中，所有與為最小項，則稱這種表達式為最小項表達式，或稱為標準與或式、標準積之和式。例如：F(A,B,C)ABCABC是一個三變量的最小項表達式，它也可以簡寫F(A,B,C)m5m4m(4,5,6)可利用和來YAA(BB)(CC)(AA)BCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCm0m1m2m3ABCY最小項ABCY最小項0000m00011m10101m20111m31000m41011m51100m61 0m7 11 0m7 1235m(1,2,3,5 ABCAB AAB4、邏輯函數(shù)的最大項之積形式——標準或與式:Y=ΠMk(k≠i)。原因如下：∵任一邏輯函數(shù)均可化成最小項之和的形式，且全體最小項之和為1(變量任何取值下僅有一項為1),如Y=Σmi中包含了=1的項，則Y=1，而Σmi以外的項之和必為0=Y！反之亦然?！郰=Σmk(k≠i)→Y=Σmk→(利用反演定理)Y=Πmk=ΠMk(k≠i)；即兩種標準形式可互換。應用：用于化簡及設計(配 圖、邏輯圖本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)與、或、非是3種基本邏輯關系，也是3種基本邏輯運算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯邏輯代數(shù)的和定理是推演、變換一、含因子最少 (通常與“二”同時成立二、和、積項最少：見例1.5.2(P19～20)p24式 (1.6.1) (1.6.2)關四、例 (應用德 定理)例 ?YYABEABACACEBCABACAB YABACYABACABACABYAB YYABAC(AB)(AABACBCABY(AB)(ACYABAC(AB)(AC(AB)(AC)ABA

YYABACABACAB

號號律②下去用面掉摩的大根非非41.4.2邏輯函數(shù) 1、并(消)變并相和包量成同反含的一時變同若因項，量一兩子，則，個。并這而因消兩其子積去項他的項變并相和包量成同反含的一時變同若因項，量一兩子，則，個。并這而因消兩其子積去項他的項互可因原中為以子變分反合都量Y1ABCABCBC(AA)BCBCBCB(CC)Y2ABCABACABCA(BCABCABCA(BCBC) （１）利 Y1ABABCD(EF) Y2ABCDADBABCDAD(AAD)(BBCD)A

是另項是多外的另余一因外如的個子一乘，個積則乘積項這積（２）利 YABACBCABYABACBCAB(AABABABCC(AABC(AABC

子的反如是因是果多子另一余，一個的則個乘。這乘積個積項

量，以便用其它方法YYABBCBCABBC(AA)BCAB(CCABBCABCABCABCAB(1C)BC(1A)AC(BABBC（２）利 YABCABCABCABC(ABCABC)(ABCABC)(ABCABC)溫醫(yī)ABAC溫醫(yī)1ABACADEAB(ACCDAD)ABACY2ABBCAC(DEABYY(BD)(BDYYBDBDAGCECGBDCECY(BD)(CE)(C小結(jié)：常用 化簡方 二、吸收法：利用 消項 用A時可重復寫入式中已有的用1☆、邏輯函數(shù)的圖形化簡法是將邏輯函數(shù)用圖來表示；并利用圖來化簡邏輯函數(shù)。1、圖的構(gòu)取值按照碼的順序排列二到五變量最小項 二到五變量最小項 圖圖兩變（A、最小項圖

三變（A、BC）

圖ABCABCABCABCABCABCABCABC ABCABCABCABCABCABCABCABC01

CC1

C0C026413751

圖 三變量K

04 048159372604815372圖 四變量、五變量K

由圖可以看出，K圖具有如下特點①n變量的圖有2n個方格，對應表示2n個最小項。每當變量數(shù)增加一個，圖的方格數(shù)就擴大一倍。 上都是相鄰的。由于變量取值的順序按碼排列，保證了各相鄰行(列)之間只有一個變量取值不同，從而保證畫所謂幾何相鄰，一：相接相鄰―幾何位置相鄰，即緊挨著；二：相對相鄰―行、列兩端的相鄰，即任意一行或一列的兩頭相鄰；三：相重相鄰―軸對稱相鄰，即對折起（所謂邏輯相鄰，是指除了一個變量不同外其余變量都相同的兩個與項。 項小每與項個它有2

