#階段性測試題四（平面向量與三角形）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.（文）（2011.九龍波區(qū)聯(lián)考）已知向量a=（2,3）,b=（—1,2）,若ma+b與a—2b平行，則實數(shù)m等于（）1212—2A.2 B.C.2 D.［答案］B［解析］ma+b=(2m—1,3m+2),a—2b=(4,—1),2m—2m—1若ma+b與a—2b平行，則「一—3m—2,即2m—1=—12m—8,解之得m=—2.（理）（2011?北京豐臺期末）如果向量a=（k,1）與b=（6,k+1）共線且方向相反，那么k的值為TOC\o"1-5"\h\z（ ）A.—3 B.2c.—7 D.7［答案］A，k=6入［解析］由條件知，存在實數(shù)為＜0,使a=Xb,A（k,1）=（6X,（k+1閃，?,?{ ?□k+1口41.,.k=—3,故選A.2.(2011?蚌埠二中質(zhì)檢)已知點A(—1,0),B(1,3),向量a=(2k—1,2),若AB,a,則實數(shù)k的值為( )A.—2 B.—1C.1 D.2［答案］B［解析］AB=(2,3),：AB，a,???2(2k—1)+3x2=0,.'.k=—1,?'.選B.3.（文）（2011.福建廈門期末）在4ABC中，NC=90。，且AC=BC=3,點M滿足BM=2MA,則CM-CB等于（ ）A.2B.3C.4D.6［答案］B［解析］解法1：如圖，以C為原點，CA、CB為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A（3,0）,

B(0,3),設(shè)M(x0,B(0,3),設(shè)M(x0,y0),vBM=2MLA,.x0=2口3—x0口、y0—3=2口一y0口x0=2,［y0=1.??CM?CB=(2,1>(0,3)=3,故選B.—l -l -一l2—l解法2：;BM=2MA,?，.BM=3BA,.\Cb-CM=Cb-(CB+BM)=iCBi2+CB-［|bA)=9+|x3x3\'2x(—^^=3.(理)(2011?黃岡期末)在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于H,記AB、BC分別為a、b,則AH=( ).2 4 2,4A.5a-5b (2011.遼亍鐵嶺六校聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)(2011.遼亍鐵嶺六校聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)且在［-3,-2］上是減函數(shù)，a、P是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則f(sina)與f(cos0)的大小關(guān)系是()A.f(sina)>f(cos0)B.f(sina)<f(cosP)C.f(sina)=f(cosB)C.-C.-2a［答案］B2 4D.-不一5b［解析］［解析］AF=b+1a,DE=a—2b,設(shè)DH=xDE,則UDH=^a—1入b,；.AH=AD+DH=xa+(1-/)b,?「AH與洋共線且a?「AH與洋共線且a、b不共線，112-5=*4^3十a(chǎn)2-5

D.f(sina)與f(cos[3)的大小關(guān)系不確定［答案］A［解析］f(x+l)=-f(x),???f(x+2)=f(x),??f(x)周期為21>sina>sin(^-P)=cosp>0,??f(x)在［—3,—2］上是減函數(shù)，???f(x)在［―1,0］上是減函數(shù),;f(x)為偶函數(shù)，??1>sina>sin(^-P)=cosp>0,7T「a、p是銳角三角形內(nèi)角，.?.^va+pvm.*.f(sina)>f(cosP)..(2011?遼寧鐵嶺六校聯(lián)考)平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,l),B(—1,3),若點C滿足公= 其中a、0￡R且a+p=l,則點C的軌跡方程為( )A.(x-l)2+(y-2)2=5B.3x+2y-ll=0C.2x-y=0D.x+2y-5=0［答案］D［解析］設(shè)C(x,y),則公=(x,y),(51=(3,1),OB=(-1,3).VOC=adA+p6B,x=3a-P

