動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程

25.1動(dòng)力學(xué)普遍方程例題125.2第二類(lèi)拉格朗日方程例題2例題3例題4例題5動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程

根據(jù)達(dá)朗伯原理和虛位移原理，可以導(dǎo)出非自由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)普遍方程。利用它解決問(wèn)題時(shí)，可以避免約束反力在動(dòng)力學(xué)方程中的出現(xiàn)，比較方便!第一類(lèi)拉格朗日方程：用直角坐標(biāo)描述的非自由質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程------模擬和求解復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題第二類(lèi)拉格朗日方程：將完整約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)普遍方程表示為廣義坐標(biāo)的形式，可以推得。----可以直接寫(xiě)出個(gè)數(shù)與系統(tǒng)自由度相同的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方程。25.1動(dòng)力學(xué)普遍方程設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，在任意瞬時(shí),加速度為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為根據(jù)達(dá)朗伯原理，在其上加達(dá)朗伯慣性力作用于此質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力約束反力的合力達(dá)朗伯慣性力(25.1)則點(diǎn)積虛位移對(duì)這n個(gè)式子求和若為理想約束，由虛位移和理想約束的條件知(25.2)(25.3)在具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系中，在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用在其上的主動(dòng)力系和達(dá)朗伯慣性力系在任意系統(tǒng)的任何一組虛位移上的虛功之和等于零。動(dòng)力學(xué)普遍方程或者達(dá)朗伯—拉格朗日原理說(shuō)明

(25.4)上式變?yōu)椋?/p>

例25.1如圖所示，有兩個(gè)半徑皆為r的輪子A，B，輪心通過(guò)光滑圓柱鉸鏈與直桿AB相連，在傾角為的固定不動(dòng)的斜面上作純滾動(dòng)。設(shè)兩輪重皆為P，重心都在輪上，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，連桿重Q。求連桿運(yùn)動(dòng)的加速度。解:(1)以?xún)奢喓瓦B桿組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象系統(tǒng)所受約束為理想約束aABPPQ若連桿發(fā)生平行于斜面向下的的虛位移為,則輪心的虛位移也為,輪子相應(yīng)的虛轉(zhuǎn)角(3)

輪子作純滾動(dòng),其達(dá)朗伯慣性系可以簡(jiǎn)化為通過(guò)輪心的達(dá)朗伯慣性力

達(dá)朗伯慣性力偶矩其中

連桿作平動(dòng),其達(dá)朗伯慣性力系可簡(jiǎn)化為過(guò)其質(zhì)心的一個(gè)達(dá)朗伯慣性力(2)系統(tǒng)所受的主動(dòng)力為重力P,P和Q

（5）

根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程得：

方向平行于斜面向下.

25.2第二類(lèi)拉格朗日方程

直接用質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)的變分來(lái)表示各質(zhì)點(diǎn)的虛位移,對(duì)完整約束系統(tǒng)來(lái)說(shuō),可推得與系統(tǒng)自由度相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)完整約束的質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成,系統(tǒng)的自由度為k,廣義坐標(biāo)為各點(diǎn)的虛位移可表示為代入

各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于定點(diǎn)O的矢徑可表示為(25.5)（25.6)得（25.7）交換上式求和順序得

廣義主動(dòng)力：廣義達(dá)朗伯慣性力：

先引入兩個(gè)經(jīng)典的拉格朗日關(guān)系式：（1）

第一個(gè)經(jīng)典拉格朗日方程由對(duì)時(shí)間求導(dǎo)再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得到（2）第二個(gè)經(jīng)典拉格朗日方程在上式對(duì)s個(gè)廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)得

即也可以寫(xiě)為或?qū)τ诓蛔冑|(zhì)點(diǎn)系

由得引入系統(tǒng)動(dòng)能

對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)將以上公式代入得由以上將改寫(xiě)為因?yàn)?/p>

的相互獨(dú)立性得第二類(lèi)拉格朗日方程若質(zhì)點(diǎn)系所受的全部的主動(dòng)力為有勢(shì)力系統(tǒng)的勢(shì)能只是系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的函數(shù)可得引進(jìn)L=T-V,成為拉格朗日函數(shù)，則上式為

應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程解題時(shí)的注意事項(xiàng)：（1）系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的加速度與各剛體的角速度都必須是絕對(duì)加速度于絕對(duì)角速度。（2）計(jì)算主動(dòng)力與慣性力的虛功時(shí)所涉及到的虛位移必須是絕對(duì)虛位移。拉格朗日方程得解題步驟（1）以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析系統(tǒng)的約束性質(zhì)，確定系統(tǒng)的自由度數(shù)，并恰當(dāng)選取同樣數(shù)目的廣義坐標(biāo)（2）寫(xiě)出廣義坐標(biāo)，廣義速度表示的系統(tǒng)的動(dòng)能（3）計(jì)算廣義力。比較方便而且常用得式由公式計(jì)算。當(dāng)主動(dòng)力均為有勢(shì)力時(shí)，則需求廣義坐標(biāo)表示的系統(tǒng)的勢(shì)能，并寫(xiě)出拉氏函數(shù)。（4）計(jì)算各相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)（5）根據(jù)相應(yīng)形式的拉氏方程，建立質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程。例25．2一質(zhì)量為m的小球與彈簧的一端相連，彈簧的另一端固定。已知彈簧的質(zhì)量不計(jì)，彈性系數(shù)為k，在平衡位置式的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。是求小球在同一鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的拉氏方程。okmr(1)