項小每與項個它有相兩

3鄰個最的小

鄰個量最的小最AAB12021C01圖3圖（相同，又稱為邏輯相鄰項） 項最最也右左是列列相的的鄰相最的應小最項小與 項最最也右左是列列相的的鄰相最的應小最項小與m12

鄰相項最的應與上

m13m15圖m14圖

m11m10

小下一項面行也一的是行最 4

相的小

ABCABCAB(CC)

ABCDABCDAC m1、m13、m21m5ABC

與m4ABC m7ABCDE、m1ABCDE、m13ABC和m21ABCDEm5圖也反映了n變量的任何一個最小 n個相鄰項這一特圖的主要缺點是隨著輸入變量的增加圖形迅速復2、邏輯函數(shù)在圖中的10Y(A,B,C,D)m(1,3,4,6,7,11,14ABCD 00 01 11 1000 0 0 1 111

0000110 110 Y(AD)(BC以般邏表式先函變與必換最項和形然在 積 含那最的Y(AD)(BC或表 AB達 CD 00式

01 11 10YAD

0 0 1 1 小項，在圖相應方內(nèi)填入13 圖的性1。ABC00011110010ABC000111100100110110AABCABCBCCD 00 0100 01 11 10

11 10

ABCDD

412AB11110110 001111011001

ABCABCABC(ABABABABCABCABCABCABC(ACACACAC)BAB01001111011010011110110010000011110醫(yī)溫AB學工程醫(yī)

AAC0001111000110110100110010110AACD00011110000111101001011001101001AACD00011110001111Ｄ

的式消數(shù)合基就去目并本越的越為小原簡變多一結(jié)理單量，項。這就由并鄰就越這消最是多些去0000000111111110000用從小 AB0010011000010011001100110010001

卡而項變數(shù)諾所所量目圖得形必化到成包10簡的的含10 邏邏圈

輯輯越最函表大小 數(shù)達，項綜上所述，最小項合并有以下特點①任何一個合并圈( 圈)所含的方格數(shù)為2i個②必須按照相鄰規(guī)則畫 ③2m個方格合并，消去m個變量。合并圈越大，消去需要，上述最小項的合并規(guī)則，對最大項的合并同樣是適用的。只是因為最大項是與函數(shù)的0值相對0圖中是相鄰的0格圈在一最小項相鄰的幾種001110111

D

19

給出邏輯函數(shù)的最大項表達式只要將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最大項在圖相應的方格中填0，其余的方格填10例如，函數(shù)YM(0,2,6)ABCABCABC圖如下圖

00011111 0001111101必須注意： 圖中最大項的編號與最小項編號是一致的但對應輸入變

給出邏輯函數(shù)的一般或與式將一般或與式中每個或項在圖上所覆蓋的最大項Y5AC)(BC)填入圖時，先確定使每個或項為0時輸入變量的取值，然后在該取值所 10001111 100011110166Y(A,B,C,1 AB0011011011100110110111100000001圖11圖10①個就每個的標是個方方①１多圈格格

C的余都可數(shù) ABC00方的要同目 00③格。有時必 01 ③

01 11 10 新畫須，不的在為能方幾

11 10

漏格個個掉，圈

②任否 ②同標一它但一合合并最小3Y(A,Y(A,B,C,D)BDCDAC

的將乘積項每相個加①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到ABABCD00011110001000011100110110101110ABCD0011001000011100110110101110不是最

最②在有些情況下，不同圈法得到的與或表

圖表示邏輯函數(shù)小 無 例 (2.6.8)，(2.6.91.4.41.4.41、含無關項的邏輯函）ABCYABCY00001100010001010010001011010×001101011×010011100×010101101×01