y=a+3px=3—4Bx=3a-P

y=a+3p，將a=l—P代入得 消去p得x+2y—5=0..(文)(2011.成都市玉林中學期末)已知向量(51=(2,2),OB=(4,1),在x軸上有一點P,使有最小值，則P點坐標為( )A.(-3,0)B.(3,0)C.(2,0)D.(4,0)［答案］B［解析］設(shè)P(x,0),則a=(x—2,-2),BP=(x-4,-1),AP-BP=(x-2)(x-4)+(-2)x(-l)=x2-6x+10=(x-3)2+l,???當x=3時有最小值，???P(3,0).(理)(2011.臨潼區(qū)華安中學期末)平面上的向量G、還滿足I加12+1施12=4,且而1.還=0,若向量前=［加+|誦，則而3的最大值是()1A.］ B.1C.2C.2D-［答案］D［解析］???G?MB=0,.??［答案］D［解析］???G?MB=0,.??G，MB,又?.?iGi2+iMBi2=4,??IABI=2,且M在以AB為直徑的圓上，如圖建立平面直角坐標系，則點A(—1,0),點B(1,0),設(shè)點M(x,y),則x2+y2=1,MiA=(—1—x,—y),MB=(1—x,—y),/MIC=1MiA+|mLB=《-x,-y),,E1 、一c102..IMCI2=g—xj2+y2=§—3x,—1<x<1,Ax=-1時，|MC|2取得最大值為???iMCi的最大值是3.7.(2011?天津漢沽一中月考)半圓的直徑AB=4,O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則（PA+PB>PC的最小值是（）A.2 B.0C.—2 D.—1［答案］C［解析］如圖(PA+PB)-Pc=2PO-PC=—2iPOi-iPc|>—2-'iPOi+iPCi)I2')2=—2,等號在iPOi=iPCi,即p為oc的中點時成立.8.（文）（2010?四川雙流縣質(zhì)檢）已知點P在直線AB上點O不在直線AB上，且存在實數(shù)t滿足OP=2tPA+tOB,則經(jīng)1iPBiA."1B.2C.2D.3［答案］B［解析［解析］vOP=2t(OA—OP)+tOB,^OP=2t+roA+2t+1OB,2tt?P在直線AB上，..2t+1+2t+1=1,■.t=1,.\OP=3oa+3(5b,.:^^^^ ^^1^^ 1^^^???PA=OA—OP=§OA—3OB,^^^^^^2^^2E-―PB=OB—OP=3OB—30A=—2PA,.iPAi1..—=―ipbi2(理)(2011.海南三亞一中月考)已知兩點M(—2,0),N(2,0),點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|MNI-|MP|+MN-NP=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為( )A.y2=8xB.y2=—8xC.y2=4xD.y2=—4x［答案］B［解析］iMNi.iMPi+MN.NP=iMNi-iMPi+iMNi.iNl|cose=lMNl-(lMPl+lNl|?cos6)=0(o為mN與np的夾角)，,.,iMN|W0,???iMPi+iNP|?cose=0,?MPi=lNP|?cos(n—6),,MPi=lPKl,如下圖，又???|MOl=2,?,?方程為y2=—8x,選B.［點評］可將點的坐標代入化簡求解.請再練習下題:已知兩點M,N之間距離為6,點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足IMNI-IMPI+MNNP=0,則動點P到點M的距離的最小值為()A.2 B.3C.4 D.6［答案］B［解析］以線段MN中點為原點，直線MN為x軸建立平面直角坐標系，設(shè)P(x,y),因為M(—3,0),N(3,0),所以lMNl=6,MP=(x+3,y),NP=(x—3,y),

