2021-2022學(xué)年福建省南平市光澤縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的幾何意義。L4

【答案解析】B

解析：∵∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限．故選B.【思路點(diǎn)撥】先利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出Z，再判斷即可。2.設(shè)，則=

A．12e

B．12e2

C．24e

D．24e2參考答案：D函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以，選D.3.函數(shù)的大致圖象為（

）參考答案：D4.設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若＝，則＝A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．D2

【答案解析】D解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由等差數(shù)列的求和公式可得且d≠0，∴，故選D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，用a1和d分別表示出s3與s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化簡(jiǎn)求值即可．5.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．L4

【答案解析】D

解析：∵∴復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算將原式轉(zhuǎn)化，即可判斷它在復(fù)平面內(nèi)的位置．6.△ABC中，,在線段AC上任取一點(diǎn)P，則△PAB的面積小于的概率是(

)A. B. C. D.參考答案：C分析：根據(jù)條件可求出，進(jìn)而得出，從而可求出的面積，即可得出要求的概率值．詳解：由得：；的面積小于的概率為．

故選C．點(diǎn)睛：本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，三角形的面積公式，以及幾何概率的計(jì)算方法，屬于中檔題．7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為(

)

（A）（B）

(C)(D)參考答案：B略8.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.[1,2]參考答案：B9.某地區(qū)有網(wǎng)購(gòu)行為的居民約10萬(wàn)人.為了解他們網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)金額占日常消費(fèi)總額的比例情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取168人進(jìn)行調(diào)查，其數(shù)據(jù)如右表所示.由此估計(jì)，該地區(qū)網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額占日常消費(fèi)總額的比例在20%及以下的人數(shù)大約是

網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額占日常消費(fèi)金額的比例人數(shù)10%以下4010%～20%（含20%）5420%～30%（含30%）3230%～40%（含40%）740%～50%（含50%）850%～60%（含60%）1460%以上13合計(jì)168

A．1.68萬(wàn)

B．3.21萬(wàn)

C．4.41萬(wàn)

D．5.59萬(wàn)參考答案：D10.已知函數(shù)則的值是（

）A.

B.－9

C.

D.9參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.高三（1）班共有56人，學(xué)號(hào)依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知學(xué)號(hào)為6，34，48的同學(xué)在樣本中，那么還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為

．參考答案：20略12.若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、，則三角形面積之比為：.若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點(diǎn)、與點(diǎn)、和、，則類似的結(jié)論為：

.參考答案：略13.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，則_________參考答案：-514.函數(shù)的最小值為_________.參考答案：15.定義在R上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)．f（x）=2x，則滿足f（1﹣2x）＜f（3）的x取值范圍是

．參考答案：（﹣1，2）考點(diǎn)：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)自變量的絕對(duì)值越大函數(shù)值越大，進(jìn)而將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值不等式，解不等式即可得x的取值范圍解答： 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)．f（x）=2x，即偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)∴自變量的絕對(duì)值越大函數(shù)值越大∴f（1﹣2x）＜f（3）?|1﹣2x|＜3?﹣3＜1﹣2x＜3?﹣1＜x＜2故答案為（﹣1，2）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的對(duì)稱性，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式的方法，簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式的解法16.已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同時(shí)滿足條件：①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．則m的取值范圍是

．參考答案：（﹣4，﹣2）【考點(diǎn)】全稱命題；二次函數(shù)的性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)綜合題．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】①由于g（x）=2x﹣2≥0時(shí)，x≥1，根據(jù)題意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1時(shí)成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，則f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）時(shí)成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求【解答】解：對(duì)于①∵g（x）=2x﹣2，當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）＜0，又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左面則∴﹣4＜m＜0即①成立的范圍為﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此時(shí)g（x）=2x﹣2＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，則只要﹣4比x1，x2中的較小的根大即可，（i）當(dāng)﹣1＜m＜0時(shí)，較小的根為﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）當(dāng)m=﹣1時(shí)，兩個(gè)根同為﹣2＞﹣4，不成立，（iii）當(dāng)﹣4＜m＜﹣1時(shí)，較小的根為2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．綜上可得①②成立時(shí)﹣4＜m＜﹣2．故答案為：（﹣4，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全稱命題與特稱命題的成立，指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．17.已知函數(shù)的定義域?yàn)閇]，部分對(duì)應(yīng)值如下表：0451221