取小球和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)由兩個(gè)自由度，選取小球的極坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)(2)系統(tǒng)的動(dòng)能為（3）設(shè)衡位置時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能為零，則系統(tǒng)的勢(shì)能為其中（4）系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（5）分別計(jì)算導(dǎo)數(shù)（6）由保守系統(tǒng)的第二類(lèi)拉格朗日方程得例25.3圖是一質(zhì)量為M的均質(zhì)圓盤(pán)，半徑為R,其中心A與彈性系數(shù)為k，彈簧原長(zhǎng)為，且與水平地面平行的彈簧一端相連，彈簧的另一端固定。質(zhì)量為m，長(zhǎng)為的均質(zhì)桿AB通過(guò)以光滑鉸鏈A與圓盤(pán)中心相連。若圓盤(pán)在水平地面上作純滾動(dòng)，試求系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的拉式方程。BPC(2)鋸圓漿盤(pán)和桿晶的動(dòng)能丈分別為解（1）系統(tǒng)的自由度為2，以圖中的x，為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)桿的質(zhì)心為C，圓盤(pán)的速度瞬心為P故系統(tǒng)的動(dòng)能為（3）設(shè)肢過(guò)A的水帖平面為重蜘力勢(shì)能的損零勢(shì)能面蜓，彈簧原景長(zhǎng)為彈位性勢(shì)能更的零勢(shì)小能點(diǎn)則系統(tǒng)的灶勢(shì)能為（4）系然統(tǒng)的拉格溪朗日函數(shù)羞為L(zhǎng)=T-奪V(5)局計(jì)算導(dǎo)焰數(shù)（6）糊由訓(xùn)拉氏方仍程可得到例25.4質(zhì)量為M的均質(zhì)圓柱再三角塊斜邊上作純滾動(dòng)，如圖所示。三角塊的質(zhì)量也為M，置于光滑水平面上，其上有剛度系數(shù)為k的彈簧平行于斜面系在圓柱體軸心O上。設(shè)角試用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：取迷整個(gè)系統(tǒng)粱為研究對(duì)蹈象三角塊毀作平動(dòng)閱，圓柱作換平面運(yùn)僚動(dòng)，系統(tǒng)具醋有兩個(gè)梅自由度亦。ok選三角塊的水平位移和圓柱中心O沿三角塊斜面的位移為廣義坐標(biāo)，其中由靜止時(shí)三角塊任一點(diǎn)位置計(jì)起，由彈簧原長(zhǎng)處計(jì)起如圖。因?yàn)樽饔迷谙到y(tǒng)上的主動(dòng)力mg和彈性力均為有勢(shì)力，所以，可用拉格朗日方程式求解mgmgok取圓柱中師心O為動(dòng)叢點(diǎn)，動(dòng)系撥與三角塊儲(chǔ)固連，定系與怎水平面懸固連，漏則O點(diǎn)盲的絕對(duì)橋速度其中所以，開(kāi)系統(tǒng)的耗動(dòng)能將以上僑表達(dá)式皇代入整理得煩到系統(tǒng)斯的微分方鈴程例25.5如圖所示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓柱B的質(zhì)量，半徑R=10cm,通過(guò)繩和彈簧與質(zhì)量的物塊M相連，彈簧的剛度系數(shù),斜面的傾角。假設(shè)圓柱B滾動(dòng)而不滑動(dòng)，繩子的傾角段與斜面平行，不計(jì)定滑輪A，繩子和彈簧的質(zhì)量，以及軸承A處摩擦，試求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解：取吉整個(gè)系讓統(tǒng)為研獄究對(duì)象。躁圓柱B籠作平面琴運(yùn)動(dòng)物塊M作茶作平動(dòng)，款定滑輪A作定夠軸轉(zhuǎn)動(dòng)MAB系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，選圓柱B的質(zhì)心沿斜面向上坐標(biāo)及物塊M鉛垂向下的的坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，其原點(diǎn)均在靜平衡位置。如圖AMB因?yàn)樽饔迷谙到y(tǒng)上的主動(dòng)力重力和彈性力均為有勢(shì)力所以可用駝拉格朗日冰方程式求爹解若選彈鏡簧原長(zhǎng)撿處為勢(shì)因能零點(diǎn)脂，則系