VIMiNI-IMiPI+而NP=0,6\：口>^3口2+y2+6(x—3)=0,化簡整理得y2=-12x，所以點M是拋物線y2=-12x的焦點，所以點P到M的距離的最小值就是原點到M(-3,0)的距離，所以d=3.故選B.9.(文)(2011.鄭州市質(zhì)檢)已知向量m=(1,1),n=(1,t),若m?n=3,則向量m與向量n夾角的余弦值為()A.H A考DC.10D.J。［解析］Vm-n=［解析］Vm-n=3,A1+t=3,At=2,.??n=(1,2),故選D..,.ImI=\i'2,；.cos〈.,.ImI=\i'2,；.cos〈m,山=而而=西5=10(理)(2011.福建永安三中月考)已知團=2|附0,且關(guān)于x的方程x2+IaIx+a-b=0有實根，則a與b的夾角0的取值范圍是()n nnA. & n］ B. ［3, 2C. ［3, n］ D. ［1, 2］［答案］C［解析］由條件得：A=IaI2-4a-b>0,AcosO=言b<黑=1所以a與b的夾角0的取值范IaIIbI4IaIIbI2n圍是［3,n］.故選C.10.(文)(2011?河北玉田一中質(zhì)檢)已知向量a=(x2,x+1),b=(1—x,t),若函數(shù)f(x)=a-b在區(qū)間(一1,1)上是增函數(shù)，則t的取值范圍為()A.t>5 B.t>5C.t<5 D.t<5［答案］A［解析］由題意知，f(x)=x2(1—x)+t(x+1)=—x3+x2+tx+t,則f'(x)=—3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)，則f'(x)>0在(-1,1)上恒成立Qt>3x2-2x在區(qū)間(一1,1)上恒成立，令g(x)=3x2-2x,由于g(x)的圖象是對稱軸為x4開口向上的拋物線，故要使t>3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立，必有t>g(-1)成立，即t>5成立.故使f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)的t的取值范圍是t>5.(理)(2011.浙江菱湖中學月考)已知向量a，e,IeI=1,對任意t￡R,恒有Ia-te|>|a-eI,貝U( )A.a±eB.a±(a-e)C.e±(a-e) D.(a+e)±(a-e)［答案］C［解析］對任意t￡R,恒有Ia—te|>|a—eI,兩邊平方得：a2—2t-a-e+t2>a2—2?a?e+1,即：t2-2t-a-e+2a-e-1>0恒成立，.?.A=4(a?e)2—4(2a?e-1)=4(a?e—1)2<0恒成立，故當a-e=1

時，上式成立，選C..(2011?華安、連城、永安、漳平一中、龍海二中、泉港一中六校聯(lián)考)如圖，在矩形OACB中，E和F分別是邊AC和BC的點，滿足AC=3AE,BC=3BF,若OC=>OE+nOF其中入，^￡R,貝UX+g是B.2D.1［答案］B［解析］o)f=Ob+Bf=Ob+|oA,OE=OA+AE=OA+1OB,相加得oe+of=4(oa+ob)=4oc,.?.OC=4oE+4oF,;.x+g=3+4=2..(文)設(shè)a,b是非零向量，若關(guān)于x的函數(shù)f(x)=(xa+b>(a—xb)的圖象是一條開口向下的拋物線，則向量a,b的夾角為()A.銳角 B.鈍角C.直角 D.銳角或零角［答案］D［解析］f(x)=—(a?b)x2+(a2—b2)x+a/b,由條件知，一@b)<0,，ab>0,Aa與b的夾角為銳角或零角.(理)(2011.安徽百校聯(lián)考)設(shè)O為坐標原點，點A(1,1),若點B(x,y)滿足x2+y2—2x—2y+G0,<1WxW2, 則OAQB取得最大值時，點B的個數(shù)是().1<y<2,A.1B.2C.3D.無數(shù)［答案］B［解析］x2+y2—2x—2y+G0,即(x—1)2+(y—1)221,畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，OA?OB=x+y,設(shè)x+y=t,則當直線x+y=t平移到經(jīng)過點D、C時，t取最大值，故這樣的點B有兩個.

