6/6第十章第八節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列與超幾何分布（理）題組一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)1.以下分布列中，是離散型隨機(jī)變量分布列的是()A.X012P0.30.40.5B.Xx1x2x3P0.3－0.10.8C.X123Peq\f(2,10)eq\f(5,10)eq\f(3,10)D.Xx1x2x3Peq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(3,7)解析：由離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)可知C正確．答案：C2．設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X－101P0.51－2qq2那么q等于()A．1B．1±eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2)D．1＋eq\f(\r(2),2)解析：由分布列的性質(zhì)得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤1－2q＜1，,0≤q2＜1，,0.5＋1－2q＋q2＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜q≤\f(1,2)，,q＝1±\f(\r(2),2).))∴q＝1－eq\f(\r(2),2).答案：C3．已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1,2，…，那么P(2＜X≤4)等于()A.eq\f(3,16)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16)D.eq\f(5,16)解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).答案：A4．由于電腦故障，使得隨機(jī)變量X的分布列中局部數(shù)據(jù)喪失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20那么喪失的兩個數(shù)據(jù)依次為______________．解析：由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0.1y＋0.20＝1，得0.x5＋0.1y＝0.40，于是兩個數(shù)據(jù)分別為2,5.答案：2,5題組二求離散型隨機(jī)變量的分布列5.一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個球，以X表示取出球的最大號碼，求X的分布列．解：隨機(jī)變量X的取值為3,4,5,6.P(X＝3)＝＝eq\f(1,20)；P(X＝4)＝＝eq\f(3,20)；P(X＝5)＝＝eq\f(3,10)；P(X＝6)＝＝eq\f(1,2).故隨機(jī)變量X的分布列為：X3456Peq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(3,10)eq\f(1,2)6．設(shè)一汽車在前進(jìn)途中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈(允許通行)的概率為eq\f(3,4)，遇到紅燈(制止通行)的概率為eq\f(1,4).假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地時才停頓前進(jìn)，X表示停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：(1)X的分布列；(2)停車時最多已通過3個路口的概率．解：(1)X的所有可能值為0,1,2,3,4.用Ak表示事件“汽車通過第k個路口時不停(遇綠燈)”，那么P(Ak)＝eq\f(3,4)(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4獨(dú)立．故P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)1)＝eq\f(1,4)；P(X＝1)＝P(A1·eq\x\to(A)2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16)；P(X＝2)＝P(A1·A2·eq\x\to(A)3)＝(eq\f(3,4))2eq\f(1,4)＝eq\f(9,64)；P(X＝3)＝P(A1·A2·A3·eq\x\to(A)4)＝(eq\f(3,4))3eq\f(1,4)＝eq\f(27,256)；P(X＝4)＝P(A1·A2·A3·A4)＝(eq\f(3,4))4＝eq\f(81,256).從而X有分布列：X01234Peq\f(1,4)eq\f(3,16)eq\f(9,64)eq\f(27,256)eq\f(81,256)(2)P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－eq\f(81,256)＝eq\f(175,256).即停車時最多已通過3個路口的概率為eq\f(175,256).題組三超幾何分布問題7.一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，那么P(X＝4)的值為()A.eq\f(1,220)B.eq\f(27,55)C.eq\f(27,220)D.eq\f(21,25)解析：由題意取出的3個球必為2個舊球1個新球，故P(X＝4)＝＝eq\f(27,220).答案：C8．在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，以下概率中等于的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)解析：15個村莊中，7個村莊交通不方便，8個村莊交通方便，Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8)表示選出的10個村莊中恰有4個交通不方便、6個交通方便的村莊，故P(X＝4)＝.答案：C9．(2023·天津高考改編)在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列；(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．解：(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為Ceq\o\al(k,3)，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，而P(A1)＝＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，∴取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).題組四離散型隨機(jī)變量及其分布列的綜合應(yīng)用10.拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個隨機(jī)變量，那么P(X≤4)＝________.解析：相應(yīng)的根本領(lǐng)件空間有36個根本領(lǐng)件，其中X＝2對應(yīng)(1,1)；X＝3對應(yīng)(1,2)，(2,1)；X＝4對應(yīng)(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(2,36)＋eq\f(3,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)11．一個袋中裝有假設(shè)干大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是eq\f(2,5)；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是eq\f(7,9).(1)假設(shè)袋中共有10個球；①求白球的個數(shù)；②從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機(jī)變量X分布列．(2)求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于eq\f(7,10)，并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少．解：(1)①記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個數(shù)為x，那么P(A)＝1－＝eq\f(7,9)，得到x＝5.故白球有5個．②隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝＝eq\f(1,12)；P(X＝1)＝＝eq\f(5,12)；P(X＝2)＝＝eq\f(5,12)；P(X＝3)＝＝eq\f(1,12).故X的分布列為：X0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)(2)證明：設(shè)袋中有n個球，其中y個黑球，由題意得y＝eq\f(2,5)n，所以2y＜n,2y≤n－1，故eq\f(y,n－1)≤eq\f(1,2).記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，那么P(B)＝eq\f(2,5)·eq\f