的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列關(guān)于的命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)在[0,2]上是減函數(shù)；③如果當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么的最大值是4；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)；⑤函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0，1，2，3，4。其中正確命題的序號(hào)是_____________（寫出所有正確命題的序號(hào)）.參考答案：②⑤試題分析：對(duì)①，由于在區(qū)間[]之外函數(shù)無意義，故不是周期函數(shù)；對(duì)②，由導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)在[0,2]上是減函數(shù)，正確；對(duì)③，根據(jù)對(duì)應(yīng)值表知，函數(shù)在區(qū)間[]上的最大值是2.如果當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么可以是5，故錯(cuò)；對(duì)④，表中沒有給出的值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)不確定.故錯(cuò).對(duì)⑤，結(jié)合圖形可知，正確.考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、函數(shù)的圖象；3、函數(shù)的零點(diǎn)；4、函數(shù)的最值.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（16分）動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，1）的距離和它到直線l：y=﹣1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)A（0，a）（a＞2），動(dòng)點(diǎn)T在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AT|的最短距離為a﹣1，求a的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè)P1，P2為曲線C的任意兩點(diǎn)，滿足OP1⊥OP2（O為原點(diǎn)），試問直線P1P2是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，說明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）根據(jù)拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為l：y=﹣1，由此能求出曲線C的方程．（2）設(shè)點(diǎn)T（x0，y0），x02=4y0（y0≥0），|AT|=，由此能求出a的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)．（3）由題意得直線OP1、OP2的斜率都必須存在，記為k，，聯(lián)立，解得P1（，），同理P2（﹣4k，4k2），由此能證明直線P1P2恒過點(diǎn)（0，4）．解答： 解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，1）的距離和它到直線l：y=﹣1的距離相等，∴根據(jù)拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為l：y=﹣1，所以曲線C的方程為x2=4y．…（2）設(shè)點(diǎn)T（x0，y0），x02=4y0（y0≥0），|AT|==，a﹣2＞0，則當(dāng)y0=a﹣2時(shí)，|AT|取得最小值為2，2=a﹣1，a2﹣6a+5=0，a=5或a=1（舍去），所以y0=a﹣2=3，x0=±2，所以T坐標(biāo)為（±2，3）；…（3）由題意得直線OP1、OP2的斜率都必須存在，記為k，，聯(lián)立，解得P1（，），同理P2（﹣4k，4k2），直線P1P2的斜率為，直線P1P2方程為：整理得：k（y﹣4）+（k2﹣1）x=0，所以直線P1P2恒過點(diǎn)（0，4）…（16分）點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．19.（12分）如圖，在三棱錐C﹣PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AB上，且MN⊥AB．（1）求AN的長(zhǎng)；（2）求銳二面角P﹣NC﹣A的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】（1）如圖，分別取AB，AC的中點(diǎn)O，Q，連接OP，OQ，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)P為x軸，以O(shè)A為y軸，以O(shè)Q為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)N（0，t，0）．由⊥，可得?=0，解得t，即可得出AN．（2）設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則，可得，平面ANC的一個(gè)法向量為=（1，0，0），利用cos=即可得出．【解答】解：（1）如圖，分別取AB，AC的中點(diǎn)O，Q，連接OP，OQ，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)P為x軸，以O(shè)A為y軸，以O(shè)Q為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意知：A（0，3，0），B（0，﹣3，0），P（4，0，0），C（0，﹣3，4），M（2，﹣，2），N（0，t，0）．=，=（0，6，0）．∵⊥，∴?==0，解得t=﹣，∴AN=3﹣=．（2）N，∴=，=（2，0，2），設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則，即，則取=（﹣3，8，3），平面ANC的一個(gè)法向量為=（1，0，0），cos===﹣．∴銳二面角P﹣NC﹣A的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.如圖，過橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)且斜率均為的兩直線分別交橢圓于，又交軸于，交軸于，且與相交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，是直角三角形.（1）求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①證明：存在實(shí)數(shù)，使得；②求|OP|的取值范圍.參考答案：（1）；………4分（2）①證明：由（1）可設(shè)直線的方程分別為和，其中≠0，則，由消去得以上方程必有一根，由韋達(dá)定理可得另一根為故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

………6分由消去得，解得一根為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），………………8分由與平行得，然后，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，………10分而，∴

∴存在實(shí)數(shù)=，使得

………12分②由法一：由消參得點(diǎn)的軌跡方程為，所以的最小值為；………………16分法二：得，令，則=其中∴的最小值為.

--------16分21.（12分）已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0處取得極值．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程f（x）=﹣x+b在區(qū)間（0，2）有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）對(duì)于n∈N+，證明：．參考答案：【分析】（1）求導(dǎo)，f′（0）=0，求得a的值，寫出函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式，f′（x）＞0，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，；由f′（x）＜0，求得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）﹣（﹣x+b），求導(dǎo)，令g′（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間，求得g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）由（1）可知當(dāng)x≥0時(shí)ln（x+1）≤x2+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），可得到ln＜，求得前n項(xiàng)不等式，采用累加法及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可證明不等式成立．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=﹣2x﹣1=，…（1分）∵f′（0）=0，∴=0，∴a=1．∴f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x（x＞﹣1），…（2分）于是f′（x）==（x＞﹣1），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜0；由f′（x）＜0，得x＞0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．…（4分）（2）令g（x）=f（x）﹣（﹣x+b）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（0，2），則g′（x）=﹣2x+=﹣，令g′（x）=0，得x=1或x=﹣（舍），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減．…（7分）方程f（x）=﹣x+b在區(qū)間（0，2）有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于函數(shù)g（x）在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．∴，即亦即，∴l(xiāng)n3﹣1＜b＜ln2+，故所求實(shí)