第H卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上.）.（文）（2011湖南長沙一中月考）設(shè)平面向量a=（1,2）,b=（—2,y）,若a〃b,則|3a+b|等于.［答案］--；5［解析］3a+b=(3,6)+(—2,y)=(1,6+y),—2yVa#b,A1--工2—?y=—4—2yVa#b,A1--工2—?y=—4,；.3a+b=(1,2),；.I3a+bl=\；5.（理）（2011?河北冀州期末）已知向量a=（sin。，4）,b=（cos。，1）,c=（2,m）,滿足a±b且（a+b)〃c,［答案］則實數(shù)m=5\,2±2［解析］Va±b,Asin0cos0+4=0,^sin20=—|,XVa+b=lsinO+cosO,4),(a+b)〃c,二m(sin0+cos。)—2=0V(sin0+cos0)2=1+sin20=2,Asin0+cos0=±J^,Am=±^2^,.（文）平面上有三個點A（—2,y）,B（0,y）,C（x,y）,若AB，BC,則動點C的軌跡方程［答案］y2=8x［解析］?「AdB=(2,—§,BC=(x,2),AjbxbC,??.2x—竽=0,??.丫2=8尤即為動點C的軌跡方程.x2（理）設(shè)F1是橢圓丁+y2=1的左焦點，O為坐標原點，點P在橢圓上，則PFLPO的取值范圍［答案］［0,4+2、”］［解析］設(shè)P(x,y),則P?1?PO=(一、j3—x,—y>(—x,-y)=x2+-33x+y2=x2+.'^x+1—

1產(chǎn)=4x2+.'3x+1=(—x+1)2=3［x+1乙 i-\VxE［-2,2］,???當x=一平時，PF1-PO=0,當x=2時，PF1-PO=4+2-^,.\0<PF1-PO<4+2x.,3.???所求范圍為［0,4+2'打］..(2010-安徽省兩地三校聯(lián)考)已知iOAi=1,iOBi=t§,OXOB=0,點c在/aob內(nèi),且NAOC=30°,設(shè)OC=mOA+nOB(m,n￡R),則：=［答案］3同理，n=￡［解析］VOC-OA=mOA2=m,OC.OA=iOCi?cos30°=孚iOCi,?m同理，n=￡d.mIOCI,,一=3

n.（文）（2011.吉林延邊二中月考）如圖，在AABC中，點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB、AC于兩點M、N,若AB=mAM,AC=nAN,則ljm+n的值為［答案］2［解析］Ao=2(AB+AC)m—,n—=yAM+zAN,,.?M、O、N三點共線，?..m+2=1，??m+n^2.(理)(2011?黑龍江哈六中檢測)已知OP=(cos6,sin。)，OQ=(1+sinO,1+cosO),(?！辏?,n］),則iPQl的取值范圍是.［答案］［\-'2,我］［解析］lPQl=f口1+sin。一cos。口2+口1+cos。一sin?？?=\：2口2—sin2。口.。?！辏?,兀］,,2。￡［0,2兀］.sin20e［-1,1］,2(2—sin26)￡［2,6］,IPQieh'2,'/6］.

三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17.(本小題滿分12分)(文)已知a=(1,2),b=(—3,2),當實數(shù)k取何值時ka+2b與2a—4b平行？［解析］當ka+2b與2a—4b平行時，存在惟一實數(shù)入，使ka+2b=X(2a—4b).Vka+2b=k(1,2)+2(—3,2)=(k—6,2k+4).2a—4b=2(1,2)—4(—3,2)=(14,—4).由(k—6,2k+4)=M14,—4)得，fkfk—6=149,《2k+4=—4X,解得1一2,、k=-1.故當k=—1時，ka+2b與2a—4b平行.［點評］可由向量平行的坐標表示的充要條件得(k—6)x(—4)—(2k+4)x14=0,得k=—1.(理)已知向量a=(3sina,cosa),b=(2sina,5sina—4cosa),a￡怎，2n),且a±b.⑴求tana的值；anY⑵求cosg+3J的值.［解析］(1)：a，b,，a-b=0.*/a=(3sina,cosa),b=(2sina,5sina—4cosa),故a?b=6sin2a+5sinacosa—4cos2a=0.由于cosa^0,A6tan2a+5tana—4=0.4- 1解之得，tana=3,或tana=2.(2)Va￡(2)Va￡Va￡.a 3n )..a八,^2^V4，nj,??tan2<0，4 a 1-p-.a由tana=-3求得，tan2=—2或tan2=2(舍去).a.sin2=a.sin2=a

cos2=(aIncos^+s=cos2cos3—sin2sin32年1小3-5x2—5x22擊+飛,！5=— 1o.18.(本小題滿分12分)(文)(2011?甘肅天水期末)已知向量a=(—cosx,sinx),b=(cosx,43cosx),函數(shù)f(x)=a.b,x￡［0,n］.⑴求函數(shù)f(x)的最大值；(2)當函數(shù)f(x)取得最大值時，求呼a與b夾角的大小.［解析］(1)f(x)=a?b=—cos2x+\：3sinxcosx

1sin2x一2cos2x1sin2x一2cos2x—]=12,?/x￡[0,n],.?.當x=3時，f(x)max=1—2=2.J 乙乙_ _ 1(2)由(1)知x=n，a=(-1 ^,b=f1,g),設(shè)向量a與b夾角為a,則cosa=得t=7~73 \2 2J \2 2J la卜Ibl1X112,.a帶(理)(2011?(理)(2011?山東濟南一中期末)已知向量a=(cos32x,吟),(x

b=(cos2,—sinx),且x￡[2n].(1)求a-b及上+bl；⑵求函數(shù)f(x)=a-b+la+bl的最大值，并求使函數(shù)取得最大值時x的值.3xx3xx［解析］(1)a-b=cosqcosa—sin-2sin］=cos2x,(3xx3xx2+2(cos2cos2—sin?sin2la+bl=3xcos^x+cos2)2+((3xx3xx2+2(cos2cos2—sin?sin2la+bl=3xcos^x+cos2)2+(sin|x-sinx)2=2+2cos2x=2lcosxl,..la+bl=-2cosx.(2)f(x)=a-b+la+bl=cos2x—2cosx( 113=2cos2x—2cosx—1=2(cosx一寸2—2*/x￡[2,n],.—1<cosx<0,...當cosx=1,即x=n時fmax(x)=3.19.(本小題滿分12分)(文)(2011.遼寧開源高中月考)已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,A 7向量m=(4,—1),n=(cos2g,cos2A),Mm-n=2.⑴求角A的大??；(2)若a=、;'3,bc=3,[解析](1)：m=(4,試判斷△ABC形狀.A—1),n=(cos22,cos2A),? ， 一A 一，??m?n=4cos2"2"—cos2A=4。1+cosA— —(2cos2A—1)=—2cos2A+2cosA+3XVm-n=2,.—2cos2A+2cosA+3=2,解得cosA=；.nV0<A<n,AA=3，⑵在4ABC中，a2=b2+c2—2bccosA,且a="；3?b2+c2—bc=3.Vbc=3,Ab2+c2=6,(b+c)2—2bc=6,Ab+c=2\''3,?b=c=a=".白，故△ABC為等邊三角形.（理）（2011?安徽宿州市質(zhì)檢）a、b、c為^ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，m=（cos號,sinC）,n4cos2(1)求4cos2(1)求C；C、 一 n一si”｝且m與n的夾角為3.（2）已知c=7,三角形面積S=3^求a+b的值.［解析］(1).m=cos2,sinC),n=cos2,-sinC),. CC..m?n=cos22—sinZg=cosC.nn1乂m.n=lm|.|nlcos3=cos3=2...cosC=2，，C=3.一， 7cosC=2,(2).c2=a2+b2—2abcosC,cosC=2,乙?49 ■，，……..~4=a2+b2—ab=(a+b)2—3ab...Q_1 1訃顯「還.S2absinC2absin3 4ab2,?ab=6.從而（a+b）2=T+3ab=7+18=~~7~.?a+b=彳.I I I 乙20.（本小題滿分12分）（文）（2011?呼和浩特模擬）已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為一?..②且過點（4,—.西）.⑴求雙曲線方程；⑵若點M（3,m）在雙曲線上，求證MF1?Mfo=0.［解析］（1）解：.e4,，2.??可設(shè)雙曲線方程為x2—y2=X,.?過（4,一\，'訕）點，???16—10=兒即為=6,,雙曲線方程為x2—y2=6.(2)證明：F1(—273，0)，F(xiàn)2(2V§,0),MF1=(—3—273,—m),MF2=(—3+273,—m),

AMF1-MF2=-3+m2,又?二M點在雙曲線上，.??9—m2=6,即m2-3=0,AMF1-MF2=0.(理)(2011湖南岳陽一中期末)設(shè)函數(shù)f(x)=mn,其中m=(2cosx,1),n=(cosx,\13sin2x),x￡R.⑴求f(x)的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；(2)在4ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且f(A)=2,①求A；②若b=1,AABC的面積為孝，求需%的值.［解析］f(x)=m-n=2cos2x+N：3sin2x=1+cos2x+\''3sin2x=2sin(2x+6)+1.⑴函數(shù)f(x)的最小正周期T=n., .n一,n3n.令2kn+2<2x+濟工+2kn(k￡Z),，n4n,二2kn+3<2x<y+2kn(k￡Z),，n2n,/.kn+6<x<-y+kn(k￡Z).n2n.，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為［kn+%,y+kn］(k￡Z).n(2)①f(A)=2sin(2A+6)+1=2,二sin(2A+1)=2.n5n..n.0<A<….2A+6="6■…a=§.@S@SA=2bcsinA=2x1xc-^=gc=2.在4ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2—2bc-cosA=1+4—2x1x2x-=3,乙.?.a='打.由正弦定理得,焉=盍=念=￡=2,2. . . .b+c2sinB+2sinC..b=2sinB,c=2sinC...~~zz~=~==~zz~=~=~=2.sinB+sinC sinB+sinC21.(本小題滿分12分)(文)(2011.湖北漳縣一中月考)已知向量a、b、c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a=(1,2).⑴若lcl=2\/5,且a〃c,求c的坐標；

(2)若lbl=，且a+2b與2a—b垂直，求a與b的夾角0.[解析](1)令c=(x,y),則由lcl=2\/5知\'x2+y2=2\,r5@又由a〃c知，2x—y=0②聯(lián)立①②可解得:x=聯(lián)立①②可解得:x=2了=4/x二—2，或| ,[y=—4故c=(2,4)或c=(—2,—4).(2)由a+2b與2a—b垂直知(a+2b>(2a—b)=0,門口, 2b2—2a2即2a2+3a-b—2b2=0,；?a-b=,cos0=2b2—2a23lallblcos0=2b2—2a23lallbl即|a||b|cos0= 3而由a=(1,2)知lal=\.''12+22=-..氏5 2x(^5)-2x口小口2J^lbl=2，■二cos0= 5 =—1,3x^-x\,5V0￡[0,n],.'.0=n.(理)(2011?山東濟南教學質(zhì)量調(diào)研)已知向量a=(2,1),b=(x,y).⑴若x￡{—1,0,1,2},y￡{—1,0,1},求向量a〃b的概率；⑵若x￡[—1,2],y￡[—1,1],求向量a,b的夾角是鈍角的概率.[解析](1)設(shè)“a〃b”為事件A,由a〃b,得x=2y.所有基本事件構(gòu)成集合Q={(一1,—1),(—1,0),(—1,1),(0,—1),(0,0),(0,1),